Bernhard Riemann: Người xây nền hình học cho Lý thuyết tương đối của Einstein

Ngày 10 tháng 6 năm 1854, một số các giáo sư Toán của trường Đại học Göttingen, dưới sự chủ trì của Friedrich Gauss, nhà Toán học hàng đầu của Đức, tụ họp lại để nghe một giảng viên trẻ trình bày bài thuyết trình tập sự 1 “Về những giả thuyết làm nền tảng cho Hình học”. Hầu hết đều không hiểu những gì nhà Toán học trẻ tuổi nói, trừ Gauss tỏ ra rất ấn tượng và thích thú. Và một điều bất thường nữa là bài thuyết trình chỉ toàn bằng lời, không có một hình vẽ, không có một phương trình nào trên bảng cả. Một năm sau Gauss qua đời, còn giới Toán học thì mười năm sau mới bắt đầu hiểu dần ra nội dung của bài nói chuyện. Nội dung bài nói chuyện ấy sẽ mở ra một ngành Hình học mới – Hình học Riemann - làm nền tảng cho Lý thuyết tương đối của Einstein sau này.

Bernhard Riemann (1826 – 1866).

Người giảng viên trẻ ấy là Georg Friedrich Bernhard Riemann. Ông sinh ngày 17 tháng 9 năm 1826 tại Dannenberg thuộc vương quốc Hanover (ngày nay thuộc Liên Bang Đức). Bernhard Riemann là con thứ hai trong sáu người con của gia đình một mục sư Tin Lành nghèo thuộc nhánh Lutheran ở địa phận Breselenz. Bệnh lao lẩn quẩn trong dòng họ Riemann chực chờ mang tai họa đến cho gia đình này. Mẹ của Bernhard chết sớm, ba chị em gái cũng lần lượt qua đời khi còn rất trẻ. Bernhard không có sức khỏe tốt như những đứa trẻ cùng trang lứa, có thể do vậy nên cậu rụt rè nhút nhát và ít hòa nhập với những người xung quanh. Năm 14 tuổi, Bernhard Riemann mới được gửi tới trường Lyceum ở Hanover rồi sau đó được chuyển về trường Johanneum Gymnasium ở Lüneburg. Ở Trung học, Bernhard là một học sinh chăm học, giỏi các môn cổ ngữ (tiếng Hebrew) và Thần học, nhưng chưa tỏ ra xuất sắc ở môn nào cả. Tuy nhiên, Bernhard đặc biệt ưa thích Toán. Ông Hiệu trưởng nhận ra điều này và cho phép cậu học trò được đặc cách sử dụng sách trong thư viện riêng của ông. Có lần ông cho Bernhard mượn trọn bộ sách về Lý thuyết số của Legendre² và Bernhard đã đọc hết 900 trang sách ấy trong sáu ngày³.

Mùa Xuân năm 1846, Bernhard Riemann vào Đại học Göttingen và trở thành học trò của Friedrich Gauss và Moritz Stern – người kế nhiệm trưởng khoa thay Gauss sau khi ông qua đời. Thời ấy, Göttingen chưa phải là trung tâm Toán nổi tiếng nhất mặc dù ở đó có Gauss. Hơn nữa Gauss cũng chỉ giảng dạy các lớp Toán căn bản và Gauss cũng chưa nhận biết Riemann là ai nên mùa Xuân năm 1847 Riemann chuyển về Đại học Berlin, ở đó có rất nhiều giáo sư nổi tiếng giảng dạy, như Jacob Steiner (1796 – 1863), Carl Gustave Jacobi (1804 – 1851), Peter Lejeune Dirichlet (1805 – 1859), Gotthold Eisenstein (1823 – 1852),…Những nhà Toán học này không những hấp dẫn sinh viên Đức mà họ còn thu hút nhiều sinh viên giỏi khắp châu Âu.

Đây là thời gian quan trọng nhất trong quá trình học tập của Riemann. Ông học được nhiều vấn đề mới về hàm phức nhiều biến và lý thuyết về hàm elliptic từ Eisenstein, nhưng người có ảnh hưởng đậm nét nhất lên sự nghiệp của Riemann chính là nhà Toán học Lejeune Dirichlet do cách diễn đạt, cách suy nghĩ và cách đặt vấn đề mang phong cách Pháp rất phù hợp với Riemann ⁴.

Năm 1849 Riemann trở về lại Göttingen để làm tiến sĩ dưới sự hướng dẫn của Gauss và cũng chịu ảnh hưởng nhất định của hai người thầy khác Wilhelm
Eduard Weber⁵, Johann Listing⁶. Đề tài của Riemann liên quan đến lý thuyết hàm phức nhiều biến, và đặc biệt là các mặt mà nay ta gọi là mặt Riemann(Riemann surfaces). Qua đề tài này Riemann cũng giới thiệu phương pháp topo cho lý thuyết hàm phức. Công trình của Riemann được xây dựng trên những gì Cauchy đã làm nhiều năm trước. Tuy nhiên, Riemann có những nghiên cứu riêng, độc đáo hơn, về tính chất hình học của các hàm giải tích (analytic functions), các phép biến đổi bảo giác (conformal mappings) và sự liên thông giữa các mặt (connectivity of surfaces). Trong khi chứng minh một số kết quả, Riemann đã dùng nguyên lý biến phân (variational principal) mà ông ta gọi là nguyên lý Dirichlet (Dirichlet principle) bởi vì Riemann đã học được nó từ Dirichlet những ngày ở Berlin. Luận án của Riemann được trình vào 16/12/1851 và được Gauss cho là “phong phú một cách độc đáo”.

Friedrich Gauss (1777–1855), được mệnh danh là ông vua toán học thời bấy giờ. 

Để được bổ nhiệm làm giảng viên tại Đại học Göttingen, Riemann cần phải hoàn tất chứng chỉ tập sự Habilitation, và dành 30 tháng để soạn ra ba đề tài cho chứng chỉ này. Hai đề tài đầu liên quan đến những vấn đề về Giải tích mà Riemann rất tâm đắc, là hàm số có thể biểu diễn bằng chuỗi lượng giác Fourier và điều kiện cho một hàm số có tích phân; đề tài thứ ba liên quan đến Hình học. Khi Riemann đệ trình đề tài, thông thường vị giám khảo chủ trì sẽ chọn bài thứ nhất, nhưng Gauss lại chọn bài thứ ba liên quan đến Hình học, trái với mong đợi của mọi người và của chính Riemann. Buổi thuyết trình Về những giả thuyết làm nền tảng cho Hình học của Riemann ngày 10/6/1854 hôm ấy là một trong những biến cố quan trọng trong Lịch sử Toán học.

Tại sao Gauss lại chọn bài thứ ba (thứ yếu) trong ba bài Riemann đệ trình? Làm sao ai biết được Gauss nghĩ gì. Chỉ có Dedekind, bạn và cũng là đồng nghiệp của Riemann viết: “Gauss đã phá vỡ truyền thống xưa nay là chủ khảo chọn bài thứ nhất của thí sinh. Có thể Gauss muốn biết xem nhà Toán học trẻ tuổi đối phó với vấn đề khó khăn này đến mức nào”.

Bài thuyết trình của Riemann chính là phác thảo cho bộ môn mà ngày nay chúng ta gọi là Hình học Riemann, và 60 năm sau trở thành khung sườn cho Lý thuyết tương đối tổng quát của Einstein. Einstein từng viết rằng lý thuyết này là “thắng lợi thực sự” của hai nhà toán học Carl Friedrich Gauss và Bernhard Riemann và đã nhấn mạnh rằng thuyết tương đối tổng quát của ông được xây dựng dựa vào công trình của Gauss và Riemann, những người khổng lồ trong giới toán học.

Sơ lược những gì Riemann đã trình bày trong bài nói chuyện ấy:

Bài nói chuyện gồm có hai phần.

Trong phần đầu Riemann đặt vấn đề định nghĩa không gian n-chiều (nay chúng ta gọi là không gian Riemann), trong ấy có những đường ngắn nhất gọi là đường trắc địa (geodesic lines), giống như những đường thẳng trong không gian Euclid. Từ đó định ra hệ tọa độ trắc địa và một metric cho những mặt cong nhiều chiều, theo cách mà chúng ta hình dung những mặt phẳng tiếp xúc với mặt cong trong không gian Euclid. Rồi thì trên những mặt cong ấy sẽ xác định những độ cong, dương, âm, hoặc bằng không.

Trong phần thứ hai, Riemann đặt vấn đề về sự liên hệ giữa hình học và thế giới chúng ta sống. Ông ta hỏi rằng chiều của thế giới thật sự trong đó chúng ta sống là bao nhiêu và hình học nào có thể dùng để mô tả thế giới ấy?

Nội dung bài nói chuyện quá xa so với kiến thức của các nhà khoa học đương thời. Nhà toán học M. Monastyrsky nhận xét trong cuốn “Riemann, Topology and Physics”: “Trong số thính giả ở dưới, chỉ có một mình Gauss là có khả năng hiểu thấu và tán thưởng những ý nghĩ sâu sắc của Riemann. Bài nói chuyện của Riemann vượt xa mong đợi của Gauss và làm cho Gauss hết sức nhạc nhiên.”

Còn nhà toán học Hans Freudenthal viết trong cuốn Dictionary of Scientific Biography rằng: “Sáu mươi năm sau người ta mới thực sự hiểu hết những gì Riemann đã trình bày. Lý thuyết tương đối tổng quát của Einstein đã kiểm chứng những gì Riemann đã nghĩ ra, một cách rực rỡ”.

Khi Gauss qua đời năm 1855, Đại học Göttingen trao trọng trách Trưởng Khoa Toán lại cho Lejeune Dirichlet. Bốn năm sau, năm 1859, Dirichlet mất, Riemann được bầu vào vị trí cao quí đó thay thế. Chỉ sau vài tuần, Riemann lại được vinh dự trở thành thành viên của Hàn lâm Viện Khoa học Berlin. Riemann đã được ba nhà Toán học tên tuổi lúc bấy giờ giới thiệu, đó là Ernst Kummer (1810 – 1893), Karl Wilhelm Borchardt (1817 – 1880), và Karl Weierstrass.

Dưới đây là trích đoạn bài diễn văn giới thiệu:“Chúng tôi có bổn phận phải lưu ý quí vị hãy chú ý tới, không phải là một tài năng trẻ nhiều triển vọng, mà là một nhà nghiên cứu độc lập, sâu sắc, với nhiều đóng góp hữu hiệu cho sự phát triển lãnh vực Toán học của chúng ta”.

Như thông lệ, thành viên mới phải trình cho Hàn lâm Viện công trình nghiên cứu mới nhất của mình. Và Riemann đã giới thiệu công trình về Lý thuyết số – bài duy nhất thuộc lãnh vực này của Riemann – mang tựa đề (Về số những số nguyên tố nhỏ hơn một giá trị cho sẵn). Đây là một tuyệt tác của Riemann, chỉ dài chưa tới 10 trang nhưng nó đã làm thay đổi một cách có ý nghĩa hướng nghiên cứu Toán học thời kỳ tiếp sau đó và ảnh hưởng của nó vẫn còn cho tới ngày nay. Nó như một cơn sóng đập vào nhiều ngành của Toán học thuần lý (pure mathematics), thúc đẩy chúng phát triển. Điểm xuất phát của Riemann là một khám phá của Euler gần một thế kỷ trước, hằng đẳng thức. Riemann nhìn vấn đề xa hơn thế nữa.

Trong thư viện của Đại học Göttingen.

Ông nhìn ζ (s) như là một hàm phức (s = σ + it) chứ không phải một hàm thực. Trừ một số ít trường hợp tầm thường, Riemann phát biểu rằng hàm ζ (s) có vô số nghiệm không tầm thường mà phần thực là σ = ½. Phát biểu này được gọi là giả thuyết Riemann. Cho tới ngày nay, dự đoán này là một trong những bài toán chưa giải được quan trọng nhất của Toán học⁷. Đây là một trong 7 bài toán thiên niên kỷ mà viện Toán học Clay sẽ trao giải thưởng 1 triệu USD cho bất cứ ai giải được.

***

Tháng 6/1862, Riemann kết hôn nhưng chỉ cuối thu năm ấy ông nhận ra sức khỏe mình không ổn và đã nhuốm căn bệnh lao hiểm nghèo giống như các thành viên khác trong gia đình. Họ có với nhau một đứa con gái. Mùa Đông năm 1862-1863, để tránh cái lạnh gay gắt ở quê nhà, Riemann qua tĩnh dưỡng ở Silicy, miền Nam nước Ý, ở đó ông có một số bạn cũng là những nhà Toán học từng làm việc với ông ở Göttingen. Khí hậu ấm áp làm cho ông cảm thấy khá hơn Cứ như thế, ông qua lại Đức-Ý nhiều lần, cho tới tháng 6 năm 1866, ông trở lại Selasca (Ý) nghỉ dưỡng bên bờ hồ Maggiore thơ mộng. Nhưng rồi sức khỏe ông xuống một cách nhanh chóng và tại đây ông đã ra đi mãi mãi. Khi ra đi, ông hãy còn đang làm dở dang công việc dưới gốc một cây sung ngọt.

Riemann mất ngày 20/7/1866, khi ấy ông chưa tròn tuổi 40.

——-

Chú thích:

*Bài viết được BBT rút gọn lại so với toàn văn tác giả gửi cho Tia Sáng và lưu trữ tại Rosetta.vn/lequanganh.

¹ Hôm đó Riemann trình bày bài Habilitation lecture. Trước Thế chiến thứ nhất, ở Đại học Đức, một Tiến sĩ phải làm một công trình nghiên cứu để có thể lấy chứng chỉ “Habilitation”, sau đó mới được tuyển vào làm “Privatdozent”, tức là giảng viên tập sự không lương. Một thời gian sau, khi được xác nhận khả năng, giảng viên này được chính thức tuyển dụng làm “Extraordinarius” (phó giáo sư), rồi sau cùng là “Ordinarius” (giáo sư).

² Andrien-Marie Legendre (1752 – 1833) là một nhà Toán học Pháp, có nhiều đóng góp trong lãnh vực đa thức, các phép biến đổi, và lý thuyết số. Công trình của ông có nhiều ảnh hưởng lên Galois, Abel và cả Gauss nữa.
³ Theo J. J. O’Connor and E. F. Robertson.

⁴ Trong khoảng thời gian 1822-1826, Lejeune Dirichlet qua Paris, bấy giờ là trung tâm của Khoa học nói chung và Toán học nói riêng. Ông có dịp học tập và làm việc với các tên tuổi lớn của Pháp như Legendre, Fourier, Poisson,…Tháng 6 năm 1825, chỉ mới có 20 tuổi, ông được mời đến Viện Hàn lâm KH Paris để trình bày chứng minh định lý cuối cùng của Fermat với trường hợp n= 5.
⁵ Wilhelm Eduard Weber (1804 –1891), nhà Toán-Vật lý Đức, nghiên cứu về Từ và Điện từ học.
⁶ Johann Listing (1808 – 1882), nhà Toán học Đức, người đầu tiên dùng chữ Topology để chỉ một ngành của Hình học có từ trước Euler.

⁷ Đây cũng là một trong 23 bài toán của Hilbert đưa ra năm 1900.

Tài liệu tham khảo

1. H. Freudenthal, Biography in Dictionary of Scientific Biography (New York 1970-1990).

2. Biography in Encyclopaedia Britannica.

3. R Dedekind, Biography of Riemann, in H Weber and R Dedekind (eds.), The Collected Works of Riemann (New York, 1953).

4. F. Klein, Development of mathematics in the 19th century (Brookline, Mass., 1979).

5. M. Monastyrsky, Rieman, Topology and Physics (Boston-Basel, 1987).

6. J.J. O’connor and E.F. Robertsonn. Georg Friedrich Bernhard Riemann. (University of St Andrew, 1998).