Sự hình thành Lý thuyết lượng tử: Từ nung nấu của Born đến ba đột phá hiện thực hóa của Heisenberg

Cùng với ba trung tâm học thuật lớn ở Munich, Berlinh và Copenhagen, Göttingen đã góp phần hình thành nên hình thức luận toán học đầu tiên của cơ học lượng tử hiện đại: cơ học ma trận, dưới sự dẫn dắt của Max Born, tiếp theo là Werner Heisenberg và Pascual Jordan.

Sự xuất hiện của trường phái Göttingen và ý chí nung nấu của Max Born

Giai đoạn “tiền lượng tử” (Old Quantum Theory) về cơ bản được hình thành và phát triển tại ba trung tâm học thuật lớn:

– Thứ nhất, ở Munich, dưới sự dẫn dắt của Arnold Sommerfeld, nơi đã sản sinh ra những tên tuổi như Wolfgang Pauli và Hendrik Kramers. Họ đặt nền móng cho phương pháp tiếp cận quỹ đạo lượng tử và phổ học tinh vi hơn, dựa trên việc mở rộng mô hình nguyên tử Bohr và khai thác nguyên lý tương ứng.

– Thứ hai, tại Berlin, nơi quy tụ Max Planck và Albert Einstein – hai người đầu tiên nhận ra tính gián đoạn (discreteness) của các tiến trình vật lý liên quan đến bức xạ điện từ. Tuy cùng bàn về hiện tượng “lượng tử hóa trường”, nhưng cách tiếp cận của Planck (thận trọng, toán học) và Einstein (mạnh mẽ, vật lý trực giác) là khác nhau, mở ra hai hướng phát triển sâu rộng cho tương lai lý thuyết lượng tử.

– Thứ ba, ở Copenhagen, nơi Niels Bohr cùng các học trò của ông (như Kramers, Slater) đã tập trung vào việc mô tả cấu trúc nguyên tử, phát triển các khái niệm then chốt như “quỹ đạo dừng”, “nguyên lý bổ sung”, và mô hình hành vi của electron trong nguyên tử.

Bây giờ, chúng ta chuyển sang trường phái thứ tư – Göttingen – nơi hình thành nên hình thức luận toán học đầu tiên của cơ học lượng tử hiện đại: cơ học ma trận, dưới sự dẫn dắt của Max Born, và tiếp theo là Werner Heisenberg và Pascual Jordan.

Chính tại Göttingen, lần đầu tiên, các khái niệm lượng tử vốn còn rời rạc từ các trường phái khác nhau được hệ thống hóa, mã hóa thành một hình thức toán học khép kín – một dấu mốc không thể thiếu trong tiến trình phát triển của cơ học lượng tử.

Không giống ba trung tâm trên, Göttingen vốn là kinh đô toán học của châu Âu, với sự hiện diện của những tên tuổi lẫy lừng như Felix Klein, David Hilbert, Hermann Minkowski, và Carl Runge. Đây là nơi mà toán học đạt đến độ trừu tượng và hình thức cao nhất đầu thế kỷ 20. Tuy nhiên, điều đáng nói ở đây là sự xuất hiện của một trường phái vật lý lý thuyết riêng biệt, với Max Born là nhân vật trung tâm – vừa là người thừa hưởng di sản toán học đồ sộ của Göttingen, vừa là người mang trong mình ý chí xây dựng một lý thuyết lượng tử nhất quán, vững chắc trên nền tảng toán học hiện đại.

Born, không giống Sommerfeld thiên về mô hình hóa vật lý cụ thể, cũng không như Bohr với cách nhìn triết học, ông chọn một con đường dung hợp: kết hợp tri thức phổ học, cơ học cổ điển và thống kê Boltzmann với các công cụ toán học trừu tượng như biến đổi chính tắc, không gian pha, và đặc biệt là đại số ma trận. Chính trong quá trình nung nấu đó, khi đọc được bản thảo Umdeutung của Heisenberg năm 1925, Born đã ngay lập tức nhận ra bản chất toán học mà Heisenberg còn chưa đặt tên – đó là ma trận.

Từ đó, ông đã đưa ra hình thức ma trận hóa lý thuyết lượng tử và cùng Jordan hệ thống hóa nó thành lý thuyết nhất quán. Có thể nói, chính tại Göttingen, lần đầu tiên, các khái niệm lượng tử vốn còn rời rạc từ các trường phái khác nhau được hệ thống hóa, mã hóa thành một hình thức toán học khép kín – một dấu mốc không thể thiếu trong tiến trình phát triển của cơ học lượng tử.

Tiểu sử học thuật của Max Born và vai trò trong sự hình thành trường phái Gottingen

Max Born sinh ngày 11/12/1882 tại Breslau, thuộc Đế quốc Đức (nay là Wrocław, Ba Lan), trong một gia đình trí thức gốc Do Thái. Cha ông là Gustav Born, giáo sư giải phẫu học nổi tiếng, đã tạo điều kiện để Born tiếp cận tri thức khoa học từ rất sớm.

Ông theo học toán và vật lý tại nhiều đại học danh tiếng châu Âu như Göttingen, Heidelberg, Zurich, và Cambridge. Tại Göttingen, trung tâm toán học hàng đầu thời bấy giờ, Born chịu ảnh hưởng lớn từ những tên tuổi như Felix Klein, David Hilbert, Hermann Minkowski, và Carl Runge. Ông hoàn thành luận án tiến sĩ dưới sự hướng dẫn của Carl Runge, với một đề tài thuộc lĩnh vực toán học ứng dụng.

Sau khi nhận bằng tiến sĩ, Born sang Cambridge để làm việc và học hỏi từ J. J. Thomson và Joseph Larmor, hai nhân vật chủ chốt trong lý thuyết điện tử thời kỳ đầu. Trở về Đức, từ năm 1908, ông tiếp tục nghiên cứu tại Breslau, tập trung vào thuyết tương đối và bức xạ nhiệt – hai lĩnh vực đang tạo nên cơn chấn động trong giới vật lý lý thuyết.

Đến năm 1909, Born quay lại Göttingen để làm trợ lý cho Hermann Minkowski, người đã có công xây dựng cấu trúc hình học của thuyết tương đối đặc biệt. Sau khi Minkowski qua đời, Born tiếp tục theo đuổi các vấn đề liên quan đến không gian – thời gian và lý thuyết trường.

Một cột mốc quan trọng diễn ra vào năm 1915, khi Albert Einstein, đánh giá cao năng lực toán học của Born, đã đề xuất ông với Max Planck. Nhờ đó, Born được mời sang Berlin làm việc cùng các tên tuổi lớn như Einstein, Planck và Nernst – nơi ông có điều kiện tiếp xúc sâu với những bước đầu tiên của lý thuyết lượng tử.

Chính khả năng cảm thụ vật lý bằng trực giác toán học đã khiến Born quyết tâm dấn thân vào việc xây dựng một lý thuyết lượng tử hoàn chỉnh, như cách mà Einstein đã làm với thuyết tương đối.

Năm 1921, ông trở lại Göttingen với vị trí giáo sư vật lý lý thuyết. Tại đây, Born bắt đầu giai đoạn rực rỡ nhất trong sự nghiệp khoa học của mình. Trong hơn một thập kỷ (1921–1933), ông đã đào tạo và cộng tác với những học trò xuất sắc như Werner Heisenberg, Wolfgang Pauli, Pascual Jordan, Paul Dirac, Victor Weisskopf, và J. Robert Oppenheimer. Những nghiên cứu của ông trong thời gian này – đặc biệt là việc đặt nền móng cho cơ học ma trận và diễn giải xác suất trong cơ học lượng tử – đã đưa Göttingen trở thành một trong những trung tâm hàng đầu của lý thuyết lượng tử.

Năm 1933, sau khi Hitler lên nắm quyền và ban hành các chính sách bài Do Thái, Born buộc phải rời nước Đức. Ông sang Anh sống lưu vong và tiếp tục giảng dạy, nghiên cứu tại các trường đại học như Cambridge và Edinburgh. Sau Thế chiến II, ông vẫn tiếp tục đóng góp cho nền vật lý hiện đại cho đến cuối đời.

Mối quan hệ giữa Born và Einstein – tình bạn trí tuệ và nền tảng cho lý thuyết lượng tử

Các nghiên cứu lịch sử đã cho thấy giữa Max Born và Albert Einstein tồn tại một mối quan hệ gần gũi, thấm đẫm sự tôn trọng lẫn nhau cả về trí tuệ lẫn nhân cách. Họ thường xuyên trao đổi thư từ và chia sẻ quan điểm học thuật, đặc biệt trong giai đoạn lý thuyết lượng tử đang dần hình thành. Tình bạn giữa hai người bền chặt không chỉ nhờ sự tương hợp trong học thuật, mà còn nhờ cá tính cởi mở, nhân văn và sự chính trực trong khoa học.

Có cơ sở để cho rằng Born và Einstein biết đến nhau phần nào qua mối liên hệ với Hermann Minkowski – người thầy và cộng sự của Born tại Göttingen. Minkowski là người đã góp phần hình thành nên cách diễn đạt hình học của thuyết tương đối đặc biệt, từ các công trình ban đầu của Einstein. Sau khi hoàn thành luận án tiến sĩ, Born tiếp tục ở lại Göttingen làm việc cùng Minkowski, và chịu ảnh hưởng sâu sắc từ phương pháp hình thức và tinh thần toán học chính xác mà Minkowski theo đuổi.

Chính nền tảng toán học vững vàng này đã giúp Born có thể diễn giải rõ ràng các tư tưởng vật lý trừu tượng của Einstein. Trong một bức thư gửi Born, Einstein từng viết đầy trân trọng: “Tôi ngưỡng mộ cách bạn diễn đạt những điều mà tôi không nói được” (trích The Born-Einstein Letters, 1916–1955).

Qua cầu nối Minkowski và những đối thoại về thuyết tương đối, Born không chỉ góp phần hoàn thiện một số công việc còn dang dở của Minkowski sau khi ông qua đời, mà còn chủ động tiếp nhận những tư tưởng sâu sắc và táo bạo của Einstein về lượng tử hóa bức xạ – một khái niệm mà Einstein gọi là quanten (lượng tử). Khác với phần lớn các nhà vật lý cùng thời, Born không chỉ quan tâm tới hình thức toán học mà còn bị hấp dẫn bởi vấn đề nền tảng: làm thế nào để diễn tả được hiện tượng phát xạ và hấp thụ của nguyên tử, một cách phù hợp với thực nghiệm nhưng vẫn nhất quán về lý thuyết.

Ông hiểu rất rõ bản chất và độ phức tạp của bài toán phổ phát xạ điện từ của nguyên tử – từ lịch sử hình thành, trạng thái lý thuyết hiện tại, cho đến những bế tắc trong cách tiếp cận cổ điển. Born dường như cũng cảm nhận được một “trật tự mới” đang xuất hiện trong thế giới vi mô, dù chưa rõ hình dạng cuối cùng sẽ là gì. Chính khả năng này – cảm thụ vật lý bằng trực giác toán học – đã khiến ông quyết tâm dấn thân vào việc xây dựng một lý thuyết lượng tử hoàn chỉnh, như cách mà Einstein đã làm với thuyết tương đối.

Born chủ trương rằng cơ học lượng tử phải được xây dựng trên cơ sở các đại lượng quan sát được, tức các đại lượng có liên hệ trực tiếp với phổ phát xạ, mức năng lượng, hay xác suất chuyển trạng thái.

Không chỉ là một nhà vật lý lý thuyết kiệt xuất, Born còn là người kết nối các dòng tư tưởng rời rạc trong giai đoạn chuyển giao giữa vật lý cổ điển và lượng tử, bằng một ngôn ngữ toán học chặt chẽ, sáng rõ và có chiều sâu khái niệm. Từ Einstein, ông học cách nhìn thế giới với con mắt của một nhà vật lý mang tầm triết học; và từ Minkowski, ông lĩnh hội được phương pháp hình thức – đó chính là hai trụ cột giúp Born bước vào cuộc cách mạng lượng tử một cách tự tin và đầy cảm hứng.

Bài báo “Über Quantenmechanik” và sự định hình tư tưởng của Max Born

Bài báo “Über Quantenmechanik” mà Max Born công bố năm 1924 chính là minh chứng rõ rệt cho khát vọng và định hướng tư tưởng của ông trong việc xây dựng một cơ học mới dành riêng cho thế giới vi mô. Chính tại đây, Born đã sử dụng lần đầu thuật ngữ “Quantenmechanik” – cơ học lượng tử – để chỉ một hệ thống lý thuyết hoàn toàn mới, không đơn thuần là sự mở rộng của cơ học cổ điển, mà là một mô hình lý thuyết độc lập, phản ánh chính xác những đặc trưng không thể rút gọn của các hiện tượng vi mô.

Trong bài báo này, Born khẳng định rõ ràng rằng sự lượng tử hóa và xác suất là hai yếu tố bản chất trong mô tả thế giới vi mô. Đây không chỉ là công cụ tính toán, mà là nền tảng lý thuyết để từ đó xây dựng một hệ hình vật lý mới. Điểm nổi bật trong quan điểm của Born là việc ông cho rằng các mô hình cổ điển – vốn dựa trên các đại lượng như vị trí hay chu kỳ quỹ đạo của electron – đã trở nên không còn thích hợp vì chúng không thể quan sát trực tiếp và không mang tính kiểm nghiệm thực nghiệm được ở cấp độ nguyên tử. Thay vào đó, Born chủ trương rằng cơ học lượng tử phải được xây dựng trên cơ sở các đại lượng quan sát được, tức các đại lượng có liên hệ trực tiếp với phổ phát xạ, mức năng lượng, hay xác suất chuyển trạng thái.

Về bản chất, những “quy tắc lượng tử” mà Heisenberg đưa ra thực chất chỉ là việc thay thế các đại lượng vật lý bằng các bảng số (ma trận), và việc kết hợp chúng tuân theo quy tắc nhân ma trận quen thuộc trong toán học.

Những quan điểm này không thể tách rời ảnh hưởng từ Einstein, đặc biệt là trong tư tưởng tiếp cận vấn đề từ các nguyên lý nền tảng thay vì từ mô hình cụ thể. Tuy nhiên, Born đã đi xa hơn ở chỗ ông diễn đạt các quan điểm ấy một cách mạch lạc, toán học hóa và có tính hệ thống, từ đó chuẩn bị nền móng cho việc xây dựng một hình thức luận lượng tử hoàn chỉnh.

Trong bài báo, Born cũng làm rõ quan điểm về nguyên lý lượng tử hóa với một cách diễn đạt mới: không áp đặt giá trị của đại lượng tác dụng (action) – một biến vật lý có cùng thứ nguyên với hằng số Planck (năng lượng × thời gian) – là bội số nguyên lần của hằng số Planck như cách Bohr và Sommerfeld đã làm, mà đặt vấn đề đi tìm điều kiện ràng buộc cho nghiệm của phương trình Hamilton–Jacobi để thu nhận một cách tự nhiên sự lượng tử hóa của tác dụng.

Đáng chú ý, tác dụng không chỉ là một đại lượng vật lý, mà còn mang nội hàm hình học, phản ánh cấu trúc của không gian pha của hệ cơ học. Chính việc biểu diễn điều kiện lượng tử hóa qua tác dụng cho phép Born đưa ra một diễn đạt tổng quát và sâu sắc hơn, vừa gắn với toán học hiện đại, vừa giữ liên hệ với tư duy vật lý trực quan.

Với bài báo này, Max Born đã đặt viên gạch đầu tiên cho hình thức luận cơ học ma trận tại Göttingen – nền tảng cho cuộc cách mạng lượng tử đang tới gần.

Quan điểm của Max Born và ảnh hưởng tới thế hệ học trò

Mặc dù dành sự quan tâm sâu sắc đến điều kiện lượng tử hóa, Max Born không đi sâu vào việc truy nguyên nguồn gốc của nó, mà chấp nhận như một thực tại nền tảng của thế giới vi mô. Điều quan trọng là, trong quá trình này, ông đã phát triển một quan niệm rất rõ ràng về hai khái niệm: “đại lượng quan sát được” và “đại lượng không quan sát được” – từ đó đặt cơ sở cho một định hướng lý thuyết mới.

Thay vì tiếp tục tìm kiếm mô hình động lực học cổ điển cho các hạt như electron, Born chuyển hướng tập trung vào việc mô tả các quá trình vi mô bằng xác suất thống kê. Cách tiếp cận này cho thấy rõ sự ảnh hưởng từ tư duy của Einstein, song Born đã đẩy vấn đề đi xa hơn: ông cho rằng lý thuyết lượng tử cần được xây dựng dựa trên một hình thức toán học hoàn toàn mới, phản ánh trực tiếp các đặc trưng rời rạc và ngẫu nhiên của các hiện tượng vi mô.

Những quy tắc mới của Heisenberg dường như kết hợp tự nhiên giữa hai dòng tư tưởng vật lý lúc bấy giờ: một bên là Copenhagen, với các ý tưởng của Bohr và Kramers; bên kia là Göttingen, với trực giác mạnh mẽ của Born về tính bất định và tính ngẫu nhiên trong tự nhiên.

Đặc biệt, khi phân tích bài toán phát xạ điện từ trong khuôn khổ phương pháp nhiễu loạn, Born đã vận dụng nguyên lý tương đương để so sánh lời giải cổ điển và lượng tử. Ông nhận ra rằng, để đảm bảo tính tương đương này, cần phải thay thế các đạo hàm liên tục bằng các sai phân hữu hạn – tức là, thay vì sử dụng đạo hàm như trong cơ học cổ điển, các đại lượng biến thiên phải được xét dưới dạng nhảy lượng tử rời rạc. Chính ý tưởng này đã mở đường cho Heisenberg, người đã vận dụng nguyên lý này một cách táo bạo để xây dựng bài báo lịch sử năm 1925, khai sinh cơ học ma trận.

Không chỉ góp phần định hướng lý thuyết, Born còn để lại dấu ấn sâu sắc trong môi trường học thuật tại Göttingen. Lịch sử cho thấy rằng, trước kỳ nghỉ đông 1923–1924, ông đã tổ chức một chuỗi bài giảng với tiêu đề “Atommechanik” (Cơ học nguyên tử), trong đó ông trình bày toàn bộ các vấn đề lý thuyết cơ bản, cùng với những bế tắc của cơ học cổ điển trong việc giải thích hiện tượng vi mô. Mục tiêu của ông không chỉ là cung cấp tri thức, mà còn là thôi thúc các học trò đi tìm một con đường mới, vượt khỏi mô hình cổ điển kéo dài, để định hình một cơ học mới thực sự tương thích với các đặc điểm lượng tử.

Tuy nhiên, dù đã nhận thức rõ sự thất bại của cơ học cổ điển, Born vẫn buộc phải viện dẫn đến nó như một nền tảng hình thức. Ông tìm cách khai thác hình thức luận Hamilton–Jacobi như một công cụ trừu tượng hóa cao nhất để tiếp cận bài toán lượng tử hóa. Nhưng chính giới hạn nội tại của hình thức cổ điển này khiến ông gần như chạm tay đến đích mà chưa thể vượt qua ngưỡng – một cảm giác tiến rất gần tới một nguyên lý mới, nhưng vẫn thiếu đòn bẩy toán học quyết định. Phải tới khi học trò của ông, Werner Heisenberg, tiếp nhận các ý tưởng ấy và mạnh dạn vứt bỏ toàn bộ mô hình quỹ đạo cổ điển, thì bước ngoặt thực sự mới xảy ra.

Ba đột phá của Heisenberg

Werner Karl Heisenberg sinh ra trong một gia đình tri thức tại Wurzburg năm 1901. Từ nhỏ ông đã thể hiện năng khiếu toán học và âm nhạc vượt trội. Ông theo học tại Đại học Munich từ năm 1920 dưới sự hướng dẫn của Arnold Sommerfeld, người dẫn dắt trường phái Munich như đã nói ở trên. Năm 1922, theo gợi ý của Sommerfeld ông tới Gottingen để làm việc với Max Born. Từ 17 tháng 9 năm 1924 đến 1 tháng 5 năm 1925, Heisenberg nhận được học bổng Rockefeller để đến Copenhagen làm việc với trong nhóm của Niels Bohr, nơi ông phối hợp trực tiếp với Kramers. Năm 1925, trong thời gian nghỉ dưỡng vì bệnh hen suyễn tại đảo Helgoland từ ngày 6 tới ngày 19 tháng 6 năm 1925, ông đã đi đến định hình đầu tiên về cơ học lượng tử mới trong bài báo “Über quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen”, Z. Phys. 33, 879-893 (1925)”. Dưới đây, là một phân tích về ba đột phá trong bài báo của Heisenberg.

Đột phá thứ nhất: Quy tắc biểu diễn các đại lượng không quan sát được qua các đại lượng quan sát được

Vào thời điểm đó, vấn đề trung tâm trong vật lý là làm sao giải thích được phổ phát xạ của nguyên tử. Để làm được điều này, người ta cần hiểu rõ chuyển động của electron – yếu tố quyết định sự hình thành và biến đổi của các mức năng lượng. Trong khuôn khổ lý thuyết điện động lực học, người ta biết rằng sự phát xạ điện từ liên quan mật thiết đến mối tương tác giữa electron và trường điện từ, mà cụ thể là thông qua moment lưỡng cực điện. Vì thế, việc mô tả chính xác vị trí của electron theo thời gian được xem là điều then chốt.

Heisenberg bắt đầu từ một mô hình đơn giản, chỉ xét chuyển động dao động của electron theo một hướng. Trong cơ học cổ điển, chuyển động này có thể biểu diễn bằng một chuỗi dao động điều hòa với các tần số là bội nguyên lần một tần số cơ bản. Mỗi tần số ứng với một “bậc” dao động, còn hệ số đi kèm cho biết biên độ đóng góp của dao động đó.

Nhưng khi xem xét ở cấp độ nguyên tử, Heisenberg nhận thấy điều khác thường: electron không dao động với tần số cố định như trong hình dung cổ điển. Thay vào đó, các tần số xuất hiện trong phổ phát xạ lại phụ thuộc vào sự chênh lệch năng lượng giữa các trạng thái của nguyên tử. Ông nhận ra rằng, tần số của ánh sáng phát ra hay hấp thụ không gắn với một trạng thái riêng lẻ, mà là kết quả của sự chuyển đổi giữa hai trạng thái. Từ đó, Heisenberg thay thế khái niệm tần số của từng dao động riêng bằng tần số của quá trình chuyển trạng thái, và gán cho mỗi quá trình này một biên độ đặc trưng thể hiện “mức độ dịch chuyển” từ trạng thái này sang trạng thái kia.

Điều quan trọng hơn là ông nhận thấy những biên độ này không thể cộng đơn giản như trong biểu diễn cổ điển. Thay vì chỉ là những con số cộng nối tiếp nhau trong một chuỗi, chúng lại được sắp xếp trong một bảng các phần tử thể hiện mối liên hệ giữa mọi cặp trạng thái. Chính ý tưởng này đã mở ra một hình thức biểu diễn hoàn toàn mới cho các đại lượng vật lý – đó chính là bản chất của khái niệm ma trận trong cơ học lượng tử sau này.

Đột phá thứ hai: Quy tắc kết hợp giữa các đại lượng vật lý

Khi đã có cách biểu diễn một đại lượng vật lý như vị trí của electron bằng một tập hợp các biên độ chuyển trạng thái, câu hỏi tiếp theo là: làm thế nào để xây dựng biểu diễn cho những đại lượng phức hợp – chẳng hạn như bình phương của vị trí, hay tích của vị trí và một đại lượng khác? Trong cơ học cổ điển, việc này rất đơn giản: chỉ cần nhân hai hàm với nhau. Nhưng trong khuôn khổ biểu diễn mới của Heisenberg, mọi thứ không còn hiển nhiên như vậy.

Heisenberg nhận thấy rằng có thể có được biểu diễn đúng cho một tích, các biên độ chuyển trạng thái của tích đó phải được xác định thông qua các phép lấy tổng của những biên độ trung gian, thể hiện sự “kết nối gián tiếp” giữa hai trạng thái thông qua các trạng thái trung gian khác. Hơn nữa, ông cũng chỉ ra rằng trong khuôn khổ lượng tử, phép nhân giữa hai đại lượng không còn tuân theo quy tắc giao hoán như trong cơ học cổ điển – nghĩa là kết quả việc nhân đại lượng A với đại lượng B không nhất thiết giống với việc nhân B với A. Để tránh sai lệch, ông đề xuất một cách kết hợp có tính đối xứng sao cho cả hai khả năng được tính đến đồng thời. Đây chính là bước đi đầu tiên hướng tới khái niệm “giao hoán tử”, một đặc trưng cơ bản của cơ học lượng tử.

Đột phá thứ ba: Quy tắc lượng tử hóa

Khi xây dựng được hai quy tắc cơ bản để mô tả và kết hợp các đại lượng vật lý trong khuôn khổ mới, Heisenberg thử nghiệm chúng trên một mô hình cụ thể-đó là phương trình mô tả dao động của electron có thêm một yếu tố nhiễu loạn phi tuyến. Ông thay thế mọi đại lượng trong phương trình này bằng các biểu diễn lượng tử vừa thiết lập, và kết quả là thu được một hệ phương trình hoàn toàn mới, trong đó mọi biến số đều mang bản chất lượng tử.

Dù hệ phương trình này rất phức tạp và không thể giải chính xác, Heisenberg nhận ra rằng có thể áp dụng phương pháp nhiễu loạn – tức là bắt đầu từ lời giải đơn giản của dao động điều hòa rồi hiệu chỉnh dần dần. Nhưng để xác định được những trạng thái mà electron có thể tồn tại ổn định, ông cần một điều kiện lượng tử hóa, tương tự như điều kiện cổ điển của Bohr và Sommerfeld, vốn yêu cầu đại lượng động học là tác dụng phải nhận giá trị là bội nguyên của hằng số Planck.

Khi cố gắng diễn đạt lại điều kiện này trong ngôn ngữ của mình, Heisenberg nhận thấy rằng cách viết cổ điển không còn phù hợp. Ông tiến hành thay thế phép tính liên tục bằng cách mô tả sự thay đổi giữa hai trạng thái lân cận và từ đó rút ra một biểu thức ràng buộc mới cho các biên độ chuyển trạng thái. Kết quả này, dù được Heisenberg xem như một hệ thức kỹ thuật, lại khiến Born-người đồng hành trí tuệ của ông-nhận ra một ý nghĩa sâu sắc: đó chính là mối liên hệ không giao hoán giữa vị trí và động lượng. Đây chính là quy tắc giao hoán tử nổi tiếng của cơ học lượng tử.

Chính tại thời điểm đó, cơ học lượng tử ma trận – hình thức luận đầu tiên của lý thuyết lượng tử hiện đại – đã chính thức ra đời!

Bình luận

Heisenberg hẳn đã cảm thấy vô cùng phấn khích khi các ý tưởng mà ông đề xuất bắt đầu ăn khớp với nhau một cách tự nhiên. Những quy tắc mới do ông đưa ra cho phép tính được các con số liên quan đến khả năng electron chuyển từ mức năng lượng này sang mức khác, cũng như xác định được tần số ánh sáng phát ra khi quá trình đó xảy ra – tất cả không cần biết chính xác electron đang ở đâu trong nguyên tử. Đây là điều mà nhà vật lý Born từng nhận ra là cần thiết, nhưng chính Heisenberg mới là người đưa ra được công thức thực sự.

Dù vẫn còn phần nào dè dặt, Heisenberg tin tưởng vào giá trị của công trình mình vừa hoàn thành, nên đã đưa bản thảo cho Born xem trước. Born, vốn là người rất thận trọng, ngay lập tức nhận ra đây chính là bước đột phá mà ông hằng mong đợi. Ông cũng nhận thấy rằng, về bản chất, những “quy tắc lượng tử” mà Heisenberg đưa ra thực chất chỉ là việc thay thế các đại lượng vật lý bằng các bảng số (ma trận), và việc kết hợp chúng tuân theo quy tắc nhân ma trận quen thuộc trong toán học.

Do Heisenberg đi vắng một thời gian sau đó, Born đã cùng với học trò là Pascual Jordan viết một bài báo thứ hai, giúp làm sáng tỏ mặt toán học trong những ý tưởng ban đầu của Heisenberg. Chính nhờ bài viết này mà cách tiếp cận mới trở nên rõ ràng và có hình thức luận chặt chẽ. Khi Heisenberg trở lại Göttingen, cả ba người – Heisenberg, Born và Jordan – đã cùng viết bài báo thứ ba, được xem là sự khai sinh trọn vẹn của cơ học lượng tử dạng ma trận, sử dụng hoàn toàn ngôn ngữ đại số.

Nhưng vì sao Heisenberg lại có thể đưa ra những đề xuất táo bạo đến vậy? Chắc chắn ông không phát minh ra từ con số không. Như các nhà vật lý thời đó đã biết, mối liên hệ giữa tần số ánh sáng phát ra và sự chênh lệch năng lượng giữa hai trạng thái đã được biết từ trước, thông qua những quan sát thực nghiệm do nhà vật lý Ritz nêu ra, và sau đó được hệ thống hóa trong mô hình nguyên tử của Bohr.

Tuy nhiên, các nhà khoa học nhìn hiện tượng này theo những cách khác nhau: Bohr cho rằng điều này phản ánh sự thay đổi năng lượng giữa hai trạng thái ổn định của nguyên tử, còn Einstein lại nhìn nhận nó là bằng chứng cho thấy ánh sáng cũng phải được lượng tử hóa. Chính Einstein là người đã đi rất gần tới cái nhìn hiện đại về lượng tử, khi ông đưa ra khái niệm xác suất chuyển trạng thái trong quá trình phát và hấp thụ ánh sáng. Ý tưởng này chắc chắn có ảnh hưởng lớn tới các nhà vật lý ở trường phái Göttingen – nơi Heisenberg đang làm việc.

Born, người đứng đầu nhóm tại Göttingen, có một trực giác mạnh mẽ rằng các quá trình vật lý ở cấp độ vi mô xảy ra một cách gián đoạn và ngẫu nhiên. Ông từng hy vọng có thể xây dựng một công cụ toán học để tính xác suất chuyển trạng thái, nhưng chưa thành công. Einstein cũng đã xác định được các mối quan hệ giữa các xác suất ấy, nhưng vẫn chưa có một công cụ tổng quát để xử lý toàn bộ bài toán.

Heisenberg thì khác. Ông đã có dịp sang làm việc với nhóm của Bohr ở Copenhagen và cùng Kramers giải một bài toán về ánh sáng tán xạ trên nguyên tử – tức là ánh sáng bị đổi hướng và năng lượng khi va chạm với nguyên tử. Trong lời giải đó, giờ được biết với tên gọi là lý thuyết tán sắc Kramers, không hề nhắc đến vị trí hay quỹ đạo của electron. Nó chỉ quan tâm đến các xác suất chuyển mức, tức là xác suất electron chuyển từ mức năng lượng này sang mức khác.

Điều này đã tạo ấn tượng rất mạnh với Heisenberg: nếu mọi thứ quan sát được đều liên quan đến các bước nhảy năng lượng, thì tại sao còn cần đến khái niệm quỹ đạo? Từ trực giác đó, cộng thêm ảnh hưởng từ Born và những kiến thức tiếp thu được khi làm việc với Kramers, Heisenberg đã dũng cảm đưa ra một quy tắc lượng tử hoàn toàn mới, không dựa trên mô tả chuyển động liên tục.

Điều thú vị là, những quy tắc mới của Heisenberg dường như kết hợp tự nhiên giữa hai dòng tư tưởng vật lý lúc bấy giờ: một bên là Copenhagen, với các ý tưởng của Bohr và Kramers; bên kia là Göttingen, với trực giác mạnh mẽ của Born về tính bất định và tính ngẫu nhiên trong tự nhiên.

Bohr và Sommerfeld là người đầu tiên đưa ra các điều kiện lượng tử hóa dựa trên đại lượng động học cổ điển là tác dụng, và Born cũng từng kỳ vọng có thể diễn đạt lại các quy tắc này bằng ngôn ngữ toán học sâu sắc hơn. Ông và các học trò đã cố gắng sử dụng phương trình Hamilton–Jacobi viết cho hàm tác dụng và tìm cách đặt thêm các điều kiện ràng buộc để dẫn đến sự lượng tử hoá nghiệm. Cách đặt vấn đề này thoạt nhìn có vẻ hợp lý, song trên thực tế lại là một con đường đầy kỹ thuật, và quan trọng hơn, nó vẫn chưa chạm tới bản chất: sự lượng tử hoá không được mã hóa trong hàm tác dụng!

Heisenberg, với ảnh hưởng từ cả hai phía, cuối cùng đã tổng hợp những ý tưởng này lại và đi một bước xa hơn: ông hiện thực hóa được ý tưởng từ bỏ hẳn quỹ đạo, chỉ giữ lại những gì có thể đo được – tần số, năng lượng, và xác suất. Nhờ đó, ông xây dựng được một hình thức lượng tử hoàn toàn mới: không còn dựa trên hình ảnh trực quan, mà dựa trên toán học và các đại lượng thực nghiệm.

Kết luận

Chúng ta vừa cùng nhìn lại tiến trình hình thành và phát triển của cơ học lượng tử – một lý thuyết nền tảng, vừa mang tính nguyên lý, vừa là phương pháp luận cho việc mô tả thế giới vật chất vi mô. Trong bối cảnh phát triển mạnh mẽ của vật lý đầu thế kỷ XX, những hệ thống tư tưởng đồ sộ, dù đã đạt tới mức độ trừu tượng cao và dường như hoàn chỉnh, đã bị thách thức sâu sắc bởi những quan sát thực nghiệm mới. Từ đó, một cuộc khủng hoảng nhận thức đã diễn ra – không chỉ là khủng hoảng kỹ thuật, mà là khủng hoảng từ gốc rễ trong cách chúng ta hiểu về thế giới tự nhiên.

Việc định hình nhận thức mới được thực hiện qua nhiều góc nhìn, cùng với những thử nghiệm, phê phán, và hiệu chỉnh liên tục, dần dần giúp phát biểu rõ hơn bài toán cơ bản: mô tả mối quan hệ giữa vật chất và trường. Trong tư duy cổ điển, dựa trên nguyên lý nhân quả, người ta cho rằng để hiểu được hệ quả, cần phải biết rõ nguyên nhân. Tuy nhiên, khi đối mặt với hiện tượng vi mô, lối tư duy quen thuộc ấy trở nên bế tắc. Thực ra, chìa khóa lại nằm ở chỗ: cần kết nối nguyên nhân với chính những đặc trưng của hệ quả – vì chính hệ quả là biểu hiện của nguyên nhân.

Việc phân biệt rõ ràng giữa các đại lượng quan sát được và không quan sát được đã đóng vai trò trung tâm trong sự thay đổi nhận thức này. Cố gắng diễn đạt trực tiếp quan hệ nhân-quả (tức mô tả động lực) ngay từ đầu thường dẫn đến thất bại vì rơi vào cái bẫy logic của tư duy cũ. Thậm chí, chính trong cơ học cổ điển, chúng ta cũng từng học được bài học quan trọng: cần phải chia bài toán thành hai cấp độ – mô tả động học và mô tả động lực. Chỉ khi nào mô tả được đầy đủ các đặc trưng ở cấp độ động học, ta mới có thể thiết lập một cách thuyết phục các định luật động lực. Các nhà vật lý thuộc trường phái Göttingen – với trung tâm là Heisenberg – đã nhận ra điều này và triển khai thành công theo hướng đó.

Khi nhìn lại quá trình phát triển cơ học lượng tử – một thành tựu rực rỡ của nhân loại – chúng ta không thấy một sự “thần thánh hóa” hay phép màu siêu nhiên nào. Mọi điều vĩ đại đều được hình thành từ sự nung nấu lâu dài, từ thử nghiệm và thất bại, từ tinh thần kế thừa, chọn lọc và sáng tạo không ngừng. Thành tựu ấy chính là kết quả của quá trình kết nối và tái cấu trúc các mảnh tri thức, dưới ánh sáng của một tư duy mới.□

———

*PGS Đỗ Vân Nam giảng dạy và nghiên cứu tại ĐH Phenikaa

Bài đăng Tia Sáng số 20/2025