Những hình dạng của không gian

Grigori Perelman mô tả chứng minh của ông ở Đại học Princeton (tháng 4/2003)

Những chiếc bánh rán bằng cao su
Để hiểu hơn phỏng đoán Poincaré và chứng minh Perelman, bạn cần phải biết một chút gì đó về topology. Trong lĩnh vực toán học này, hình dạng chính xác của một vật thể là không có giá trị, bởi vì bạn có thể nhào nặn, kéo căng hoặc nén nó lại như một cục bột làm bánh dẻo. Nhưng tại sao chúng ta lại quan tâm đến không gian được làm từ cục bột tưởng tượng này? Lý do liên quan đến một thực tế là, hình dạng chính xác của một vật thể – khoảng cách giữa hai điểm của nó – là một mức của cấu trúc. Và cái đó được gọi là hình học của vật thể. Bằng việc xem xét một cục bột làm báng dẻo, các nhà topo đã khám phá ra rằng, những tính chất của vật thể là cơ bản đến mức chúng tồn tại độc lập với cấu trúc hình học của nó. Nghiên cứu topo cũng giống như sự tìm hiểu các đặc điểm chung của loài người qua việc xem xét “một mẫu người bằng đất nặn”, và cái mẫu người ấy có thể được biến hóa theo nhiều cách khác nhau để trở thành những cá nhân cụ thể.
Nếu bạn đã đọc bất cứ một tài liệu liệu phổ biến nào về topology, bạn có lẽ sẽ biết đến một ví dụ kinh điển là, đối với một nhà topo, một cái chén và một cục đất nặn là không thể phân biệt được. Vấn đề là bạn có thể dễ dàng biến một cái chén bằng đất nặn thành một cái bánh rán (mỗi tội là không ăn được). Nói theo kiểu tinh thần của Tết Trung Thu thì đối với một nhà topo, cái bánh dẻo hình con cá và cái bánh dẻo hình hộp chẳng có gì khác nhau cả.
Điều mà các nhà topo quan tâm chủ yếu chính là bề mặt của những quả bóng và những cái bánh rán. Thực ra, topology vẫn cho thấy một sự khác biệt, vật thể hình cầu không thể biến dạng thành hình vòng xuyến được, tức là quả bóng không thể biến thành cái bánh vừng vòng được. Tức là, một quả cầu và một vòng xuyến là những thực thể riêng biệt. Các nhà topo trước đây đã quyết định tìm xem các bao nhiêu thực thể khác biệt về mặt topo như vậy có thể tồn tại, và chúng được đặc trưng hóa như thế nào. Đối với các bề mặt hai chiều, câu hỏi sẽ được rút về một cách gọn gẽ là: bề mặt đó có bao nhiêu cái “tay cầm”.
Đến cuối thế kỷ 19, các nhà toán học đã biết cách để phân loại các bề mặt. Và một cách tự nhiên, học đã bắt đầu quan tâm đến những đa tạp ba chiều. Câu hỏi đầu tiên được đặt ra là, những hình cầu ba chiều có tương tự như hình cầu hai chiều, tức là sẽ duy nhất về tính đơn giản hay không? Một lịch sử  dài cả thế kỷ trong toán học đã theo đuổi câu hỏi cơ bản đó với đầy rẫy những nỗ lực chỉ đem lại thất bại.
Chính Henri Poincaré đã trả lời câu hỏi này bằng trực cảm. Ông là một trong hai nhà toán học xuất chúng nhất đầu thế kỷ 20 (người kia là David Hilbert). Poincaré đã thể hiện tài năng của mình trong tất cả các lĩnh vực toán học, cả thuần túy lẫn ứng dụng. Ngoài việc phát triển một số lớn các lĩnh vực toán học, ông còn đóng góp cho các lý thuyết về cơ học thiên thể, điện từ học, và cả triết học về khoa học.
Poincaré đã phát triển trên phạm vi rộng một lĩnh vực toán học được gọi là topo đại số. Vào khoảng năm 1900, ông đã xây dựng được một phép đo topo cho vật thể, gọi là homotopy. Để xác định homotopy của một đa tạp, hãy tưởng tượng bạn có một vòng kín trong đa tạp đó. Vòng kín có thể được uốn vòng quanh đa tạp theo bất cứ kiểu khả dĩ nào. Khi ấy, chúng ta sẽ hỏi, liệu cái vòng kín có thể luôn luôn co lại thành một điểm chỉ bằng việc di chuyển vòng quanh mà luôn luôn tiếp xúc với đa tạp hay không? Đối với trường hợp hình xuyến, câu trả lời là không. Nếu vòng kín chạy xung quanh chu vi của hình xuyến, nó sẽ co lại theo đường tròn trong của cái bánh vừng vòng, và không thể trở thành một điểm.
Trong một hình cầu n chiều, bất kể bị xoắn lại thế nào thì vòng kín luôn luôn có thể được gỡ rối và co lại thành một điểm. Poincaré đã nhận định rằng, 3-đa tạp duy nhất mà trên đó mọi vòng kín khả dĩ đều có thể co về một điểm chính là một hình cầu ba chiều. Tuy nhiên, ông đã không thể chứng minh được điều này. Đây chính là phỏng đoán Poincaré mà qua nhiều thập kỷ, nhiều người đã cố gắng chứng minh là nó sai bởi vì đơn giản là họ đã không thể chứng minh là nó đúng.

Hình học hóa
Chứng minh của Perelman là thành công đầu tiên có tính thuyết phục cao. Phương pháp của ông là phân tích các đa tạp ba chiều được liên hệ với một thủ tục gọi là sự hình học hóa. Hình học liên hệ với hình dạng thực tế của một vật thể hay đa tạp: đối với hình học, một vật thể là “được làm bằng gốm” chứ không phải “bột bánh dẻo”.
Để biết được Perelman đã sử dụng sự hình học hóa như thế nào, hãy xét cách mà hình học được sử dụng để phân loại các 2-đa tạp, hay các bề mặt  Mỗi bề mặt topo được gắn với một hình học đặc biệt duy nhất: theo đó, đường cong của bề mặt được trải ra một cách đồng đẳng trên đa tạp, tức là chỗ nào nó cũng có độ cong như nhau. Đối với hình cầu, hình học duy nhất đó là một mặt cầu hoàn hảo. Dạng quả trứng là một hình học khả dĩ khác, tuy nhiên nó không thỏa mãn điều kiện trên, bởi vì đầu nhỏ của quả trứng sẽ cong hơn đầu to.
Các 2-đa tạp tạo nên ba kiểu hình học. Hình cầu được coi là có độ cong dương, hình xuyến được hình học hóa là phẳng, có độ cong bằng không, giống như mặt phẳng. Tât cả các 2-đa tạp khác mà có từ hai “tay cầm” trở lên thì đều có độ cong âm, ví dụ như cái yên ngựa. Poincaré cùng với Paul Koebe và Felix Klein đã đóng góp cho sự hình học hóa này. Đó là sự hình học hóa của các 2-đa tạp.
Sẽ là tự nhiên nếu ta thử áp dụng những phương pháp như vậy cho các 3-đa tạp. Liệu có thể tìm ra những hình học duy nhất cho các 3-đa tạp topo mà trên chúng, đường cong cũng trải ra một cách đồng đẳng hay không?
Hóa ra là, các 3-đa tạp rắc rối hơn các 2-đa tạp rất nhiều. Hầu hết các 3-đa tạp đều không thể được gắn với một hình học đồng nhất. Thay vào đó, chúng phải bị cắt thành những mẩu nhỏ, mỗi mẩu có một hình học chính tắc riêng biệt. Hơn nữa, thay vì chỉ có ba hình học cơ bản như trường hợp các 2-đa tạp, các 3-đa tạp có thể có tới tám hình học chính tắc.
Kiểu phân loại này lần đầu tiên được phỏng đoán bởi Thurston vào cuối những năm 1970. Ông và các cộng sự đã chứng minh được một số khía cạnh của nó, nhưng điểm mấu chốt, là toàn bộ hệ phụ thuộc vào phần còn lại vẫn chưa thể nắm bắt được, bao gồm cả phần chứa đựng phỏng đoán Poincaré. Các hình cầu ba chiều có duy nhất hay không? Các công trình của Perelman đã trả lời cho câu hỏi đó, đồng thời đã hoàn thành chương trình Thurston.
Hamilton đã bắt đầu một chương trình phân tích các 3-đa tạp vào đầu những năm 1990, sử dụng một phương trình gọi là dòng Ricci (lấy theo tên nhà toán học Gregorio Ricci-Curbastro), tương tự như phương trình của dòng nhiệt. Trong một vật có sự chênh lệch nhiệt độ, nhiệt lương sẽ truyền một cách tự nhiên từ nơi nóng hơn sang nơi lạnh hơn cho đến khi nhiệt độ tại moi nơi là như nhau. Phương trình dòng Ricci có một hiệu ứng tương tự như vậy xảy ra với độ cong, nó sẽ làm mất dần đi những lồi lõm, tức là làm mất dần đi sự chênh lệch độ cong. Nếu bạn bắt đầu với một hình quả trứng, nó sẽ dần dần trở thành một hình cầu hoàn hảo.
Phép phân tích của Hamilton đã gặp phải một chướng ngại: trong một số trường hợp nhất định, dòng Ricci sẽ khiến một đa tạp bị co thành một điểm. Một ví dụ là khi đa tạp có hình quả tạ tay, tức là hai hình cầu được nối với nhau bằng một trục. Các quả cầu sẽ thu hút vật chất từ cái trục và khiến cho phần giữa trục trở thành một điểm. Một ví dụ khác là khi một que nhỏ được gắn vào một đa tạp, dòng Ricci có thể gây ra một rắc rối được gọi là kỳ dị hình điếu xì-gà. Khi các đa tạp bị biến dạng như thế này, nó sẽ được gọi là kỳ dị và không còn là một đa tạp ba chiều thực sự nữa. Để vượt qua được trở ngại này, người ta đã phải trông cậy vào tài năng của Perelman.
Perelman đã đến Mỹ vào năm 1992 để làm tiến sỹ. Ông học một thời gian ở Đại học New York và Stony Brook, sau đó dành 2 năm ở Đại học California, Berkeley. Perelman nhanh chóng trở thành một tài năng trẻ sáng giá khi chứng minh được những kết quả quan trọng và sâu sắc trong một lĩnh vực hình học. Ông được trao tặng một giải thưởng của Hội Toán học châu Âu (ông đã từ chối nhận) và nhận một lời mời danh dự đọc diễn văn trước Hội đồng Toán Quốc tế. Mùa xuân năm 1995, từ chối những lời mời hấp dẫn của các trung tâm toán học nổi tiếng, Perelman đã trở về nhà mình ở St. Petersburg. “Về mặt văn hóa, ông là một con người rất Nga,” một đồng nghiệp người Mỹ nhận xét, “Ông theo chủ nghĩa coi khinh vật chất.”
Sau khi về St. Petersburg, Perelman gần như biến mất trong làng toán học quốc tế. Sau nhiều năm, ông đã chỉ xuất hiện khi gửi e-mail cho các đồng nghiệp cũ để chỉ ra những sai sót trong  các công trình mà họ đã đăng trên internet. Những e-mail gửi lại cho ông để hỏi về tình hình công việc thì đều không nhận được trả lời.
Cuối cùng, vào cuối năm 2002, một vài người đã nhận được e-mail của Perelman rằng, ông đã đăng công trình của mình trên mạng, và họ có lẽ sẽ tìm thấy điều gì đó đáng quan tâm trong công trình này. Đó là cuộc tấn công đầu tiên của Perelman đối với phỏng đoán Poincaré. Trong bài báo của mình, ngoài việc nhắc đến Viện Steklov của mình, Perelman tỏ ra biết ơn về số tiền hỗ trợ mà ông đã dành dụm được khi còn làm tiến sỹ ở Mỹ.
Trong công trình của mình, Perelman đã đưa vào một số hạng mới cho phương trình dòng Ricci. Phương trình thu được tuy không loại bỏ những rắc rối về kỳ dị nhưng nó đã cho phép Perelman thực hiện sự phân tích sâu sắc hơn. Với những kỳ dị cho trường hợp đa tạp quả tạ, ông đã chỉ ra rằng, cách “điều trị” có thể được tiến hành như sau: cắt đi sự biến dạng của mỗi bên và hàn lại chỗ hở trên mỗi quả tạ bằng một chỏm cầu. Khi ấy dòng Ricci có thể tiếp tục làm biến đổi đa tạp song song với thủ tục “phẫu thuật” như vậy. Ông cũng chỉ ra rằng, các kỳ dị xì-gà là không thể xảy ra. Theo cách này, một 3-đa tạp bất kỳ có thể được đưa về một tập hợp các mẩu nhỏ, mỗi mẩu có một hình học đồng nhất.
Khi dòng Ricci và phép phẫu thuật được áp dụng cho tất cả các 3-đa tạp khả dĩ, bất cứ đa tạp nào mà cũng “đơn giản” như hình cầu ba chiều thì cuối cùng nhất thiết phải có cùng hình học đồng nhất như hình cầu ba chiều. Điều đó có nghĩa là về mặt topo, đa tạp cần tìm chính là hình cầu ba chiều và nó là duy nhất.

Poincaré đang nói chuyện với Marie Curie tại Hội nghị Vật lý Solvay lần thứ nhất (Brussels tháng 10/1911). Những người đứng đằng sau (từ trái sang phải) là Ernest Rutherford, Heike Kamerlingh Onnes và Albert Einstein. Đây là lần duy nhất Einstein và Poincaré gặp nhau. Poincaré đã mất sau đó 9 tháng.

Ngoài việc chứng minh phỏng đoán Poincaré, nghiên cứu của Perelman còn rất quan trọng cho những kỹ thuật phân tích mới, các nhà toán học cũng đang áp dụng công trình của ông để đi tìm lời giải cho những bài toán khác. Thêm vào đó, toán học cũng có những mối liên hệ kỳ lạ với vật lý. Dòng Ricci thực ra là có liên quan đến cái gọi là nhóm tái chuẩn hóa, xác định sự thay đổi cường độ của các tương tác phụ thuộc vào năng lượng lượng va chạm. Chẳng hạn, ở những năng lượng thấp, tương tác điện từ có cường độ được đặc trưng bởi con số 0,0073 (khoảng 1/137). Nếu hai electron va vào nhau ở tốc độ gần với ánh sáng, cường độ khi ấy sẽ là xấp xỉ 0,0078.
Tăng năng lượng va chạm là tương đương với nghiên cứu lực ở khoảng cách gần hơn. Do dó, nhóm tái chuẩn hóa giống như một chiếc kính hiển vi với độ phóng đại có thể thay đổi để khảo sát một quá trình ở những mức độ tinh tế khác nhau. Tương tự như vậy, dòng Ricci là chiếc kính hiển vi dùng để quan sát các đa tạp ở một độ phóng đại được chọn. Những lồi lõm nhìn thấy được ở  một độ phóng đại này có thể biến mất ở một độ phóng đại khác. Các nhà vật lý mong đợi rằng, ở thang chiều dài Planck (khoảng 10-35m), không gian mà chúng ta đang sống sẽ trông hoàn toàn khác, nó sẽ lổn nhổn với những vòng kín, “tay cầm” và các cấu trúc topo khác. Toán học mô tả sự thay đổi các lực vật lý là rất giống với toán học mô tả sự hình học hóa của một đa tạp.  
Một mối liên hệ khác với vật lý là ở chỗ các phương trình thuyết tương đối tổng quát. Chúng mô tả lực hấp dẫn và cấu trúc trên phạm vi lớn của vũ trụ, được liên hệ gần gũi với phương trình dòng Ricci. Hơn nữa, số hạng mà Perelman đã thêm vào thực ra là nảy sinh trong lý thuyết dây, một lý thuyết lượng tử về hấp dẫn. Chúng ta hãy chờ xem những khám phá của Perelman có đem lại điều gì mới cho lý thuyết tương đối tổng quát và lý thuyết dây hay không.  

Trong thời gian ở Trung Quốc, Khâu Thành Đồng – nhà toán học gốc Hoa duy nhất đến nay đoạt Huy chương Fields – đến tìm học trò cũ Chu Hi Bình, trưởng khoa toán ĐH Tôn Dật Tiên; trước đó, Khâu đã tuyển Chu và một đệ tử khác của mình, Tào Hoài Đông, giáo sư ĐH Lehigh, vào công việc kiểm chứng lời giải của Perelman. “Chúng ta phải tìm hiểu xem bài báo của Perelman có toàn vẹn không” –  Khâu Thành Đồng nói với họ.
Tháng 4/2006,  tạp chí Toán học Châu Á (A.J.M) do Khâu Thành Đồng đồng chủ biên đã đăng bài báo của Chu và Tào “Bài chứng minh hoàn thiện các giả thuyết Poincaré và hình học hóa: Ứng dụng của Lý thuyết Hamilton-Perelman về dòng Ricci” với lời bình luận: “bài chứng minh này nên được coi là một thành tựu to lớn của Lý thuyết Hamilton-Perelman về dòng Ricci”.
Tháng 6/2006, Khâu bắt đầu quảng bá công lao của hai học trò trong việc nghiên cứu giải quyết giả thuyết Poincaré: “Hamilton đóng góp hơn 50%, người Nga, Perelman đóng góp khoảng 25%, và người Trung Quốc: Khâu, Chu và Tào, đóng góp khoảng 30%”. (Một nhà toán học hàng đầu đôi khi cũng có phép cộng kì cục như vậy!)  Những động thái trên khiến giới toán học có cảm giác Khâu đang tước đoạt những công lao của Perelman trong việc giải quyết hoàn toàn giả thuyết Poincaré. Perelman thì cho rằng: “Có vẻ như Chu không hiểu lắm bài báo của tôi và chỉ cố gắng xây dựng lại lời giải”. Còn về Khâu Thành Đồng, ông nói: “Tôi không thể nói rằng tôi bị xúc phạm. Có những người khác còn làm những điều xấu xa hơn…”