Cuộc đua sát nút chinh phục bài toán thiên niên kỷ giữa Anthropic và OpenAI

Ngày 8/9, các nhà toán học tại OpenAI đã đưa ra một công bố chấn động. Dưới sự điều hành của họ, một nhóm 10.000 AI agent (tác tử AI) hoạt động trên một mô hình tiên tiến chưa được công khai đã tìm ra một điểm kỳ dị trong hệ phương trình Navier-Stokes ba chiều.

Phát hiện này giải quyết được một trong 6 bài toán Thiên niên kỷ chưa có lời giải [1] do Viện Toán học Clay đề ra vào năm 2000, với phần thưởng trị giá một triệu USD cho người đầu tiên chinh phục được mỗi bài.

Việc chứng minh đã được kiểm chứng hình thức bằng ngôn ngữ lập trình Lean giúp cộng đồng toán học có thêm cơ sở vững chắc để tin tưởng vào tính đúng đắn của kết quả.

Nếu vượt qua những vòng thẩm định khắt khe hơn, đây chắc chắn sẽ là chứng minh toán học quan trọng nhất từ trước đến nay do AI tìm ra, đánh dấu một bước ngoặt lớn trong cách giải quyết những bài toán khó trong tương lai.

Chạy đua sít sao tới từng giờ

Bài toán hóc búa này nằm trong lĩnh vực phương trình vi phân, nhánh toán học thể hiện mối quan hệ giữa các đại lượng biến thiên. Những phương trình này được xem là công cụ toán học quan trọng bậc nhất để giải thích thế giới xung quanh chúng ta. Thông thường, phương trình vi phân dễ viết ra nhưng lại vô cùng khó giải.

Hệ phương trình vi phân Navier-Stokes ứng dụng Định luật II Newton về chuyển động để mô tả dòng chảy của chất lỏng và chất khí (được gọi chung là chất lưu). Hệ phương trình này được viết ra lần đầu tiên vào giữa thế kỷ XIX và kể từ đó luôn giữ vai trò trung tâm trong nghiên cứu cơ học chất lưu. Nhưng vẫn còn một câu hỏi căn bản chưa được giải đáp: Liệu các nghiệm của hệ phương trình luôn có tính quy luật hay không? Hay các nghiệm đó có thể biến đổi theo thời gian, khiến một phần vô cùng nhỏ các chất lưu bắt đầu chảy với tốc độ nhanh đến vô hạn, từ đó tạo ra cái gọi là điểm kỳ dị?

Thông báo của OpenAI về điểm kỳ dị vốn là nỗi trăn trở các nhà toán học bấy lâu nay trở thành điểm mốc của cuộc đua sít sao giữa các ông lớn AI. Chỉ 12 giờ trước đó, GS. Tristan Buckmaster [2] tại Đại học New York cho biết mình cùng với đội ngũ tại Anthropic đã giải quyết được một số bài toán có liên quan chặt chẽ [3], nhờ vào sự trợ giúp của nhiều mô hình AI khác nhau, trong đó có cả mô hình của OpenAI.

Cả hai nhóm - đội ngũ OpenAI và đội ngũ của GS. Tristan Buckmaster - đều kế thừa rất nhiều từ công trình của GS. Diego Córdoba [4], Viện Khoa học Toán học tại Madrid và PGS. Luis Martínez-Zoroa [5] thuộc đại học CUNEF, Madrid. Đây là hai nhà nghiên cứu đã phát triển một chiến lược hoàn toàn khác biệt so với các phương pháp mà phần lớn giới toán học đang sử dụng để chinh phục bài toán này.

"Tôi đã vô cùng phấn khích khi bài toán được giải quyết", GS. Charles Fefferman [6] thuộc Đại học Princeton, người chấp bút cho bản mô tả chính thức bài toán Navier-Stokes [7] của Viện Clay, chia sẻ. Ông khẳng định những người hùng thực sự đằng sau sự kiện giải mã bài toán chính là Córdoba và Martínez-Zoroa. Nhận định này cũng tương đồng với những gì GS. Buckmaster đã viết trong bản công bố kết quả: "Cho phép tôi được nói rõ những gì tôi từng tâm sự riêng với các đồng nghiệp: xét trên toàn bộ công trình này, tôi tin rằng Luis Martínez-Zoroa xứng đáng nhận được Huy chương Fields."

Điểm kỳ dị trong bài toán được giải

Hệ phương trình Navier-Stokes mô tả chuyển động của chất lưu như nước và không khí. Trong toán học, người ta giả định rằng có thể chia nhỏ chất lưu đến mức vô hạn để theo dõi chuyển động của nó. Từ đây nảy sinh một câu hỏi quan trọng: liệu dòng chảy có luôn diễn ra một cách trơn tru, hay có lúc một vùng nào đó trong chất lưu trở nên cực đoan đến mức các đại lượng như vận tốc tăng lên vô hạn? Hiện tượng đó được gọi là "điểm kỳ dị".

Trong thế giới thực, chất lưu được cấu tạo từ các phân tử và nguyên tử nên không thể chia nhỏ vô hạn như trong mô hình toán học. Vì vậy, việc chứng minh một điểm kỳ dị tồn tại trong phương trình không có nghĩa là người ta sẽ quan sát thấy một vùng nước hay không khí thực sự có vận tốc vô hạn. Ý nghĩa của kết quả nằm ở chỗ nó cho thấy ngay cả trong mô hình toán học lý tưởng, các phương trình mô tả dòng chảy cũng có thể dẫn đến những trạng thái rất bất thường.

Các phương trình Navier-Stokes tính đến thực tế là chất lưu có thể có độ nhớt, hay ma sát (những chất lưu có độ nhớt cao như mật ong sẽ chảy chậm, trong khi những chất có độ nhớt thấp hơn như nước sẽ chảy nhanh hơn). Chúng ta đã có hệ phương trình Euler đơn giản hơn dùng để mô tả các chất lưu có độ nhớt bằng không, tức là chảy mà không có ma sát. Hai hệ phương trình Navier-Stokes và Euler gắn bó chặt chẽ với nhau và thường được các nhà nghiên cứu xem xét đồng thời. Tuy nhiên, chỉ cần đưa vào lượng ma sát vô cùng nhỏ cũng đủ khiến chất lưu chảy theo một cách hoàn toàn khác biệt.

"Mười năm trước, không ai tin rằng các phương trình Navier-Stokes tồn tại điểm kỳ dị," GS. Córdoba cho biết, mặc dù nhiều người vẫn tin các phương trình Euler có chứa điểm kỳ dị.

Mọi thứ thay đổi hoàn toàn vào năm 2013, khi GS. Thomas Hou [8] ở Học viện Công nghệ California (Caltech) và PGS. Guo Luo [9] hiện công tác tại Đại học Hang Seng Hồng Kông đưa ra một kết quả đột phá. Họ chỉ ra rằng các phương trình Euler có thể "bùng nổ" [10], cách giới toán học gọi hiện tượng sinh ra điểm kỳ dị, ở trong một hình trụ nếu nửa trên và nửa dưới của nó được cho quay ngược chiều nhau. "Đó là tuyên bố nghiêm túc đầu tiên về điểm kỳ dị", GS. Córdoba nhớ lại.

Trong những năm tiếp theo, một loạt các kết quả được đưa ra [11], đặc biệt là một nghiên cứu vào năm 2019 [12] đã khiến các nhà toán học bắt đầu nghĩ rằng có thể các phương trình Navier-Stokes cũng có điểm kỳ dị, dù Navier-Stokes phức tạp hơn vì có thêm độ nhớt.

Tuy nhiên, để giải đúng phiên bản Bài toán Thiên niên kỷ, các nhà toán học phải giải quyết những điều kiện chặt chẽ hơn: liệu điểm kỳ dị có thể xuất hiện trong một chất lưu không bị giới hạn bởi thành hay biên nào, trong không gian ba chiều vô hạn hay không.

Mặc dù đây là những phát hiện mang tính bước đệm hữu ích, theo GS. Fefferman, trường hợp không có biên thực sự thú vị về mặt toán học. Ông giải thích rằng, trong các mô hình có biên, việc tìm thấy điểm kỳ dị "chỉ cho bạn biết chất lưu có thể tạo ra điểm kỳ dị nhờ vào sự tương tác với biên, nhưng khi không có biên thì chính bản thân chất lưu đang tạo ra những hiện tượng không tưởng".

Một yêu cầu khác của bài toán liên quan đến các lực tác động lên chất lưu. Đó có thể là các lực tự nhiên như trọng lực kéo chất lưu xuống dưới, hoặc một can thiệp nhân tạo như lực từ chân vịt. Các nhà toán học mô phỏng các lực này bằng kỹ thuật đưa các ngoại lực vào hệ phương trình (forcing). Bài toán Thiên niên kỷ đặt ra điều kiện rằng ngoại lực này phải đủ "trơn", tức không được tạo ra những biến đổi bất thường chỉ để ép chất lưu xuất hiện điểm kỳ dị.

Trong nghiên cứu về hình trụ năm 2013, Hou và Luo đã sử dụng các mô hình máy tính để mô phỏng một kịch bản có thể dẫn đến việc các phương trình Euler bùng nổ. Sau đó, họ đã chứng minh được rằng sự bùng nổ thực sự xảy ra bằng cách tính toán cẩn thận các sai số tiềm ẩn. Cách tiếp cận này sau đó trở thành một trong những phương pháp quan trọng để nghiên cứu khả năng xuất hiện điểm kỳ dị trong các phương trình Euler và Navier-Stokes.

Nhưng trong luận án tiến sĩ năm 2021 của mình, Luis Martínez-Zoroa đã đi tiên phong trong việc sử dụng các kỹ thuật giải tích hoàn toàn không phụ thuộc vào máy tính. Cách tiếp cận này khiến anh và người hướng dẫn tiến sĩ của anh, GS. Córdoba, trở thành những kẻ đi ngược dòng trong lĩnh vực này. Đến năm 2023, họ đã chứng minh được rằng một phiên bản [13] của phương trình Euler với hàm lực phức tạp lộn xộn đã thực sự xuất hiện các điểm kỳ dị.

Mỗi bên quan sát từng động thái của nhau

GS. Córdoba rất thích nói đùa rằng "Tôi không dùng AI: Tôi đã có Luis." Luis Martínez-Zoroa nói thêm rằng không phải họ phản đối AI, mà là "cho đến tận gần đây, khi tôi thử áp dụng nó vào công việc của mình, nó lại không thực sự phù hợp với quy trình làm việc. Nhưng chắc chắn tôi sẽ phải học cách thích nghi."

Về cơ bản, kỹ thuật của bộ đôi Córdoba và Martínez-Zoroa dựa trên việc tạo ra một chuỗi vô hạn các lớp, trong đó mỗi lớp là một nghiệm không kỳ dị cho phương trình mà họ đang nghiên cứu. Sau đó, họ kết hợp các nghiệm đó lại trong một cơ chế mà Martínez-Zoroa gọi là "chuỗi thác vô hạn" (infinite cascade) để tạo ra một nghiệm hoàn toàn mới.

Họ đã chứng minh được rằng nghiệm mới đó có chứa điểm kỳ dị mong muốn. Tuy nhiên, dù mỗi lớp riêng lẻ đều dựa trên một hàm ngoại lực trơn, thì việc kết hợp chúng lại với nhau có thể khiến hàm lực nảy sinh những đặc tính toán học không mong muốn. Đó là lý do tại sao lời giải của họ vẫn chưa đáp ứng đủ các tiêu chí của Giải thưởng Thiên niên kỷ. Rào cản cuối cùng chính là tìm cách tạo ra một "chuỗi thác vô hạn" tương tự mà kết quả không chỉ mang lại điểm kỳ dị, mà còn phải giữ được hàm ngoại lực trơn.

Đó chính là bước đột phá mà cả hai nhóm AI cạnh tranh nhau dường như đều đã đạt được.

Trong lúc Córdoba và Martínez-Zoroa mải miết phát triển kỹ thuật của mình thì mảng nghiên cứu toán học sử dụng AI lại đang bước vào giai đoạn bùng nổ. Kể từ đầu mùa hè, các mô hình ngôn ngữ lớn (LLM), chủ yếu từ OpenAI và Anthropic, đã được sử dụng để chứng minh các kết quả trong nhiều lĩnh vực toán học khác nhau. Những kết quả này thường đi kèm với các chứng minh hình thức sử dụng ngôn ngữ lập trình Lean để xác định tính chính xác tuyệt đối của một mệnh đề toán học. (Tuy nhiên, con người vẫn phải thực hiện một bước kiểm tra mấu chốt để đảm bảo rằng mệnh đề được chứng minh là đúng trong Lean thực sự tương đương về mặt logic với bài toán ban đầu mà các nhà toán học muốn giải quyết.)

Trong phần lớn mùa hè năm nay, cuộc đua này có thể không êm ả gì nhưng ít nhất cũng chưa đến mức gay gắt công khai. Thế nhưng, mọi thứ đã thay đổi một cách chóng mặt chỉ trong vòng 24 giờ kể từ nửa đêm ngày 7/9.

GS. Buckmaster đã chia sẻ một tuyên bố [14] ngay trước nửa đêm ngày 7/9 để công bố kết quả hợp tác giữa ông và Alpöge, nhà toán học tại Anthropic. "Trong suốt năm qua, tiến độ diễn ra vô cùng chậm chạp", GS. Buckmaster cho biết. Nhưng đến ngày 22/8, họ đã có trong tay một chứng minh được xác minh bằng Lean cho phương trình Euler. GS. Buckmaster viết: "Tôi có thể khẳng định rằng chứng minh đầu tiên do LLM tạo ra mà Levent [Levent Alpöge] gửi cho tôi là thứ kinh khủng nhất mà tôi từng đọc."

Thực ra trước đó, bộ đôi này vốn dự định tiếp tục trau chuốt để có một bản trình bày mạch lạc hơn. Tuy nhiên, sau khi tin tức về tiến độ của họ bị rò rỉ đến tai OpenAI, họ thấy áp lực buộc phải đẩy sớm thời hạn công bố. GS. Buckmaster than thở rằng một trong ba bài báo mà ông và Alpöge sắp công bố "chỉ có thể được mô tả là mớ rác do AI viết ra. Tôi thực sự xin lỗi vì điều này", ông viết.

Các tác tử của Open AI đã trao đổi với nhau gần 5 triệu tin nhắn

OpenAI thừa nhận rằng nghiên cứu của họ về hệ phương trình Navier-Stokes bắt nguồn từ những tin đồn về việc nhóm của Buckmaster và Anthropic đã giải quyết thành công một Bài toán Thiên niên kỷ. Để nhanh chân về đích, Open AI sử dụng một mô hình tân tiến chỉ lưu hành nội bộ và huy động các nhóm tác tử AI độc lập với nhiều quy mô khác nhau để công phá những biến thể của bài toán Euler và Navier-Stokes.

"Gần 100 tác tử đã phối hợp cùng nhau trong khoảng 50 giờ để tìm ra điểm kỳ dị của phương trình Euler", OpenAI viết trong một thông cáo báo chí. Sau đó, họ huy động một lượng tác tử thậm chí còn hùng hậu hơn, khoảng 10.000 tác tử, để chinh phục Navier-Stokes.

Sau 88 giờ, các tác tử chạy trên mô hình nội bộ đã đưa ra được chứng minh về một điểm kỳ dị trong Navier-Stokes, và sau 17 giờ tiếp theo, một mô hình AI khác đã hoàn tất việc hình thức hóa kết quả này. Tổng cộng, các tác tử đã gửi cho nhau gần 5 triệu tin nhắn. Sébastien Bubeck, một nhà nghiên cứu của OpenAI, ước tính chi phí cho khối lượng tính toán này lên tới vài triệu USD.

Tính đến thời điểm ngày 9/9, những chi tiết xoay quanh sự tương tác giữa Buckmaster, Alpöge và OpenAI vẫn còn rất mập mờ. Các bên liên quan đều đang đưa ra những lời kể rất khác nhau. OpenAI công nhận Buckmaster và Alpöge là những người đi trước trong kết quả của phương trình Euler ba chiều nhưng lại nhận công đầu về mình đối với kết quả của phương trình Navier-Stokes. Còn trong tuyên bố của mình, Buckmaster ngụ ý rằng các nhà nghiên cứu của OpenAI hoặc các tác tử AI của họ có thể đã truy cập và hưởng lợi từ công trình mà ông và Anthropic đã thực hiện trên chính các mô hình của công ty này.

Sẽ phải mất thêm một thời gian nữa để làm rõ chuỗi sự kiện, xem ai đã làm gì, vào thời điểm nào, cũng như thấu hiểu trọn vẹn ý nghĩa toán học của những chứng minh sử dụng AI này, dù chúng có được kiểm chứng đi chăng nữa. Nhưng gạt qua một bên những tranh cãi, đóng góp của Córdoba và Martínez-Zoroa đối với kết quả này là điều không thể phủ nhận. "Tôi rất mừng cho Tristan (Buckmaster)" GS. Martínez-Zoroa bộc bạch, "Sẽ thật tuyệt nếu chúng tôi có thể tự mình làm được điều này, nhưng tôi thật sự mừng cho anh ấy."

Việt Anh dịch