TiaSang
Thứ 3, Ngày 26 tháng 5 năm 2020
Khoa học và Công nghệ

PGS. TS Phạm Tiến Sơn: Chọn “ẩn cư” ở Đà Lạt để làm toán

14/04/2020 07:08 - Thanh Nhàn

Gần như hầu hết các công trình nghiên cứu của PGS. TS Phạm Tiến Sơn (Khoa Toán tin, trường Đại học Đà Lạt), trong đó có “Generic properties for semialgebraic programs” (Các tính chất tổng quát của quy hoạch nửa đại số) xuất bản trên SIAM Journal on Optimization – công trình được đề cử giải thưởng Tạ Quang Bửu 2020, đều được hình thành và hoàn thiện ở Đà Lạt. Dù lượng khách du lịch đến mỗi năm một đông, Đà Lạt vẫn là nơi lý tưởng cho người ưa bình lặng như anh có thể trầm tĩnh làm việc theo đúng cách mình đã chọn hơn 30 năm qua.


Ảnh: Phan Tuấn Anh.

Làm toán ở Đà Lạt

Trên một đồi thông ở vùng rìa thành phố, Đại học Đà Lạt với các giảng đường nằm rải rác cạnh những lối đi và bậc thang dường như được xếp đặt một cách ngẫu nhiên khiến tự nó đã mang một dáng vẻ biệt lập. Cách đây vài năm, một nhà toán học trong chuyến công tác tại trường đã nghi ngờ không rõ là có người “làm toán” thực sự ở đó không. Có lẽ, dáng vẻ biệt lập của ngôi trường cũng như cả bề ngoài những người “ít ai tự nói về mình” trong đó (lời chia sẻ của thầy hiệu phó Nguyễn Văn Kết vào đầu năm 2019) khiến cho ngay cả người làm cùng ngành đặt dấu hỏi. Rất may mắn là ở nơi này, dù không nhiều, cũng còn có “một vài người làm toán, tiếp nối ‘truyền thống’ Lý thuyết kỳ dị mà các thầy như giáo sư Nguyễn Hữu Đức từng theo đuổi”, PGS. TS Phạm Tiến Sơn, một người từng gắn bó với trường từ những ngày ở Đà Nẵng lên Đà Lạt học đại học đến nay, cho biết.

Cũng giống PGS.TS Nguyễn Sum, một đồng nghiệp ở trường Đại học Quy Nhơn và người nhận giải thưởng Tạ Quang Bửu năm 2017, anh không phải là người quảng giao, dù tính cách khá thân thiện. Sống trong một môi trường hoàn toàn khác biệt với hai trung tâm nghiên cứu lớn là Hà Nội và TP.HCM, những người như Phạm Tiến Sơn và Nguyễn Sum dường như có một phẩm chất khác để “làm nghề”, đó là sự quyết liệt  bảo vệ đến cùng điều mình cho là đúng, ngay cả những thời điểm xao động nhất của sự nghiệp. Có một điểm khá trùng hợp giữa hai nhà toán học này là họ từng đệ đơn lên ban giám hiệu trường xin thôi chức, một bên là vị trí hiệu phó trường Đại học Quy Nhơn và một bên là vị trí trưởng khoa Toán tin trường Đại học Đà Lạt, cùng một lý do là để toàn tâm toàn ý cho nghiên cứu. Hoàn cảnh mỗi người đều có chút khác nhau, người thì ngây thơ không chịu nổi những cáo buộc ác ý còn người thì kiên quyết không muốn theo ý định nhất thời của lãnh đạo, nhưng tựu trung lại đều muốn đấu tranh để có thể tiếp tục duy trì mạch nghiên cứu của mình. “Vào thời điểm đó, cũng có vài người có học vị tiến sĩ ở trường chuyển công tác về TP.HCM nên nhiều người nghĩ tôi sẽ rời Đà Lạt…”, câu nói của PGS. TS Phạm Tiến Sơn bỏ lửng ở đó như không muốn nhắc lại “chuyện đã cũ và cũng không vui" từ năm 2012 mà mình đã gói ghém và cất lại một góc.

Sau chuyện đó, anh vẫn ở lại Đà Lạt, nơi chứng kiến gần như toàn bộ quá trình anh gắn bó với Lý thuyết Kỳ dị và Hình học nửa đại số. “Thực sự, sau chuyện này, tôi vẫn nghiên cứu bình thường, thậm chí có phần ‘tích cực’ hơn do không phải làm công tác quản lý nữa”, anh thoáng chút trầm ngâm. 
Điểm lại những giai đoạn đã qua, chỉ duy nhất một lần anh nghĩ đến chuyện rời Đà Lạt, “vào quãng năm  1987-1989, sau khi tốt nghiệp trường Đại học Đà Lạt, tôi cũng có ý định đi tìm kiếm một công việc ở TP.HCM”. Rút cục việc được nhận ở lại trường và vượt qua sóng gió đã khiến anh “từ đó đến nay, chưa bao giờ có ý định rời trường, ngay cả những lúc khó khăn nhất về kinh tế. Ở Đà Lạt, tôi cảm thấy dễ chịu bởi người dân hiền lành, không gian thoáng và yên tĩnh…, một nơi rất thích hợp với những người làm công tác nghiên cứu”.

Có lẽ, vì lý do này mà hầu như phần lớn thời gian nghiên cứu của PGS. TS Phạm Tiến Sơn đều ở Đà Lạt, ngoài những chuyến công tác thời gian ngắn tại các viện nghiên cứu và các trường đại học trong nước và quốc tế. Việc sống ở một môi trường có phần biệt lập như vậy có ảnh hưởng đến công việc nghiên cứu? “Ồ không”, anh giải thích, “nhờ có internet mà tôi có thể tiếp xúc với các đồng nghiệp ở xa và có thể tìm các tài liệu một cách nhanh chóng. Thực sự không có khó khăn gì với tôi khi nghiên cứu tại trường Đại học Đà Lạt cả”.

Giữa không gian quá thuận lợi của thành phố cao nguyên, những người làm toán nơi này đã cố gắng xây dựng cho mình và đồng nghiệp một môi trường nghiên cứu như những nơi khác, dù không ít chật vật để duy trì. “Từ năm 2007 đến nay, chúng tôi đã tổ chức sinh hoạt seminar khoảng một giờ vào tối thứ Tư hằng tuần, bắt đầu từ 17h15 do lúc đó hầu như không ai đi dạy. Người trình bày là các giáo viên, khách mời (nếu có), nghiên cứu sinh và học viên cao học”, anh kể với đôi chút hào hứng. Việc có được những buổi seminar như vậy đã mang lại lợi ích cho nhiều người làm toán ở Đà Lạt, và dĩ nhiên cả chính anh: “Tôi đã học Hình học nửa đại số từ PGS. TS. Tạ Lê Lợi, một người rất am hiểu về Hình học nửa đại số qua các buổi seminar”. 


Sách chuyên khảo Genericity in Polynomial Optimization (Hà Huy Vui và Phạm Tiến Sơn) nằm trong chuỗi các ấn phẩm về chủ đề Tối ưu và Ứng dụng của NXB World Scientific. Giáo sư Hà Huy Vui viết chương 1 (giới thiệu những tính chất cơ bản của Hình học nửa đại số), PGS. TS Phạm Tiến Sơn viết từ chương 2 đến chương 9 (trình bày một số vấn đề quan trọng và thời sự trong tối ưu nửa đại số).

Những cọ xát ở “quy mô” địa phương và quốc tế như vậy đã để lại dấu ấn ngay trong các công bố của PGS. TS Phạm Tiến Sơn. “Ngoại trừ các công trình viết chung với các nghiên cứu sinh ở Đà Lạt, các công trình khác của tôi đều được viết chung với các đồng nghiệp không ở Đà Lạt, chẳng hạn, ở trong nước (Hà Nội, Quy Nhơn) hay quốc tế (Australia, Hàn Quốc, Mỹ, Nhật Bản, Pháp, Trung Quốc)”, anh nói.

Tìm nghiệm bài toán nửa đại số dạng tổng quát

Theo đuổi các bài toàn Tối ưu nửa đại số từ Đà Lạt, PGS. TS Phạm Tiến Sơn nhận xét, sẽ rất thú vị nếu có các đồng nghiệp nghiên cứu cùng lĩnh vực bởi trong trường hợp đó chúng ta có thể trao đổi các vấn đề cùng quan tâm. “Đáng tiếc là ở Việt Nam gần như không có ai nghiên cứu về Tối ưu nửa đại số”. Theo lý giải của anh, một lý do quan trọng khiến chủ đề này gần như “bơ vơ” là để có thể tiếp cận nó một cách sâu sắc, người ta cần có những kiến thức cơ bản về Hình học nửa đại số trong khi các trường Đại học (trừ Đại học Đà Lạt ở bậc cao học) không giảng chuyên đề này. 

Ngược lại, theo tìm hiểu của anh, các nhà toán học quốc tế lại dành nhiều công sức cho chủ đề này. Những nghiên cứu như vậy ngày càng thúc đẩy mối quan tâm đến chủ đề Tối ưu nửa đại số. Trong các kỳ Đại hội Toán học quốc tế được tổ chức bốn năm một lần của Pablo A. Parrilo (năm 2010), Adrian Lewis (năm 2014), Monique Laurent (năm 2014), và Jean Bernard Lasserre (năm 2018), một số vấn đề về Tối ưu nửa đại số được trình bày trong các báo cáo mời ở tiểu ban Tối ưu và Điều khiển. Năm 2017, Hội Toán Công nghiệp và Ứng dụng Mỹ đã cho ra mắt ấn phẩm mới SIAM Journal on Applied Algebra and Geometry, một tạp chí chuyên xuất bản các công trình liên quan đến những ứng dụng của Đại số, Hình học và Tô pô trong sinh học, lý thuyết mã, độ phức tạp, đồ họa máy tính, lý thuyết điều khiển, khoa học dữ liệu, tối ưu, thống kê...

Vào quãng những năm 2000, Lasserre, Nesterov, Parrilo và Sturmfels triển khai ý tưởng của giáo sư Naum Zuselevich Shor. “Lasserre ứng dụng thành công các kết quả trong Hình học Đại số thực vào tối ưu như sử dụng các định lý biểu diễn đa thức không âm trên các tập nửa đại số compact (sau này người ta gọi Định lý Schdmugen và Định lý Putinar), để tìm giá trị tối ưu của một bài toán tối ưu nửa đại số trên tập compact, Lasserre đã giải một dãy (có thể vô hạn) các bài toán quy hoạch nửa xác định; bây giờ người ta thường gọi là ‘Lasserre hierarchy’”, anh nói. 

Dưới con mắt của những người theo đuổi, kết quả đó ẩn chứa nhiều điều thú vị như cho thấy mối liên hệ giữa hai lĩnh vực Hình học nửa đại số và Tối ưu cũng như mở ra một hướng mới cho Tối ưu nửa đại số. PGS. TS Phạm Tiến Sơn nói về những điều thú vị đó, “chẳng hạn, Nie, Demmel, Powers và Sturmfels (2006, 2007) đã giải quyết trường hợp không compact nhưng hàm mục tiêu đạt giá trị tối ưu, Schweighofer (2006) giải quyết trường hợp hàm mục tiêu có thể không đạt giá trị tối ưu nhưng chỉ có kỳ dị cô lập tại vô hạn. Giáo sư Hà Huy Vui – người hướng dẫn tôi làm tiến sĩ, và tôi trong năm 2008 và 2009 đã giải quyết trường hợp tổng quát. Sau kết quả này, chúng tôi thường gặp gỡ và trao đổi chuyên môn với Lasserre”.


PGS Phạm Tiến Sơn cùng GS Hà Huy Vui (thứ ba từ trái sang), cùng nhóm nghiên cứu lý thuyết kỳ dị ở Đà Lạt tại Nhật Bản. 

Với PGS. TS Phạm Tiến Sơn, các bài toán khó như bài toán Tối ưu nửa đại số có sức hút riêng biệt, nhất là ở dạng tổng quát, bởi người giải phải vượt qua hai khó khăn là tính không lồi của hàm mục tiêu, các hàm ràng buộc và tính không compact của tập ràng buộc. Với công trình đề cử Giải thưởng Tạ Quang Bửu “Generic properties for semialgebraic programs”, anh cho rằng “Khi nghiên cứu một lớp các bài toán, người ta thường có một vài giả thiết. Câu hỏi đặt ra là những giả thiết như vậy có ‘tự nhiên’, tức chúng có đúng với hầu hết các bài toán trong lớp được xét? Trong công trình này, chúng tôi chứng minh những giả thiết quan trọng trong tối ưu đều đúng với hầu hết các bài toán Tối ưu nửa đại số”.

Đi sâu vào giải quyết vấn đề, anh đặt kỳ vọng tìm giá trị nhỏ nhất của một hàm đa thức trên một tập ràng buộc nửa đại số (là tập được xác định bởi các phương trình và bất phương trình đa thức) với câu hỏi chính là xây dựng một thuật toán hiệu quả xác định giá trị (và/hoặc nghiệm) tối ưu của bài toán. Có một đặc điểm thú vị với các bài toán Tối ưu nửa đại số là nếu biết nghiệm tối ưu thì sẽ biết giá trị tối ưu nhưng nếu xét ngược lại thì lại… không đúng. Anh chỉ ra “những kết quả của tác giả khác, đặc biệt, Jiawang Nie chỉ chứng minh được (thậm chí trong trường hợp tập ràng buộc compact) với hầu hết các bài toán tối ưu nửa đại số giá trị tối ưu được xác định sau một số hữu hạn bước giải các bài toán quy hoạch nửa xác định”. 

Trong vòng ba năm từ khi lên ý tưởng đến hoàn thành và xuất bản công trình, anh và giáo sư Gue Myung Lee - đồng tác giả nghiên cứu, đã xác định được tính tổng quát của các bài toán Tối ưu nửa đại số. “Dựa vào các định lý biểu diễn tổng các bình phương của các đa thức không âm trên các tập nửa đại số, chúng tôi chứng minh nghiệm tối ưu (và do đó, giá trị tối ưu) của hầu hết các bài toán tối ưu nửa đại số hoàn toàn được xác định bằng cách giải một số hữu hạn các bài toán quy hoạch nửa xác định (là những bài toán quy hoạch lồi có thể giải một cách hiệu quả bằng thuật toán điểm trong); dãy bài toán sau được xây dựng một cách tường minh”, anh nói về kết quả của công trình. 

Không chỉ xuất bản công trình trên tạp chí tốt mà các kết quả của nó đã được đưa vào sách chuyên khảo Genericity in Polynomial Optimization (Hà Huy Vui và Phạm Tiến Sơn) nằm trong chuỗi các ấn phẩm về chủ đề Tối ưu và Ứng dụng của NXB World Scientific do giáo sư Jean Bernard Lasserre (Tổng biên tập của chuỗi ấn phẩm) đề nghị viết. Nội dung sách dựa trên hầu hết các công trình chung của GS Hà Huy Vui và PGS. TS Phạm Tiến Sơn. Giới thiệu về cuốn sách này, PGS. TS Phạm Tiến Sơn cho biết: “Chúng tôi mất hơn một năm để hoàn thiện và gần như tôi không còn thời gian để nghiên cứu, thành thử lúc đầu cả hai thầy trò đều rất ngại viết… Thực sự nếu không có GS Lasserre động viên khích lệ, có lần ông đến Hà Nội chỉ để đề nghị chúng tôi khởi động công việc, thì chúng tôi đã bỏ cuộc rồi”

PGS. TS Phạm Tiến Sơn có hai hướng nghiên cứu chính là Lý thuyết kỳ dị và Hình học nửa đại số. Khi được hỏi về mối liên quan giữa hai hướng nghiên cứu này, anh cho rằng: “Lời giải của một bài toán tối ưu có quan hệ mật thiết đến hiện tượng kỳ dị (địa phương hoặc tại vô hạn). Những ý tưởng trong Lý thuyết kỳ dị dẫn đến một vài phỏng đoán liên quan đến Tối ưu nửa đại số trong một số công trình của tôi; mặt khác, những công cụ của Hình học nửa đại số giúp chứng minh tính đúng của các phỏng đoán này. Chẳng hạn, trong lý thuyết kỳ dị, chúng ta biết rằng hầu hết các hàm trơn đều là hàm Morse, tức là hàm chỉ có các điểm kỳ dị không suy biến với các giá trị kỳ dị phân biệt. Mặt khác, cực tiểu (địa phương và toàn cục) của một bài toán tối ưu là các điểm tới hạn của hạn chế hàm mục tiêu trên tập ràng buộc. Bởi vậy rất tự nhiên khi nói hầu hết các bài toán tối ưu chỉ có các điểm cực tiểu không suy biến và có duy nhất một cực tiểu toàn cục”.

Không chỉ có cuốn sách mang tính tổng kết này, theo PGS. TS Phạm Tiến Sơn, việc giải được các bài toán tối ưu nửa đại số dạng tổng quát còn góp phần mở ra một số dự án nghiên cứu khác trong tương lai, “chẳng hạn nghiên cứu giải tích biến phân trong khung cảnh hình học nửa đại số cũng như nhiều vấn đề cần giải quyết đối với bài toán tối ưu nửa đại số, đặc biệt các bài toán có cấu trúc phức tạp”.

Việc đi tìm lời giải cho các bài toán trong lý thuyết kì dị và hình học nửa đại số có thể không đem lại cho PGS. TS Phạm Tiến Sơn một “ứng dụng” thực tế nào, “mặc dù những nghiên cứu gần đây của tôi hướng theo toán ứng dụng, nhưng từ đó cho đến áp dụng thực tế có lẽ còn rất xa. Hầu hết các kết quả đạt được vẫn mang đậm dấu ấn ‘lý thuyết’”. Vậy có phải đó là suy nghĩ của phần lớn các nhà toán học? “Ồ không, tôi không chắc lắm nhưng thực sự tôi cũng không quan tâm lắm đến những ứng dụng thực tế”. Có lẽ, “ứng dụng” lớn nhất anh có được là cuốn sách chuyên khảo, không chỉ chứa đựng những vấn đề anh và thầy mình đúc rút về dạng tổng quát của Tối ưu đa thức mà còn gói ghém một mong ước rất thật, đó là “hy vọng sách sẽ bổ ích cho những người quan tâm, đặc biệt các bạn trẻ, đến Tối ưu nửa đại số - lĩnh vực còn tương đối mới”. 

Không quá quan tâm đến những ứng dụng theo cách hiểu thông thường, PGS. TS Phạm Tiến Sơn cũng không quá quan tâm đến những điều kiện vật chất khác. Đây cũng là một phần lý do giải thích vì sao, anh vẫn “bám trụ” ở thành phố cao nguyên này để được yên tĩnh làm toán. Có người hài hước nói rằng, với một nhà toán học thì chỉ cần một cái máy tính tốt và một không gian yên tĩnh để làm việc là đủ. Vậy còn với anh? Anh mỉm cười, “có lẽ đúng… Nơi tôi làm việc ‘sang’ hơn một chút: còn có máy in, bảng, bút và giấy nữa”.

“Quy hoạch tuyến tính nghiên cứu các bài toán tối ưu đa thức bậc nhất; công cụ chủ yếu được sử dụng ở đây là Đại số tuyến tính. Nhiều mô hình trong thực tế có thể đưa về bài toán Quy hoạch tuyến tính. Tồn tại thuật toán hữu hiệu để xác định nghiệm (và giá trị) tối ưu và có các phần mềm giải các bài toán Quy hoạch tuyến tính. Thêm nữa, Quy hoạch tuyến tính được đưa vào giảng dạy ở bậc đại học (chẳng hạn các ngành Toán, Kinh tế). Mặt khác quy hoạch tuyến tính là trường hợp rất đặc biệt của tối ưu nửa đại số. Bởi vậy rất tự nhiên khi nghiên cứu lớp các bài toán tối ưu nửa đại số. Trong trường hợp này các hàm mục tiêu/ràng buộc là các đa thức bậc tùy ý, nên cần những công cụ khác thích hợp hơn để xử lý” (PGS. TS Phạm Tiến Sơn).