TiaSang
Thứ 5, Ngày 17 tháng 10 năm 2019
Khoa học và Công nghệ

Thiên tài toán học Srinivasa Ramanujan: Một công thức lạ

16/07/2019 07:20 - Lê Quang Ánh

Với Hardy, toán học đòi hỏi nhiều ở tính chính xác và tính hệ thống chặt chẽ thì Toán học của Ramanujan dựa trên trực giác và đôi khi mang tính thần bí khó giải thích.


Tượng nhà toán học Ramanujan. Nguồn ảnh: The Hindu


Một bức thư lạ lùng

 

Ngày 31 tháng 1 năm 1913, nhà Toán học G.H. Hardy1, giáo sư tại trường Đại học Cambridge, London, nhận được một phong thư khá dày, từ một địa chỉ nào đó ở tận miền Nam Ấn-Độ xa xôi. Tác giả bức thư tự giới thiệu như sau:

“Thưa ông,

Tôi xin phép được tự giới thiệu tôi là thư ký kế toán hãng Port Trust ở bến cảng Madras, lương 20 bảng Anh một năm. Bây giờ tôi được 23 tuổi,…”.

Tiếp theo là 9 trang với hàng trăm công thức Toán, có công thức nhà Toán học Hardy biết là đúng, có công thức nhà Toán học chưa thấy bao giờ, không có một lời chứng minh hoặc giải thích nào đi kèm cả. Cuối thư có những hàng sau đây:

“Tôi nghèo, nếu ông tin tưởng ở giá trị những gì tôi viết ở đây, tôi muốn nhờ ông cho công bố chúng. Tôi hoàn toàn tin tưởng ở những lời hướng dẫn của ông.  Tôi xin lỗi đã làm phiền ông.”

Có quá nhiều công thức lạ, nhưng đáng ngạc nhiên nhất là khởi đầu mấy trang Toán có công thức: 1 + 2 + 3 + 4 +….=  - 1/12 )

Ai cũng biết tổng các số dương không thể là một số âm, tổng của các số nguyên không thể là một phân số được.  Hơn nữa tổng của chuỗi số này bằng vô cực, sao bằng một số hữu hạn được? Có gì lầm lẫn ở đây không? Nhìn qua một số công thức phức tạp nhưng chính xác trong phần sau, nhà toán học Hardy không thể giải thích cái sai ở công thức đầu tiên này.

Thì ra nhà toán học được xem là “người ngoài hành tinh” Ramanujan ấy đã đi trước chúng ta gần 100 năm khi đưa ra công thức ấy, không một lời giải thích. Ngày nay ta gọi công thức ấy được gọi là tổng Ramanujan và đã được dùng trong lý thuyết dây (string theory), đặc biệt để giải nghĩa hiện tượng được gọi là hiệu ứng Casimir (Casimir Effect) trong cơ học lượng tử. Về phía Ramanujan, mãi về sau ông mới nói với Hardy rằng cố tình đưa ra công thức này lên đầu để gây sự chú ý cho Hardy.

 

Từ một vùng trời xa lạ, thiếu vắng môi trường khoa học

 

Srinivasa Ramanujan (1887 - 1920) sinh tại làng Erode, phía Nam thành phố Tamil Nadu, miền Nam Ấn Độ trong một gia đình nghèo khó. Cha ông làm việc trong một cửa hàng buôn bán nhỏ, mẹ hát trong một ngôi đền. Lên 5 tuổi, Ramanujan được cho đi học tại trường Kumbakonam, một thị trấn gần Madras, nơi gia đình đang sinh sống. Mặc dầu không được học một cách có hệ thống, nhưng Ramanujan sớm thể hiện một khả năng về toán một cách kỳ lạ: Khi mới 12 tuổi cậu có thể giải được nhiều bài toán về Lý thuyết số và Giải tích và có thể nghĩ ra những ý tưởng toán học trong một khung cảnh hoàn toàn không được kết nối với cộng đồng khoa học xung quanh.

Năm 1902 (15 tuổi), học được từ trong sách phương pháp giải phương trình bậc ba của các nhà Toán học Ý thế kỷ 16, Ramanujan tìm ra được cách giải phương trình bậc bốn theo cách riêng của mình. Rồi cậu lao vào giải phương trình bậc năm nhưng không có kết quả, vì đâu biết rằng phương trình bậc năm không thể giải được bằng căn thức (Abel, Galois).

Tốt nghiệp trung học vào năm 1904, Ramanujan được tặng thưởng giải Rao cho học sinh có kết quả xuất sắc trong việc học toán và nhận được học bổng để vào học Đại học Công lập Kumbakonam, ở đó Ramanujan đạt kết quả kỳ diệu về toán học, nhưng tỏ ra không có năng lực gì ở các môn học còn lại, vì vậy Ramanujan mất học bổng. Chàng tự ý bỏ đi sang một thị trấn khác và sau đó xin vào học tại Đại học Pachaiyappa ở Madras. Cũng như ở trường trước, kết quả ở các môn học khác quá kém và cũng vì sức khỏe có vấn đề, chàng rớt trong kỳ tốt nghiệp và đã trình cho một số giáo sư ở trường đại học địa phương một vài kết quả của công trình nghiên cứu của mình để có được thư giới thiệu cần thiết khi đi xin việc. Công trình của chàng làm các giáo sư quá đỗi ngạc nhiên tới mức lúc đầu không tin là nghiên cứu độc lập của chàng. Cho đến khi chàng chỉ cho họ thấy làm thế nào chàng có được các kết quả ấy, thì họ mới hiểu rằng chàng không phải là người giả mạo, và họ viết cho chàng những thư giới thiệu nồng nhiệt, đôi khi có kèm thêm một chút tiền trợ giúp để cho chàng có thể tiếp tục nghiên cứu toán học.

Ramanujan cho đăng trên tờ Journal of Indian Mathematical Society (Báo của Hội Toán học Ấn Độ) một bài toán thách đố các nhà Toán học tìm ra cách giải. Câu hỏi là tìm kết quả của chuỗi diễn tả bởi các căn thức lồng vào nhau sau đây:

 

Sáu tháng trôi qua, không có một lời giải nào được gửi tới, vì vậy Ramanujan phải tiết lộ đáp số: Đó là số 3.

Mãi tới năm 1912, cuối cùng thì Ramanujan cũng tìm được việc làm, một chân thư ký ở công ty Madras Port Trust.  Chàng làm việc hiệu quả tới mức còn dư thời gian để nghiên cứu thêm toán và công bố thêm một số bài báo trên tờ báo Toán học địa phương. Nhìn thấy tài năng sáng chói của chàng, một số bạn và những người cộng tác đem công trình của chàng gửi cho một số nhà Toán học người Anh xem, hy vọng tìm được sự ủng hộ cho người bạn trẻ của họ. Bất hạnh thay, mọi nỗ lực đều không có hồi âm.

Tháng 1 năm 1913, Ramanujan viết một bức thư cho G.H. Hardy kèm theo một bài dài 9 trang, nội dung là hơn 100 công thức lấy từ công trình của mình.

Hardy sau khi xem xong bức thư đã nghĩ rằng ai đó chép lại một bài báo của một nhà Toán học nào đó trong một tạp chí Toán học mà không ghi nguồn. Ông nhận ra một vài kết quả như là hệ quả đã được người khác tìm ra và được phổ biến ở phương Tây. Còn một số công thức hoặc định lý khác ông chưa hề thấy bao giờ. Khi đọc lại mấy trang này một lần nữa, ông nhận ra có một số kết quả ông không hiểu, dẫn xuất từ việc khảo sát chuỗi số siêu bội (hyper-geometric series) mà trước đây Euler và Gauss có nghiên cứu.  Hardy quá ấn tượng và ngạc nhiên, sau này ông kể lại: “Những định lý này chinh phục tôi hoàn toàn. Từ trước tới giờ tôi chưa thấy những điều như thế này bao giờ cả.”.  Những định lý này phải đúng thôi, ông kết luận: “Bởi vì nếu chúng không đúng, thì không một ai có đủ trí tưởng tượng để phát minh ra chúng.”

Hardy đem những gì Ramanujan đã viết cho các đồng nghiệp của ông xem, và họ cũng ngạc nhiên không kém. Rồi ông viết thư hồi âm cho Ramanujan, nói rằng ông rất quan tâm đến công trình của chàng và yêu cầu tác giả bổ sung chứng minh cho một vài định lý trong bảng công thức ấy. Ramanujan như nổ tung vì vui sướng khi nhận được thư trả lời, rồi ông viết cho Hardy: “Tôi như tìm được tình bạn ở nơi ông, vì ông là người đã đọc những điều tôi viết một cách có thiện cảm.”  Sau cùng thì Hardy mời Ramanujan tới Đại học Cambridge. Trước lời mời của Hardy (nhân danh Đại học Cambridge), Hội đồng Giáo Dục địa phương quyết định tài trợ cho Ramanujan một ngân khoản để ông làm việc tại Đại học Madras, hy vọng giữ ông ở lại Ấn Độ.  Cha mẹ của Ramanujan cũng lại chống đối việc ông đi Anh, cho nên ông buồn bã từ chối lời mời của Hardy. Hardy thất vọng, quan hệ giữa ông và Ramanujan nguội đi. Một thời gian sau, Hardy cố thử mời Ramanujan một lần nữa. Lần này thì Ramanujan sẵn sàng bởi vì mẹ của Ramanujan nằm mộng thấy một vị thần linh nói rằng nên cho con trai bà rời khỏi nhà.

 

Sự va chạm giữa hai thế giới

 

Ngày 17 tháng 3 năm 1914, Ramanujan lên chiếc tàu thủy mang tên Nevasa rời Madras. Tàu đến London sau gần một tháng. Tại Cambridge, ông ở gần phòng của Hardy. Hai người gặp nhau hằng ngày đàm đạo về những định lý thú vị của Ramanujan. Trước đó, Hardy nhận được từ Ramanujan hơn 100 công thức, nay Ramanujan lại mang qua thêm nhiều công thức mới nữa. Nhìn qua tất cả, Hardy có thể nhận thấy một số định lý đã được biết rồi, một vài định lý thì ông cho là sai, nhưng có nhiều định lý quả là những phát hiện mới.



Căn nhà nhỏ nơi Ramanujan sống cùng cha mẹ ở Kumbakonam, Ấn Độ. Ảnh: Deccan Herald.


Hardy và người đồng nghiệp lâu năm John Edensor Littlewood  hết sức ngạc nhiên trước những công thức “đột phá” của chàng thanh niên đến từ một vùng trời xa lạ, thiếu hoàn toàn môi trường khoa học.  Littlewood và Hardy cùng so sánh chàng thanh niên thiên tài này với Euler và Jacobi2. Tuy nhiên cả hai nhận ra rằng, có thể do tự học, chàng tỏ ra thiếu kiến thức nền tảng ở một số lĩnh vực. “Có nên chăng khi phải dạy cho chàng thanh niên này một số phần Toán hiện đại.  Sự giới hạn kiến thức của chàng ở một số nơi cũng đáng ngạc nhiên như sự phong phú và sâu rộng kiến thức ở một số nơi khác”, Hardy nói. Littlewood được giao công việc hướng dẫn Ramanujan học tập, bổ sung kiến thức nền tảng mới, cũng như cách thức trình bày lý luận Toán học chặt chẽ hơn.  Littlewood viết: “Công việc này thật sự khó bởi vì mỗi khi tôi trình bày một vấn đề gì cho Ramanujan mà tôi nghĩ là cần, thì chính tôi bị anh đưa đi xa, ra khỏi dự tính ban đầu của tôi.” Ramanujan cùng làm việc với Hardy và Littlewood ở Cambridge trong 5 năm. Ông đã công bố một phần của những khám phá mới của ông trong thời gian này.

Tuy nhiên, cuộc sống và cách thức làm việc của Hardy và Ramanujan hoàn toàn khác nhau nếu không muốn nói là đối chọi nhau. Họ cộng tác với nhau trong sự va chạm của hai nền văn hóa và hai cá tính khác nhau. Trong khi Hardy là người vô thần thì Ramanujan chìm đắm trong tôn giáo (đạo Hindu), từ tư tưởng cho đến cuộc sống hằng ngày. Trong khi với Hardy, toán học đòi hỏi nhiều ở tính chính xác và tính hệ thống chặt chẽ, thì toán học của Ramanujan dựa trên trực giác và đôi khi mang tính thần bí khó giải thích. Trong thời gian này, Littlewood, người phụ trách hướng dẫn cho Ramanujan, phải “xếp bút nghiên theo việc đao cung” do Thế chiến Thứ nhất đã đến giai đoạn gay gắt nhất, Hardy thay thế vai trò của Littlewood trong việc hướng dẫn Ramanujan đi đúng đường (tính chính xác, tính hệ thống), thay vì triển khai Toán học chỉ dựa trên trực giác và cảm hứng (inspiration) mà Ramanujan vẫn thường làm.

Tháng 3 năm 1916, Ramanujan được trường Đại học Cambridge trao bằng Tiến sĩ Toán vì những thành quả trong nghiên cứu về Lý thuyết số. Một phần của nghiên cứu này là một bài báo dài khoảng 50 trang được đăng trong Proceedings of the London Mathematical Society (Kỷ yếu của Hội Toán học London). Hardy và một số nhà Toán học đương thời nhận xét rằng bài báo về Lý thuyết số này quá độc đáo. Qua đó, người ta xác nhận thêm một lần nữa tài năng thiên phú đặc biệt của Ramanujan.

Cuối năm 1917, ông được bầu làm thành viên của Hội Toán học London.  Năm 1918, ông được vinh dự trở thành thành viên của Hội đồng Hoàng gia Anh (Fellow of The Royal Society), năm ấy ông 31 tuổi và là thành viên trẻ nhất kể từ ngày Hội đồng được thành lập vào năm 1660.

Suốt cuộc đời ngắn ngủi, Ramanujan luôn luôn bị phiền nhiễu vì vấn đề sức khỏe của mình, nhất là trong thời gian 5 năm sống tại Anh. Ở đây khí hậu ẩm và lạnh khác với khí hậu nóng và khô ở quê hương ông miền Nam Ấn Độ. Thêm vào đó là chế độ ăn uống không đầy đủ. Thời kỳ này là thời kỳ của Thế chiến Thứ nhất 1914 – 1918, thực phẩm không những khan hiếm mà còn không đầy đủ cho chế độ ăn uống kiêng khem của ông (ông tự đi mua thực phẩm và tự nấu ăn ở nhà theo chế độ riêng, phù hợp với tôn giáo của mình). Sức khỏe ông xấu dần. Cuối năm 1918, người ta phải đưa ông vào bệnh viện với chẩn đoán là kiệt sức vì thiếu dinh dưỡng. Ngoài ra, ông có dấu hiệu bệnh lao đang trên đà phát triển. Tháng 2 năm 1919, ông được đưa về quê hương.  Một năm sau, năm 1920 ông qua đời, khi ấy ông mới vừa bước qua tuổi 33.

Ramanujan được mô tả như là con người trầm lặng, nghiêm trang nhưng vui tính. Ông theo hệ phái Ấn Độ giáo chính thống, nữ thần Namagiri Thayar là nữ thần của gia đình ông.  Ông tin rằng chính vị nữ thần này đem lại niềm cảm hứng cho ông trong khi nghiên cứu Toán học Ông nói: “Đối với tôi, một phương trình chỉ có ý nghĩa khi nó phản ảnh một ý tưởng của Thượng đế.”

 

Theo giáo sư Bruce C. Berndt, trường Đại học Illinois, Ramanujan đã công bố 37 bài báo và rất nhiều công thức được ông ghi chép trong bốn cuốn sổ mà một cuốn nay đã thất lạc. Ước chừng trong những sổ ghi chép ấy có khoảng 4000 công thức (hoặc định lý), hầu hết không chứng minh. Từ đó đến nay một số lớn công thức đó đã được chứng minh, tạo hứng thú tìm hiểu cho một số nhà Toán học thế hệ sau.

 

---------

Chú thích:

1 Hardy là tác giả cuốn sách giáo khoa nổi tiếng thời ấy:  cuốn A Course of Pure Mathematics. Ngoài ra ông còn cộng tác với nhà Toán học tài năng John Littlewood nghiên cứu nhiều đề tài về tính toán, lý luận, và giải tích thuần lý.

2 Carl Gustave Jacobi (1804- 1851), một nhà Toán học người Đức, có nhiều đóng góp quan trọng nhiều lãnh vực: Hàm số elliptic, Phương trình vi phân, Lý thuyết số,…

Tài liệu tham khảo

1. Aczel, Amir.  A Strange Wilderness. Sterling New York.  2011.

2. Chaitin, Gregory. Less proof, more truth. New Scientist (2614).

3. Kanigel, Robert.  The Man Who Knew Infinity: A Life of the Genius Ramanujan.  Simon and Schuster.  2016.

4. Ramanujan, Srinivasa (1887–1920), mathematician.   Oxford Dictionary of National Biography, September 2004 (Oxford University Press).

5. Neville, Eric Harold. Srinivasa Ramanujan. Nature. 149. 1942.

6. Ono, Ken; Aczel, Amir D.  My Search for Ramanujan: How I Learned to Count. Springer. 2016.

7. https://en.wikipedia.org/wiki/Srinivasa_Ramanujan

8. https://medium.com/cantors-paradise/the-ramanujan-summation-1-2-3-1-12-a8cc23dea793

Tags: