Hình dáng của vũ trụ được tiết lộ thông qua hình học đại số
Hành xử của các hạt cơ bản và cấu trúc của toàn bộ vũ trụ được miêu tả bằng cùng những khái niệm toán học chăng?
Câu hỏi này là tâm điểm của công trình nghiên cứu mới của nhà toán học Claudia Fevola từ Inria Saclay và Anna-Laura Sattelberger từ Viện nghiên cứu toán học trong các khoa học Max Planck, mới được xuất bản trên tạp chí Notices of the American Mathematical Society.
Toán học và vật lý có mối quan hệ gần gũi và thân thiết. Toán học đưa ra một thứ ngôn ngữ và nhiều công cụ để miêu tả các hiện tượng vật lý trong khi vật lý điều hướng sự phát triển của các ý tưởng toán học mới. Mối quan hệ qua lại này vẫn còn rất qua ntrongj trong nhiều lĩnh vực như lý thuyết trường lượng tử và vũ trụ học, nơi mà những cấu trúc toán học tiên tiến và lý thuyết vật lý tiến hóa cùng nhau.
Trong bài báo mới, các tác giả khám phá các cấu trúc đại số và định hình hình học có thể giúp chúng ta hiểu các hiện tượng trong một phạm vi rộng, từ các va chạm hạt đã xảy ra, ví dụ trong các máy gia tốc hạt đến cấu trúc ở quy mô lớn của vũ trụ. Nghiên cứu của họ đặt trọng tâm vào hình học đại số, dựa trên sự kết nối với một lĩnh vực gọi là hình học dương – một chủ đè liên ngành mới trong toán học được điều hướng bằng các ý tưởng mới trong vật lý hạt và vũ trụ học.
Lĩnh vực này được truyền cảm hứng bằng khái niệm hình học của hình học dương, trải rộng từ cách tiếp cận giản đồ Feynman tiêu chuẩn trong vật lý hạt với sự tái hiện những tương tác như các volumes của các vật thể hình học chiều bậc cao như amplituhedron, một cấu trúc hình học được nhà vật lý lý thuyết Nima Arkani-Hamed và Jaroslav Trnka giới thiệu năm 2013. Nó có một cấu trúc giàu tổ hợp và đưa ra một cách đơn giản hơn cho tính toán các biên độ tán xạ trong lý thuyết trường lượng tử, đặc biệt là trong siêu đối xứng Yang-Mills.
Cách tiếp cận này có những gợi ý vượt qua phạm vi vật lý hạt. Trong vũ trụ học, các nhà khoa học đang sử dụng những ánh sáng xa xôi của phông vũ trụ vi sóng và sự phân bố của các thiên hà để suy luận về thứ định hình vũ trụ sớm. Các công cụ toán học tương tự giờ cũng đang được áp dụng. Ví dụ, các khối đa diện vũ trụ, cũng là những hình học dương, có thể tái hiện các mối tương quan trong ánh sáng đầu tiên của vũ trụ và giúp tái cấu trúc các lực vật lý đang chi phối sự khởi sinh của vũ trụ này.
Một hình học cho vũ trụ này
Bài báo mới nhấn mạnh vào hình học dương không chỉ là một sự tò mò toán học mà còn là một ngôn ngữ thống nhất triển vọng cho hình thành các nhánh của vật lý lý thuyết. Các khung hình học đó mã hóa một cách tự nhiên sự chuyển giao thông tin giữa các hệ vật lý, ví dụ bằng việc lập sơ đồ các khái niệm cụ thể dựa trên cảm giác thành các cấu trúc trừu tượng, một quá trình phản chiếu cách con người hiểu một cách ẩn dụ về thế giới này.
Toán học đằng sau điều đó rất phức tạp và trải rộng khắp nhiều lĩnh vực. Các tác giả đã tập trung vào hình học đại số, vốn tinh chỉnh hình dáng và không gian thông qua những lời giải cho các hệ của các phương trình đa thức, phân tích đại số để nghiên cứu về các phương trình vi phân riêng phần thông qua các vấn đề toán học gọi là các D-modules, và những tổ hợp miêu tả sự sắp xếp và tương tác bên trong các cấu trúc đó.
Các chủ đề được hình thành dưới sự xem xét, như các tích phân Feynman, tích phân Euler tổng quát hay hình thức hình học dương hợp quy, đều hiếm khi là những trừu tượng toán học. Chúng tương xứng với các hiện tượng quan sát được trong vật lý năng lượng cao và vũ trụ học, cho phép những tính toán chính xác về hành vi của hạt cũng như các cấu trúc vũ trụ.
Bắc cầu cho các cấp độ với toán học
Nghiên cứu này trình bày một cách tiếp cận với khả năng và quy mô trên một diện rộng. Các quá trình tán xạ thường được minh họa bằng các giản đồ Feynman. Cách tiếp cận của Feynman trong nghiên cứu về biên độ tán xạ là gói gọn các tích phân phức tạp có liên quan vào các giản đồ. Hình học đại số cung cấp một loạt các công cụ cho việc tìm hiểu một cách có hệ thống các tích phân này.
Đa thức đồ thị của một giản đồ Feynman được định nghĩa như sự trải rộng của cây và rừng. Tích phân Feynman liên quan có thể được biểu diễn như một biến đổi Mellin của đa thức đồ thị này, tích hợp như một chức năng của hệ số nó. Các hệ số đó, tuy nhiên được ràng buộc bằng các điều kiện vật lý. Các tích phân Feynman do vậy liên kết chặt chẽ với tích phân tổng quát Euler, đặc biệt thông qua các ràng buộc bới những không gian con hình học liên quan.
Một cách để nghiên cứu các chức năng holonomic là thông qua các phương trình vi phân tuyến tính mà chúng thỏa mãn, vốn là D-module trái ngược với những hình ảnh của các D-module siêu hình học. Việc xây dựng những phương trình vi phân đó tuy nhiên vẫn là một thách thức.
Sự hoàn thành các biến đại số được định nghĩa bằng đa thức đồ thị trong một vòng xuyến đại số là một biến affine, và tích phân Feynman có thể được xem như sự kết cặp của một chu trình xoắn và đồng chu trình của đa tạp này. Các tích phân hình thành một tập cơ sở cho vũ trụ của các tích phân khi các tham số động học biến thiên, và kích thước của cơ sở này tương đương với các đặc trưng topo Euler của đa tạp.
Một trường chuyển động
Công trình của Fevola và Sattelberger phản ánh một nỗ lực quốc tế ngày một gia tăng. Để mang toán học, vật lý hạt, vũ trụ học lại với nhau, tập trung vào những kết nối chính xác giữa đại số, hình học và vật lý lý thuyết.
“Hình học dương vẫn là một lĩnh vực non trẻ nhưng có tiềm năng ảnh hưởng một cách đáng kể nghiên cứu cơ bản trong cả vật lý và toán học,” họ nhấn mạnh. “Cộng đồng khoa học đang làm việc để có đươc những chi tiết quan trọng cho các chủ đề toán học và lý thuyết đánh giá chúng. Nhiều hợp tác thành công đã đặt nền tảng quan trọng”.
Các phát triển đó không chỉ thúc đẩy hiểu biết của chúng ta trong thế giới vật lý mà còn thúc đẩy những đường biên trong toán học. Hình học dương còn hơn cả một công cụ, nó là một ngôn ngữ. Một ngôn ngữ có thể thống nhất hiểu biết của chúng ta về tự nhiên ở mọi quy mô.
Anh Vũ dịch từ Max Planck Society
