Sự hình thành Lý thuyết lượng tử: Từ nung nấu của Born đến ba đột phá hiện thực hóa của Heisenberg

Heisenberg đã “đứng trên vai hai người khổng lồ” Niels Bohr và Max Born để từ đó đưa ra các đề xuất căn bản đặt nền móng cho hình thức luận toán học của cơ học lượng tử.

Heisenberg vẫn được nhắc đến như “cha đẻ” của cơ học ma trận, qua bài báo mang tính đột phá công bố vào năm 1925. Tuy nhiên, để nhìn nhận đầy đủ về sự hình thành của lý thuyết này, cần đặt nó trong bối cảnh cụm ba công trình liên tiếp được công bố trong cùng năm: bài đầu tiên của Heisenberg, tiếp theo là bài của Born và Jordan, và sau cùng là công trình hợp tác giữa Born, Heisenberg và Jordan.

Mặc dù trong thời gian qua đã có không ít bài viết và sự kiện phổ biến khoa học trong nước đề cập đến lịch sử hình thành cơ học lượng tử, tài liệu đi sâu trực tiếp vào phân tích ba công trình nền tảng nói trên vẫn còn khá hiếm. Trong khi đó, cộng đồng nghiên cứu lịch sử vật lý và giáo dục quốc tế đã có nhiều đóng góp đáng kể – không chỉ tái hiện lại một giai đoạn sôi động trong quá trình xây dựng cơ học lượng tử như một lý thuyết mô tả sự vận động của thế giới vi mô, mà còn đưa ra những phân tích sắc sảo về từng công trình mang tính bước ngoặt, đặc biệt là bài báo đầu tiên của Heisenberg.

Cách đây vài năm, tôi có cơ hội tiếp cận một bản dịch tiếng Anh của bài báo gốc do chính Heisenberg viết – bản này hiện vẫn có thể tìm thấy trên Internet. Khi đọc bài báo, tôi bị cuốn hút bởi cấu trúc chặt chẽ, cách đặt vấn đề mạch lạc và chiều sâu trong tư duy của Heisenberg. Dù nội dung mang tính chuyên môn cao và đòi hỏi nền tảng kiến thức vững chắc, nhưng khi kết nối được các khái niệm, tôi nhận thấy các luận điểm trong bài được trình bày một cách rất tự nhiên – như thể chúng là kết quả tất yếu của sự hội tụ giữa hai dòng tư tưởng lớn lúc bấy giờ: một từ Bohr, một từ Born.

Dưới góc nhìn sư phạm, tôi cho rằng cách trình bày trong bài báo của Heisenberg rất đáng chú ý: rõ ràng, giàu tính gợi mở và có khả năng khơi dậy tư duy. Tôi từng có ý định dịch bài báo này sang tiếng Việt để giới thiệu rộng rãi hơn đến bạn đọc trong nước, nhưng vì nhiều lý do, dự định ấy vẫn chưa thành hiện thực. Nhân dịp kỷ niệm 100 năm cơ học lượng tử ra đời, tôi viết bài này nhằm giới thiệu, phân tích và đánh giá những ý tưởng chính trong bài báo của Heisenberg, trong mối liên hệ với các công trình nền tảng cùng thời.

Bối cảnh lịch sử

Để giúp bạn đọc hình dung rõ hơn về một giai đoạn đặc biệt sôi động trong lịch sử khoa học, tôi xin phác họa một số điểm chính trong bối cảnh lịch sử dẫn đến sự ra đời của cơ học lượng tử. Nhiều lần tôi tự hỏi: vì sao trong một khoảng thời gian ngắn lại có thể xuất hiện hàng loạt công trình khoa học mang tính cách mạng như vậy? Đến nay, tôi tin rằng đó chính là thời điểm chín muồi, khi những suy tư kéo dài, những trao đổi thư từ giữa các nhà khoa học, cùng những chuyến thăm viếng và hợp tác nghiên cứu đã tạo nên một nền tảng phong phú. Qua quá trình thử và sai liên tục, các ý tưởng dần được kết tinh thành những mảnh ghép riêng rẽ. Và rồi, Heisenberg (cũng như Schrödinger) đã tìm ra cách kết nối chúng lại, tạo nên một bức tranh lý thuyết hoàn chỉnh.

Cần phải nói rõ rằng, giới học thuật thường phân chia tiến trình phát triển của cơ học lượng tử thành ba giai đoạn lớn: giai đoạn tiền đề, giai đoạn khai sinh, và giai đoạn hiện đại.

– Giai đoạn tiền đề bắt đầu từ năm 1900, với công trình của Max Planck về bức xạ vật đen, và kéo dài đến năm 1925.

– Giai đoạn khai sinh bắt đầu từ năm 1925, với ba công trình quan trọng: một của Heisenberg, một của Born và Jordan, và một của bộ ba Born – Jordan – Heisenberg, kết thúc khoảng năm 1930 khi lý thuyết lượng tử được định hình đầy đủ về mặt hình thức.

– Giai đoạn hiện đại là giai đoạn ứng dụng và phát triển lý thuyết lượng tử vào nhiều lĩnh vực khoa học và công nghệ, đặc biệt là trong cuộc cách mạng công nghệ lượng tử đang diễn ra ngày nay.

Để nhìn nhận một thành tựu tại một thời điểm cụ thể, ta không thể tách rời nó khỏi bối cảnh tổng thể của toàn bộ tiến trình khoa học trước đó. Trong trường hợp loạt ba công trình đột phá năm 1925, điều không thể bỏ qua là sự phát triển đỉnh cao của ba ngành vật lý nền tảng trước thế kỷ XX: cơ học cổ điển, điện từ học cổ điển, và nhiệt động lực học cùng với cơ học thống kê. Chính từ ba nền tảng lý thuyết này mà cuộc khủng hoảng của vật lý cuối thế kỷ XIX đã bùng nổ, và cũng từ đó mà cơ học lượng tử đã ra đời như một lối thoát tất yếu.

Chính từ sự phát triển đỉnh cao của ba ngành vật lý nền tảng trước thế kỷ XX: cơ học cổ điển, điện từ học cổ điển, và nhiệt động lực học cùng với cơ học thống kê mà cuộc khủng hoảng của vật lý cuối thế kỷ XIX đã bùng nổ, và cũng từ đó, cơ học lượng tử đã ra đời như một lối thoát tất yếu.

Thứ nhất, cơ học lý thuyết

Tiến trình phát triển của cơ học lý thuyết khởi đầu với các công trình kinh điển của Isaac Newton. Năm 1687, Newton công bố tác phẩm Principia Mathematica, trong đó ông trình bày ba định luật chuyển động và định luật vạn vật hấp dẫn. Những định luật này đã đặt nền móng đầu tiên cho cơ học cổ điển, cho phép mô tả chính xác chuyển động của các vật thể trong không gian và thời gian.

Tiếp theo, cùng với sự phát triển mạnh mẽ của toán học trong thế kỷ XVIII, các nhà toán lý như Leonhard Euler và Joseph – Louis Lagrange đã nâng cao lý thuyết cơ học lên một mức độ trừu tượng hơn. Trong khoảng thời gian từ 1740 đến 1780, họ đưa ra nguyên lý tác dụng cực trị (hay còn gọi là nguyên lý tác dụng tối tiểu), một phương pháp tiếp cận mới dựa trên bài toán tối ưu. Từ đó, họ thiết lập phương trình chuyển động cho các hệ cơ học thông qua các biến số động lực học. Cách tiếp cận này đã khái quát hóa phương pháp của Newton, đặc biệt hiệu quả trong việc giải các bài toán có ràng buộc động học.

Khoảng 60 năm sau, vào năm 1833, William Rowan Hamilton giới thiệu một hình thức luận hoàn toàn mới cho cơ học cổ điển, ngày nay được biết đến là hình thức luận Hamiltonian. Phương pháp này dựa trên khái niệm phép biến đổi chính tắc (canonical transformation) và xây dựng nên một cấu trúc đại số tinh vi của cơ học cổ điển. Trên nền tảng đó, hệ cơ học được mô tả bởi các cặp biến số liên hợp (tọa độ và xung lượng), xác định trạng thái chuyển động của hệ tại mỗi thời điểm như một điểm trong một không gian toán học trừu tượng gọi là không gian pha (phase space).

Chưa dừng lại ở đó, từ năm 1837 đến 1866, nhà toán học Carl Gustav Jacobi đã có những đóng góp then chốt, nâng lý thuyết cơ học lên một mức độ khái quát sâu sắc hơn. Ông nhận ra rằng phiếm hàm tác dụng của một hệ cơ học có thể được sử dụng như một hàm sinh (generating function) để xác định các biến số động lực. Phương trình chuyển động cho hàm sinh này, nay được gọi là phương trình Hamilton – Jacobi, không chỉ tái hiện lại cơ học cổ điển mà còn hé lộ những yếu tố bất biến toàn cục (global invariants), điều chỉnh cách hệ biểu hiện chuyển động cụ thể tại từng điểm trong không gian pha.

Thứ hai, lý thuyết điện động lực học cổ điển

Tiến trình phát triển của lý thuyết điện động lực học cổ điển có thể được phân chia thành ba giai đoạn chính:

Giai đoạn thứ nhất – Giai đoạn nền tảng (1600–1830):

Đây là thời kỳ khởi đầu, khi những quan sát thực nghiệm đầu tiên về hiện tượng điện và từ được ghi nhận. Các nhà khoa học như William Gilbert, Charles-Augustin de Coulomb, Hans Christian Ørsted, André-Marie Ampère và Michael Faraday đã lần lượt khám phá ra những định luật cơ bản chi phối các tương tác điện và từ. Những công trình của họ đã đặt nền móng cho việc hình thành các định luật điện từ học sơ khai và định lượng được hiện tượng vật lý qua thí nghiệm.

Giai đoạn thứ hai – Giai đoạn hợp nhất điện và từ (1830 –1870):

Thời kỳ này chứng kiến bước ngoặt lớn với phát hiện về hiện tượng cảm ứng điện từ của Michael Faraday. Từ những kết quả thực nghiệm đó, James Clerk Maxwell đã hệ thống hóa các định luật rời rạc thành một hệ phương trình vi phân hoàn chỉnh – ngày nay gọi là phương trình Maxwell. Những phương trình này mô tả mối quan hệ giữa điện trường, từ trường và các nguồn phát sinh của chúng (tức là điện tích và dòng điện). Qua đó, Maxwell đã hợp nhất hai lĩnh vực tưởng như riêng biệt – điện học và từ học – thành một lý thuyết thống nhất: điện từ học.

Giai đoạn thứ ba – Giai đoạn hệ thống hóa và áp dụng (1873 –1900):

Sau Maxwell, các nhà vật lý như Heinrich Hertz, Oliver Heaviside và Hendrik Lorentz tiếp tục hoàn thiện lý thuyết điện từ, đồng thời đơn giản hóa và chuẩn hóa các biểu thức toán học của nó. Những cải tiến này không chỉ nâng tầm lý thuyết mà còn góp phần đưa các hiện tượng điện và từ vào ứng dụng thực tiễn, mở đầu cho sự ra đời của kỹ thuật điện và các thiết bị điện dân dụng. Lý thuyết điện từ giờ đây không còn là một lĩnh vực thuần túy lý thuyết, mà đã thâm nhập sâu rộng vào đời sống xã hội và công nghệ.

Phát hiện về ràng buộc chặt chẽ giữa phát xạ tự phát và phát xạ cưỡng bức không chỉ đặt nền tảng cho việc xác định xác suất chuyển trạng thái lượng tử, mà còn mở đường cho sự phát triển của cơ chế phát xạ cưỡng bức – cơ chế cốt lõi cho laser.

Tuy nhiên, chính sự thành công rực rỡ ấy lại dẫn đến một cuộc khủng hoảng nhận thức trong vật lý vào cuối thế kỷ XIX. Theo lý thuyết điện từ cổ điển, nguyên tử – với cấu trúc electron quay quanh hạt nhân – lẽ ra không thể ổn định, vì electron sẽ liên tục phát ra bức xạ điện từ và mất năng lượng, khiến nguyên tử sụp đổ. Mâu thuẫn này đã bộc lộ rõ giới hạn của mô hình cổ điển, đặt nền móng cho sự ra đời của cơ học lượng tử như một cách lý giải mới cho thế giới vi mô.

Thứ ba, sự phát triển của lý thuyết nhiệt động lực học

Tiến trình phát triển của lý thuyết nhiệt động lực học có thể được truy nguyên từ thế kỷ XVII đến thế kỷ XVIII, gắn liền với quá trình con người dần hình thành khái niệm về “nhiệt” như một đại lượng vật lý có thể đo lường, trao đổi và chuyển hóa. Dù có nhiều mốc quan trọng trong giai đoạn này, đỉnh cao nổi bật là sự ra đời của lý thuyết động cơ nhiệt với công trình mang tính nền tảng của Sadi Carnot vào năm 1824, đặt nền móng cho việc hiểu và định lượng hiệu suất của các hệ nhiệt động.

Từ giữa thế kỷ XIX, lý thuyết này tiếp tục được củng cố bởi việc thiết lập hai định luật cơ bản của nhiệt động lực học:

– Định luật thứ nhất phát biểu nguyên lý bảo toàn năng lượng dưới dạng sự chuyển hóa giữa nhiệt năng và công cơ học. Những thí nghiệm kinh điển của James Prescott Joule đã xác lập mối quan hệ định lượng giữa nhiệt lượng và công, từ đó khẳng định rằng nhiệt cũng là một dạng năng lượng.

– Định luật thứ hai được phát triển độc lập bởi Rudolf Clausius và William Thomson (Lord Kelvin), với sự xuất hiện của khái niệm entropy vào khoảng năm 1850. Đây là một bước tiến vượt bậc trong tư duy vật lý, vì nó không chỉ mô tả chiều hướng tự nhiên của các quá trình nhiệt mà còn liên hệ đến tính không thể đảo ngược của thời gian trong thế giới vật lý.

Sang cuối thế kỷ XIX, nền tảng của nhiệt động lực học được mở rộng và khái quát hóa sâu sắc thông qua sự ra đời của cơ học thống kê. Những đóng góp của James Clerk Maxwell, Ludwig Boltzmann và Josiah Willard Gibbs đã cho phép diễn giải các đại lượng nhiệt động vĩ mô – như entropy – dưới góc nhìn vi mô, thông qua xác suất phân bố của các trạng thái vi mô trong một hệ vật lý. Đây chính là bước ngoặt trong việc kết nối giữa động lực học cổ điển và lý thuyết xác suất.

Đỉnh cao của toàn bộ tiến trình này là bài toán phát xạ và hấp thụ bức xạ điện từ của vật đen tuyệt đối – một hệ lý tưởng chỉ hấp thụ và phát xạ năng lượng mà không phản xạ. Khái niệm về “vật đen tuyệt đối” vốn đã được Gustav Kirchhoff đề xuất từ khoảng năm 1860, trong bối cảnh nghiên cứu về cân bằng nhiệt giữa vật chất và bức xạ. Ông chứng minh rằng: tỷ số giữa năng suất phát xạ và khả năng hấp thụ của một vật chỉ phụ thuộc vào bước sóng và nhiệt độ, không phụ thuộc vào bản chất của vật liệu. Từ đó, ông khái quát hóa một loại vật lý tưởng – vật đen tuyệt đối – là hệ hấp thụ hoàn hảo mọi bức xạ tới. Đặc tính phổ bức xạ của vật đen như vậy trở thành đặc trưng chung của tự nhiên, không phụ thuộc vào vật liệu cụ thể. 

Về mặt lý thuyết, bài toán xác định phổ bức xạ của vật đen tuyệt đối là một bài toán thống kê điển hình. Vào giai đoạn cuối thế kỷ XIX đầu thế kỷ XX, lý thuyết thống kê Boltzmann đã trở thành một công cụ mạnh mẽ được tin tưởng sử dụng rộng rãi trong giới vật lý lý thuyết. Tuy nhiên, vấn đề căn bản của bài toán thống kê là giả định về trạng thái vi mô của hệ. Rayleigh và Jeans vận dụng các kiến thức của điện động lực học thời bấy giờ (xem năng lượng của bức xạ điện từ là liên tục) kết hợp với lý thuyết thống kê Boltzmann đã dẫn đến kết quả một biểu thức phân bố cường độ bức xạ chỉ đúng cho tần số thấp nhưng lại dẫn đến “thảm họa tử ngoại”. Để vượt qua tình cảnh này, năm 1900, Planck đưa ra giả định mang tính cách mạng: các bộ dao động vật chất trong thành phần cấu tạo nên thành của vật đen (tức thành của lò nung bức xạ) chỉ có thể trao đổi năng lượng với trường bức xạ dưới dạng các gói rời rạc có năng lượng E=hν, trong đó h là một hằng số mới – hằng số Planck. Nhờ giả định này, ông đã suy ra được biểu thức phân bố bức xạ – định luật Planck – phù hợp chính xác với dữ liệu thực nghiệm trong toàn bộ miền tần số, từ hồng ngoại tới tử ngoại.

Chính nhu cầu tìm ra hàm phân bố bức xạ của vật đen tuyệt đối đã dẫn các nhà vật lý đến việc phát hiện ra rằng một định luật phổ quát như thế chỉ có thể tồn tại nếu năng lượng trao đổi không còn là liên tục, mà phải lượng tử hóa. Hằng số Planck, vốn chỉ là một tham số kỹ thuật trong công thức ban đầu của Planck, dần được nhận thức là một hằng số cơ bản của tự nhiên, đánh dấu sự khởi đầu cho cuộc cách mạng lượng tử – nơi mà các đại lượng vật lý như năng lượng, động lượng, và spin sẽ không còn liên tục như trong cơ học cổ điển, mà xuất hiện theo từng “bước nhảy rời rạc”.

Trong cùng giai đoạn này, Albert Einstein đã có những đóng góp nền tảng. Tiếp nhận giả thuyết của Planck, nhưng từ một góc nhìn khác biệt, Einstein đề xuất rằng bản thân bức xạ điện từ cũng mang tính chất hạt, và ánh sáng tồn tại dưới dạng lượng tử rời rạc (về sau gọi là photon). Mô hình này đã giúp ông giải thích hiện tượng quang điện một cách đơn giản và chính xác – một thách thức lớn đối với lý thuyết sóng thuần túy. Sau này, tiếp nhận công trình của Satyendra Nath Bose, Einstein còn chỉ ra rằng ánh sáng là một tập hợp các hạt đồng nhất, có năng lượng và động lượng xác định.

Trong thời kỳ này, hầu hết các nhà vật lý vẫn trung thành với lối tiếp cận “từ dưới lên” – tức là dựa trên điện động lực học cổ điển, trong đó điện tích sinh ra trường, và trường mô tả lại chuyển động của điện tích. Họ nỗ lực mô tả chính xác chuyển động của electron trong nguyên tử, với mục tiêu từ đó suy ra trường điện từ bức xạ. Đỉnh cao của phương pháp tiếp cận này là mô hình nguyên tử Bohr (1913).

Trong mô hình này, Niels Bohr hình dung rằng electron quay quanh hạt nhân giống như các hành tinh quay quanh Mặt trời. Tuy nhiên, để vượt qua mâu thuẫn với lý thuyết cổ điển (theo đó electron chuyển động tròn phải phát bức xạ liên tục và làm nguyên tử sụp đổ), Bohr đề xuất rằng electron chỉ được phép tồn tại trên những quỹ đạo ổn định nhất định (gọi là quỹ đạo dừng) mà không phát bức xạ. Nguyên tử chỉ phát ra hoặc hấp thụ bức xạ khi electron chuyển giữa các quỹ đạo dừng, và năng lượng của bức xạ đúng bằng hiệu năng lượng giữa hai quỹ đạo.

Đặc biệt, các quỹ đạo dừng này được xác định bởi một điều kiện lượng tử hóa: Bohr cho rằng momentum góc của electron chỉ nhận các giá trị là bội nguyên của hằng số Planck h chia cho hai lần số pi. Dù không có một lập luận lý thuyết chặt chẽ nào cho điều kiện lượng tử hóa này, nhưng rất có thể Bohr đã liên hệ đến định luật thứ hai của Kepler, theo đó diện tích quỹ đạo mà một hành tinh quét được trong những khoảng thời gian bằng nhau là như nhau – một nguyên lý sâu xa gắn với sự bảo toàn động lượng góc.

Mặc dù Bohr chỉ tập trung vào cấu trúc nguyên tử – tức là chuyển động của electron xung quanh hạt nhân – mà không quan tâm sâu đến bản chất của bức xạ điện từ, ông vẫn giữ quan điểm truyền thống rằng bức xạ là liên tục, phù hợp với lý thuyết điện động lực học cổ điển.

Tuy nhiên, ngay từ năm 1908, Walter Ritz đã đưa ra một quan sát rất đáng chú ý (Physikalische Zeitschrift, tập 9, trang 512, 1908): các tần số phổ phát xạ mà người ta quan sát được từ các nguyên tử và phân tử có thể được sắp xếp theo một nguyên lý kết hợp, nghĩa là các vạch phổ không xuất hiện một cách ngẫu nhiên mà tuân theo quy luật kết hợp giữa các mức năng lượng. Những phân tích phổ học tinh vi hơn, đặc biệt là trên nguyên tử hydro do Balmer và Rydberg thực hiện, đã củng cố nhận định này.

Chính tại đây, cần phải nhắc đến một công trình mang tính nền tảng khác của Albert Einstein, được công bố vào năm 1917 trong bài báo nổi tiếng “Zur Quantentheorie der Strahlung” (Về lý thuyết lượng tử của bức xạ, Physikalische Zeitschrift 18, tr. 121–128). Trong bài viết này, Einstein đặt ra một câu hỏi sâu sắc và cơ bản: Làm thế nào một hệ nguyên tử, khi tương tác với bức xạ điện từ, có thể đạt đến trạng thái cân bằng nhiệt? Hay cụ thể hơn: nếu người ta đặt một tập hợp nguyên tử vào trong một môi trường bức xạ, điều gì quyết định quá trình hấp thụ và phát xạ photon, và khi nào thì hệ đạt được phân bố năng lượng theo định luật Planck?

Để trả lời, Einstein sử dụng một mô hình cực kỳ đơn giản nhưng giàu sức mạnh khái quát: mô hình hai mức lượng tử. Trong đó, electron chỉ có thể tồn tại ở hai mức năng lượng riêng biệt, và quá trình phát hoặc hấp thụ photon tương ứng với sự chuyển đổi giữa hai mức này.

Điều đáng chú ý là Einstein không đi sâu vào chi tiết động học của nguyên tử mà chuyển trọng tâm sang chính trường bức xạ. Ông đưa ra ba quá trình chuyển trạng thái: (1) hấp thụ tự phát (absorption), (2) phát xạ tự phát (spontaneous emission), và (3) phát xạ cưỡng bức (stimulated emission).

Khái niệm phát xạ cưỡng bức mới mẻ và mang tính đột phá: khi một photon có năng lượng phù hợp tương tác với một nguyên tử đang ở trạng thái kích thích, nó có thể “ép” nguyên tử này phát ra một photon thứ hai hoàn toàn đồng bộ với photon ban đầu – tức cùng pha, cùng hướng, cùng năng lượng. Kết hợp với phân bố Boltzmann cho trạng thái năng lượng và định luật Planck cho bức xạ nhiệt, Einstein suy ra được mối liên hệ xác suất giữa ba quá trình này để đảm bảo hệ đạt được cân bằng nhiệt.

Đây là một bước ngoặt trong vật lý hiện đại: sự phát xạ tự phát và phát xạ cưỡng bức không độc lập, mà ràng buộc chặt chẽ bởi các hệ thức xác suất lượng tử, tất cả đều được xác định duy nhất bởi phổ Planck.

Phát hiện này không chỉ đặt nền tảng cho việc xác định xác suất chuyển trạng thái lượng tử, mà còn mở đường cho sự phát triển của cơ chế phát xạ cưỡng bức – cơ chế cốt lõi cho laser (Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation). Gần 40 năm sau, laser chính thức ra đời, hoạt động dựa trên đúng nguyên lý này, hoàn toàn độc lập với mô hình quỹ đạo Bohr. Điều đặc biệt là, toàn bộ lý thuyết này chỉ dựa trên nguyên lý cân bằng nhiệt và các đại lượng quan sát được từ thực nghiệm, không cần giả định bất kỳ mô hình cơ học cụ thể nào cho chuyển động của electron.□

(Còn tiếp)

——

* GS. Đỗ Vân Nam nghiên cứu và giảng dạy tại Đại học Phenikaa.

Bài đăng Tia Sáng số 16/2025