AI chứng minh một lý thuyết nền tảng trong toán học 'gây choáng ngợp'

Thành tựu này cho thấy AI có thể làm được nhiều việc: tìm ra những mối liên hệ giữa các lý thuyết và kết quả nghiên cứu vốn đã tồn tại nhưng chưa được con người kết nối, mở ra triển vọng mới cho việc giải quyết những bài toán khó, chứ không chỉ dừng ở hỗ trợ tính toán. Nhưng đồng thời, điều này cũng đặt ra câu hỏi về vai trò của AI trong quá trình khám phá tri thức toán học, rằng nó sẽ chỉ là công cụ hỗ trợ hay có thể trở thành một chủ thể tham gia vào quá trình phát hiện những tri thức mới.

Trong số 377 kết quả được OpenAI công bố ngày 6 tháng 10 vừa qua [1], có một chứng minh nổi bật nhắm đến "giả thuyết Riemann" - một trong những bài toán quan trọng nhất còn bỏ ngỏ trong toán học. Nhà toán học Jared Duker Lichtman [2] tại Đại học Stanford, đánh giá chứng minh này là "thành tựu quan trọng nhất của AI cho toán học tính đến thời điểm hiện tại, vượt xa tất cả những kết quả khác".

Giả thuyết Riemann được nhà toán học Bernhard Riemann nêu ra từ cách đây 160 năm, liên quan đến một câu hỏi: các số nguyên tố phân bố không đều, nhưng mức độ thất thường của chúng có giới hạn đến đâu? Nếu chứng minh được giả thuyết này, các nhà toán học sẽ hiểu rõ hơn bản chất của các số nguyên tố. Đây là một trong những khái niệm nền tảng cốt yếu của toán học. Trước đó, các nhà toán học đã biết số nguyên tố càng lớn càng thưa dần, nhưng vẫn chưa hiểu hết mức độ biến động của chúng. Đến giả thuyết Riemann mới dự đoán một cấu trúc toán học chặt chẽ, giúp giải thích và kiểm soát chính xác hơn những sai lệch trong quy luật phân bố số nguyên tố.

Mô hình của OpenAI chưa giải được giả thuyết Riemann đầy đủ, mà chứng minh một phiên bản yếu hơn, "khoanh vùng" một phần bài toán Riemann, gọi là "giả thuyết tựa Riemann".

Nhưng chỉ nội việc AI chứng minh được giả thuyết hẹp hơn, "tựa Riemann", đã đủ "choáng ngợp", theo nhà toán học Maksym Radziwiłł [3], Đại học New York. "Theo nghĩa nào đó, hầu hết những hệ quả của giả thuyết Riemann đều có thể được suy ra từ giả thuyết tựa Riemann".

Hơn nữa, chứng minh này không cần đưa ra khái niệm mới nào - thay vào đó nó tìm ra những mối liên hệ ẩn giữa các chứng minh cũ. "Chứng minh này của AI là một tổng hợp bất ngờ của những ý tưởng đã quen thuộc," Alexander Dunn [4], nhà toán học tại Viện Công nghệ Georgia nhận xét.

Cùng với các nhà nghiên cứu lý thuyết số khác, Radziwiłł và Dunn đã phân tích các chứng minh của AI và ý nghĩa của nó.

Bí mật về các số nguyên tố

Để hiểu giả thuyết "tựa Riemann" muốn nói gì, trước hết cần hiểu mối liên hệ giữa giả thuyết Riemann và các số nguyên tố. Khi Viện Toán học Clay công bố danh sách bảy bài toán thiên niên kỷ vào năm 2000 [5], giả thuyết Riemann đứng sừng sững trên sáu bài toán còn lại. Đây là bài toán duy nhất trong danh sách hiện nay có nguồn gốc từ 23 bài toán nổi tiếng do David Hilbert đưa ra từ một thế kỷ trước để định hướng nghiên cứu toán học trong thế kỷ XX [6].

Để hiểu giả thuyết Riemann, hãy bắt đầu từ một câu hỏi: các số nguyên tố xuất hiện theo quy luật nào?

Các số 2, 3, 5, 7, 11, 13... không xuất hiện đều đặn. Càng đi xa trên trục số, chúng nhìn chung càng thưa dần, nhưng khoảng cách giữa chúng thay đổi liên tục. Các nhà toán học đã tìm ra công thức ước tính số lượng số nguyên tố đến một giới hạn nhất định. Nhưng công thức này có thể sai lệch bao nhiêu so với số lượng thực tế? Giả thuyết Riemann liên quan trực tiếp đến việc trả lời câu hỏi đó.

Năm 1859, nhà toán học Bernhard Riemann nhận ra rằng có thể nghiên cứu vấn đề này thông qua một hàm số đặc biệt, gọi là "hàm zeta" Riemann. Điều đáng chú ý là những điểm mà hàm số này bằng 0 - được gọi là các "không điểm" - lại chứa thông tin quan trọng về quy luật số nguyên tố phân bố.

Hàm zeta Riemann được xác định trên các số phức – những số gồm hai thành phần: phần thực và phần ảo. Mỗi số phức có thể biểu diễn thành một điểm trên mặt phẳng. Chẳng hạn, điểm màu cam trong hình biểu thị số 3 + 4i, trong đó 3 là phần thực và 4i là phần ảo. Việc biểu diễn này giúp các nhà toán học xác định vị trí những điểm mà hàm zeta có giá trị bằng 0. Đây chính là những "không điểm" đóng vai trò trung tâm trong giả thuyết Riemann.

Riemann đưa ra một dự đoán rằng tất cả những "không điểm" quan trọng này đều phải nằm trên cùng một đường thẳng đặc biệt. Đây chính là giả thuyết Riemann, đến nay vẫn chưa được chứng minh đầy đủ.

Trước Riemann, các nhà toán học đã biết những "không điểm" quan trọng này chỉ có thể nằm trong một dải nhất định. Giả thuyết Riemann đưa ra dự đoán mạnh hơn: tất cả những điểm này phải nằm chính xác trên một đường thẳng ở giữa vùng đó.

Giả thuyết Riemann, nếu đúng, sẽ giúp các nhà toán học kiểm soát chặt chẽ hơn sai số trong công thức ước tính số lượng số nguyên tố.

Các nhà toán học đã tính toán [7] rằng 12 nghìn tỷ "không điểm" không tầm thường đầu tiên đều nằm trên đường thẳng 1/2 (là đường thẳng ở chính giữa giải giá trị từ 0 đến 1), đúng như Riemann dự đoán. Tuy nhiên, kiểm tra được hàng nghìn tỷ điểm vẫn không đồng nghĩa với chứng minh được điều đó cho tất cả các điểm, bởi số lượng "không điểm" là vô hạn.

Nếu tìm thấy một điểm nằm ngoài đường thẳng này, giả thuyết sẽ bị bác bỏ. Chỉ cần một phản ví dụ cũng đủ gây địa chấn. Nếu giả thuyết Riemann sai, nhiều kết quả toán học dựa trên giả thuyết này sẽ cần được xem xét lại, đặc biệt là những kết quả liên quan đến mức độ chính xác của các quy luật phân bố số nguyên tố. Như Enri-co Bombieri [8] viết trong phần giới thiệu [9] về các bài toán cho Giải thưởng Thiên niên kỷ: "Thất bại của giả thuyết Riemann sẽ tàn phá phân bố của các số nguyên tố".

Kim cương trong bùn

Giả thuyết "tựa Riemann" đưa ra yêu cầu dễ thỏa mãn hơn: không cần chứng minh tất cả các điểm nằm đúng trên đường thẳng ấy, mà chỉ cần chứng minh chúng nằm trong một dải hẹp hơn vùng đã biết trước đó. Dải này càng hẹp, các nhà toán học càng có thể kiểm soát tốt hơn những sai lệch trong quy luật phân bố số nguyên tố.

OpenAI công bố hai phiên bản khác nhau của chứng minh giả thuyết "tựa Riemann". Bản thứ nhất [10], công bố ngày 30 tháng 9, tuyên bố đã chứng minh rằng mọi "không điểm" không tầm thường phải nằm giữa 1/8 và 7/8, và được kiểm chứng hình thức bằng phần mềm Lean. Bản thứ hai [11], được hoàn thiện gần một tuần sau đó (và chưa được kiểm chứng bằng phần mềm Lean), tuyên bố chứng minh được một kết quả yếu hơn: mọi không điểm không tầm thường phải có phần thực nằm giữa 1/12 và 11/12. Bài báo thứ nhất dài đến 199 trang, bài báo thứ hai có độ dài khiêm tốn hơn nhiều, chỉ 49 trang.

Cũng như nhiều kết quả do AI tạo ra gần đây, cả hai bài báo đều "được viết vô cùng tệ (nghĩa là chúng lộn xộn và mơ hồ tới mức sẽ ngay lập tức bị từ chối bởi bất kỳ tạp chí toán học nào)," Radziwiłł viết. "Chúng ở dưới một bậc rất xa so với những chuẩn mực về trình bày và tính rõ ràng trong lĩnh vực của chúng tôi."

Và vì vậy các nhà toán học bỏ qua bài báo 7/8 và tập trung vào bài 11/12, vì hai bài có vẻ sử dụng những kỹ thuật tương tự và cũng có những hệ quả tương tự nhau. "Lý do hầu hết mọi người đọc kết quả 11/12 là vì nó ngắn hơn," Radziwiłł nói.

Không phải ngẫu nhiên khi bài báo 11/12 là bài duy nhất trong 722 bài báo được OpenAI công bố ngày 6 tháng 10 được con người biên tập lại. OpenAI chưa trả lời câu hỏi người đó là ai, hay vì sao đây là bài báo duy nhất được hưởng lợi từ ý kiến chuyên gia [con người] trước khi được công bố. Khi tạp chí Quanta hỏi người biên tập lại bài giải đó của AI là ai, OpenAI trả lời: "Bài báo là kết quả công việc của tất cả mọi thành viên OpenAI".

Hai tuần kể từ khi được công bố, bài báo vẫn đang được các nhà toán học tích cực nghiên cứu. Peter Sarnak [12], một nhà lý thuyết số hàng đầu tại Đại học Princeton, đã quyết định thay đổi một môn đang giảng dạy ở học kỳ này để nghiên cứu bài toán đó. Radziwiłł nói rằng hiện anh đã có thể rút gọn phác thảo các lập luận của chứng minh trong nửa trang giấy, còn trình bày chi tiết hơn của các nhà toán học khác dài khoảng 7 đến 13 trang. (Khi bài viết này được Quanta đăng, các trình bày đó đều chưa được công bố, mà mới chỉ được các nhà toán học trao đổi riêng với nhau.) Các chuyên gia nói chung thống nhất rằng chứng minh là đúng - và cái mới của nó nằm ở cách nó kết nối những ý tưởng đã có trong lý thuyết số.

Suốt nhiều thập kỷ, Sarnak đã lập luận rằng các nhà toán học nên tiếp cận giả thuyết Riemann bằng cách rộng hơn - coi hàm zeta chỉ như một thành viên của một nhóm hàm số rộng hơn, và tìm ra các quy luật chung chi phối cả nhóm hàm số đó. Tuy nhiên, như Michael Rubinstein [13], Đại học Waterloo, nhận xét "không rõ chính xác phải làm thế nào, hay cần xem xét họ hàm số nào".

Thực tế cho thấy trực giác của Sarnak là đúng. Nhưng nhóm hàm số mà mô hình của OpenAI xác định được đã từng bị bỏ qua. Nhà toán học Henryk Iwaniec [14] tại Đại học Rutgers đã lướt qua rất gần nó vào năm 2002, khi ông xác định một số nhóm hàm có liên hệ mật thiết với nhau trong một nỗ lực chứng minh giả thuyết Riemann.

Các nhà toán học vừa phấn khích vừa nản lòng

Để tìm được đúng nhóm hàm số, cần những đối tượng toán học ít người biết đến gọi là các dạng metaplectic. Đây là một hướng nghiên cứu chuyên sâu trong lý thuyết số, vốn không phổ biến trong lý thuyết số. Điều bất ngờ là những công cụ toán học thuộc hướng nghiên cứu đó lại có thể giúp giải quyết bài toán mà các nhà toán học lâu nay cho rằng cần đến những phương pháp từ một lĩnh vực khác. Alexander Dunn, người đã nghiên cứu các dạng metaplectic suốt 5 năm, nói: "Không ai ngờ đến điều này". "Vì thế tôi hy vọng lý thuyết đẹp đẽ và bí ẩn này nhận được sự quan tâm xứng đáng."

Dunn và Radziwiłł đã rất ngạc nhiên khi nhận thấy một công thức họ chứng minh năm 2021 [15] đã trở thành một thành phần cốt yếu trong chứng minh của AI (bên cạnh các kết quả của nhiều nhà toán học khác). Ngẫm lại, Radziwiłł nói, các nhà toán học nghiên cứu nhánh lý thuyết số chứa các kết quả này đã nhầm lẫn khi nghĩ rằng những công cụ của họ không đủ mạnh để giải quyết giả thuyết tựa Riemann.

Họ đã tin rằng để chứng minh nó cần những kỹ thuật từ một nhánh hoàn toàn khác của lý thuyết số. Nhưng AI đã đi theo hướng ngược lại: tiếp tục sử dụng chính những công cụ mà các nhà toán học từng cho là chưa đủ sức, và tìm ra cách kết hợp các kêt quả khác nhau của nhiều nhà toán học để giải quyết bài toán. "Niềm tin" của mô hình AI rằng những công cụ này có thể đã đủ là cách nhìn quyết định. "Đó là một niềm tin táo bạo!" Radziwiłł nói.

Các nhà toán học vừa nản vừa phấn khích vì kết quả của OpenAI. Về phần mình, Sarnak nói trong một email rằng ông sẽ không thừa nhận nó là một "Định lý" cho đến khi con người đã kiểm tra và hiểu mọi chi tiết. Nhưng "cảm giác chung là nhẹ nhõm," Radziwiłł nói. Hàng loạt kết quả không chỉ trong lý thuyết số mà cả trong hình học và khoa học máy tính sẽ lập tức được xác lập là đúng nhờ các chứng minh của giả thuyết tựa Riemann.

Các nhà lý thuyết số hoài nghi về khả năng sử dụng cách kết hợp các kỹ thuật để chứng minh kết quả 7/8 để chứng minh kết quả 1/2 - tức mức cần thiết để giải quyết trọn vẹn bài toán. "Khả năng lớn nhất theo tôi là sau khi các nhà toán học đã hoàn toàn tiếp thu được các phương pháp mới và nắm bắt các hệ quả của chúng, chúng ta vẫn cảm thấy ở cách xa phiên bản đầy đủ của giả thuyết Riemann" theo nhà toán học Will Sawin [16], Đại học Princeton. "Nhưng tôi cũng không chắc về điều đó".

Thomas Bloom [17], nhà toán học tại Đại học Manchester, đồng tình rằng giả thuyết Riemann đầy đủ vẫn ở ngoài tầm với. Nhưng, anh nói thêm, "vài tuần trước chúng ta cũng sẽ nói như thế về giả thuyết tựa Riemann! Giờ thì không gì có thể khiến tôi bất ngờ nữa".

Nguyễn Hoàng Thạch dịch