22 03 2019

Vật lý lý thuyết và hai bài toán thiên niên kỷ

Bảy bài toán do Viện Toán Clay đề ra vào tháng 5/2000 đều là những bài toán thiên niên kỷ (Millennium problems). Dù “treo thưởng” 1 triệu USD cho lời giải mỗi bài toán nhưng đến thời điểm này mới chỉ có một bài được giải, đó là Phỏng thuyết Poincaré (Poincaré conjecture) với công lao của nhà toán học Nga Grigori Perelman vào năm 2003. Bài viết này giới thiệu với độc giả 2 bài toán, Phương trình cơ học môi trường liên tục Navier-Stokes và Yang-Mills lượng tử - đều là những vấn đề vô cùng hóc búa với vật lý lý thuyết.

Phương trình Cơ học môi trường liên tục Navier-Stokes

Thế giới của chúng ta đầy rẫy những chất lỏng. Từ máu chuyển động trong các mạch máu li ti dến nhiều hiện tượng thủy khí động học khác trong bầu khí quyển (hàng không), trong đại dương (hàng hải) cùng bao nhiêu vấn đề gắn liền với cuộc sống. Thế mà lạ thay là chúng ta chưa có một mối hiểu biết sâu sắc toán học về chuyển động của các chất lỏng.

1. Phương trình Navier-Stokes

Nhà toán học kiêm nhà vật lý George Stokes (Anh) và nhà vật lý Claude-Louis Navier (Pháp) đã viết phương trình Navier-Stokes vào năm 1800 nhằm miêu tả dòng chảy của các chất lỏng và khí.

Mặc dù phương trình Navier-Stokes đã giúp chúng ta mô tả một mô hình nhưng không có điều gì bảo đảm là phương trình đó không dẫn đến những sai lầm tai hại.

Có một câu hỏi đặt ra là chúng ta có thể viết phương trình trên trong không gian n chiều (và liệu lý thuyết trong không gian 2 chiều có khác trong không gian 3 chiều không?.

Có thể xem Cơ học môi trường liên tục (Landau-Lifchitz tập VI, trang 68) về cách thiết lập phương trình Navier-Stokes.

Vì sao Viện Toán Clay đặt giải 1 triệu USD cho bài toán Navier-Stokes?

Vấn đề ở chỗ phương trình Navier-Stokes rất khó giải! Phần lớn các nhà toán học đều sử dụng các phương pháp tính số để tiếp cận vấn đề này song đây cũng là một đề cập chứa nhiều khó khăn bởi vì:

Nếu trong trường hợp thu được một lời giải thì lời giải đó lại dẫn đến tình huống là chất lỏng sẽ được gia tốc với một tốc độ vô cùng – đây là tình huống gọi là “bùng nổ” – blowing up. Lẽ dĩ nhiên tiên đoán chất lỏng với vận tốc vô cùng là dấu hiệu cho thấy mô hình toán học không phù hợp với thực tại.

Còn tệ hơn là chúng ta không biết lời giải của phương trình có tồn tại cho một chất lỏng bất kỳ hay không. Như vậy khi sử dụng phương trình Navier-Stokes trong y học hoặc trong khí động học hàng không và vũ trụ, chúng ta không có một bảo đảm nào là sẽ có lời giải đúng với thực tại.

Vậy muốn nhận được 1 triệu USD của Viện Clay, chúng ta phải chứng minh bằng toán học rằng phương trình Navier-Stokes luôn là một chương trình phản ánh thực tế khách quan mà không dẫn đến tình huống bùng nổ hoặc là chứng minh rằng tồn tại những trường hợp mà phương trình Navier-Stokes nhất định không cho một lời giải nào.

2 . Các cuộn xoáy (turbulence)

Một trong những khó khăn lớn trong giải phương trình Navier-Stokes là hiện tượng cuộn xoáy (turbulence) trong dòng chảy.

Về phương diện vật lý, hiện tượng cuộn xoáy (turbulence) xảy ra khi một dòng chảy lớp (laminar) bột phát tách thành những dòng xoáy nhỏ (eddies hay vortices). Những dòng xoáy nhỏ đó lại vỡ ra thành những dòng xoáy nhỏ hơn rồi tiếp tục như thế ta có một thác (cascade) vỡ thành các dòng xoáy nhỏ hơn không tiên đoán được. Điều này làm khuếch tán năng lượng của dòng chảy nguyên thủy. Vì vậy, sự tồn tại cuộn xoáy (turbulence) là nguyên nhân của việc chứng minh rằng các phương trình Navier-Stokes có một ý nghĩa thực tế là một việc làm khó khăn trong toán học và vật lý.

Ta có thể mường tượng rằng hiện tượng cuốn xoáy dẫn đến việc năng lượng dòng chảy tập trung vào điểm đặc biệt nào đó trong chất lỏng và như thế gia tốc dòng chảy tại điểm đó đến một vận tốc lớn vô cùng. Về mặt toán học thì điều này có thể xảy ra nhưng việc chứng minh rằng hiện tượng này nhất quyết không xảy ra hoặc ngược lại hiện tượng này nhất thiết xảy ra là rất khó khăn.

Do đó, bài toán này tồn tại đã 150 năm. Với các nhà vật lý, tìm lời giải những phương trình Navier – Stokes mô tả dòng chảy chất lỏng này còn khó khăn hơn cả việc nghiên cứu các phương trình Einstein (dẫn đến những hiện tượng lạ lùng như lỗ đen như sóng hấp dẫn).

Nhiều nhà khoa học cho rằng nguyên nhân chính là sự hình thành cuộn xoáy (turbulence). Hiện tượng cuộn xoáy là một trong những điều khó nhất trong vật lý hiện đại.

Người ta mong muốn tìm xem các cuộn xoáy đã phát sinh như thế nào và mô hình dòng chảy một khi cuộn xoáy đã phát sinh. Song giải Clay thật sự đòi hỏi một điều khiêm tốn hơn: chứng minh rằng lời giải có tồn tại hay không.

Kết luận

Cách hành xử của chất lỏng quả đáng ngạc nhiên vô cùng – Charles Fefferman, người đề xướng giải về phương trình Navier- Stokes đã phát biểu như vậy. Chúng ta đã có phương trình mô tả chuyển động của chất lỏng song từ đó suy được lời giải mô tả chuyển động thực tại dòng chảy lại vẫn là một điều bí hiểm.

Bài toán lý thuyết Yang-Mills lượng tử

Trong lĩnh vực toán lý, sự tồn tại Yang-Mills và bài toán khe năng lượnglà một bài toán thuộc vật lý lý thuyết chưa giải được.

Lý thuyết Yang-Mills

Lý thuyết Yang-Mills mang tên của 2 tác giả:Chen Ning Yang và Robert Leroy Mills

Về mặt toán học, trường Yang-Mills là liên thông của không gian phân thớ (fiber bundle) với nhóm côm-pắc G như là nhóm cấu trúc (structure group).

Lý thuyết Yang – Mills hiện nay là lý thuyết quan trong nhất trong lý thuyết trường. Lý thuyết Yang – Mills được áp dụng trong QED (G=U(1)), tương tác điện yếu (G=SU(2)xU(1)), tương tác mạnh (G=SU(3)).

Có 2 trường hợp Yang-Mills: abelian (QED) và non-abelian (tương tác yếu và hạt nhân)

Nhà vật lý toán Arthur Jaffe và nhà vật lý lý thuyết và vật lý toán Edward Witten đã nêu đề bài toán giải Clay:

Chứng minh rằng với mọi nhóm chuẩn đơn côm-pắc G, tồn tại một lý thuyết Yang-Mills trên R⁴với một khe năng lượng ∆>0 thỏa mãn các tiên đề Wightman (1964) trong lý thuyết trường.

Nội dung vấn đề

Trong phát biểu trên lý thuyết Yang-Mills là lý thuyết trường lượng tử không abelian tương tự Mô hình chuẩn (SM) trong lý thuyết các hạt cơ bản; R⁴là không gian euclide 4 chiều, khe Δ là khối lượng của hạt có khối lượng nhỏ nhất tiên đoán bởi lý thuyết.

Như vậy người thắng giải phải chứng minh được những điều sau:

– Lý thuyết Yang-Mills tồn tại và thỏa mãn các tiêu chí của vật lý-toán hiện đại.

– Khối lượng của hạt với khối lượng thấp nhất phải nhất thiết là một đại lượng dương. Ví dụ trong trường hợp G=SU(3) – tương tác mạnh – người được giải phải chứng minh rằng khối lượng glueball (gluon) phải có hạn dưới và không thể nhẹ một cách bất kỳ.

Trong vật lý học, lý thuyết cổ điển Yang-Mills là lý thuyết tổng quát hóa của lý thuyết Maxwell của điện động lực học lượng tử (Quantum electrodynamics QED) và sắc động học lượng tử (Quantum Chromodynamics QCD)

Như là một lý thuyết cổ điển, chúng ta có lời giải chuyển động với tốc độ ánh sáng, vậy trong lý thuyết lượng tử thì đây là hạt gluon với khối lượng bằng không.

Tuy nhiên hiện tượng cầm tù của màu (color confinement) chỉ cho phép những trạng thái liên kết của gluon (bound states of gluons) là những hạt có khối lượng. Đó chính là khe năng lượng. Một khía cạnh khác của hiện tượng cầm tù màu là hiện tượng tiệm cận tự do (asymptotic freedom), hiện tượng này buộc rằng lý thuyết lượng tử Yang-Mills tồn tại mà không có điều kiện nào bắt buộc về năng lượng.

Tóm lại bài toán đặt ra là tồn tại lý thuyết lượng tử Yang-Mills với một khe năng lượng.

Lý thuyết quan trọng nhất trong QFT (Quantum Field Theory) để mô tả các hạt cơ bản là các lý thuyết chuẩn (gauge theory). Ví dụ nhiều người biết đến là lý thuyết chuẩn với QED, ở đây nhóm chuẩn (gauge group) là U(1), trong trường hợp khác ta thay U(1) là bằng một nhóm chuẩn côm-pắc G.

Bản chất “không khối lượng” (massless nature) của lý thuyết Yang-Mills cổ điển là một khó khăn khi áp dụng lý thuyết trường chuẩn vào các trường hợp khác QED như các trường lực yếu hoặc hạt nhân và các trường hợp với lực ứng với các hạt có khối lượng (gắn liền với tương tác tầm ngắn). Người ta cần sử dụng thêm “trường Higgs” để vượt qua bản chất “không khối lượng” của lý thuyết Yang-Mills cổ điển.

Vậy vấn đề ở đây phải chuyển Yang-Mills cổ điển thành Yang-Mills lượng tử, và trong phiên bản lượng tử lẽ dĩ nhiên xuất hiện trạng thái chân không (vacuum) và khe năng lượng (tức khe phân chia vacuum với trạng thái khối lượng thấp nhất).

Lý thuyết lượng tử là lý thuyết cơ bản để mô tả các hạt và tương tác giữa chúng, như vậy việc thay Yang – Mills cổ điển bằng Yang – Mills lượng tử là việc phải làm.

Lý thuyết Yang-Mills cổ điển mô tả các hạt không khối lượng và tác động tầm xa.

Lý thuyết Yang-Mills lượng tử mô tả tác động tầm gần và các hạt có khối lượng.

Bài toán Yang-Mills lượng tử cũng quan hệ đến nhiều vấn đề toán học như các tích phân đường (path integral) (Fadeev) trong lý thuyết lượng tử.

Kết luận

Tìm được lý thuyết Yang-Mills lượng tử với khe năng lượng là một bài toán khó xứng đáng với giá trị một triệu đô của giải Clay.

Trong công trình của mình, Fadeev sử dụng phương pháp phiếm hàm và sơ bộ góp ý rằng bài toán Yang-Mills lượng tử với khe năng lượng có thể giải được. □

——-

Tài liệu tham khảo

[1] Landau-Lifschitz, Cơ học môi trường liên tục, Moskva 1954

[2] Matt Parker, Win a million dollars with maths, No. 3: The Navier-Stokes equations

https://www.theguardian.com/science/blog/2010/dec/14/million-dollars-maths-navier-stokes

[3]Kevin Hartnett What Makes the Hardest Equations in Physics So Difficult?

https://www.quantamagazine.org/what-makes-the-hardest-equations-in-physics-so-difficult-20180116/

[4] Joshua Sokol, Mathematicians Tame Turbulence in Flattened Fluids

https://www.quantamagazine.org/mathematicians-tame-turbulence-in-flattened-fluids-20180627/

[5] ARTHUR JAFFE AND EDWARD WITTEN

QUANTUM YANG–MILLS THEORY

[6] Michael Murray, Alan Carey, Peter Bouwknegt, Millennium Prize: the Yang-Mills Existence and Mass Gap problem