Viên ngọc trong lòng vật lý lượng tử

Viên đá quý đó là Amplituhedron (biên độ mặt), một đối tượng hình học nhiều chiều, có thể giúp giản ước nhiều phép tính và làm nên một cuộc cách mạng trong vật lý. Theo tạp chí Discover, biên độ mặt có thể xác định hình dung của vật lý tương lai1,2.

Hình 1.Hình ảnh của một amplituhedron (biên độ mặt).

Điểm thú vị của biên độ mặt là không trực tiếp làm bằng không thời gian và xác suất, các tính chất của nó phát sinh từ cấu trúc hình học của nó.

Viên ngọc ở đây là một đối tượng hình học có khả năng giúp giản ước các tính toán về tương tác giữa các hạt hạ nguyên tử. Điều này dẫn đến ý tưởng những sự cố trong diễn ra trong tự nhiên có thể là hệ quả của hình học. Trong nhiều thập kỷ, người ta có thể tính toán được những tương tác đó là nhờ các giản đồ Feynman nhưng giờ đây, việc này sẽ đơn giản hơn nhờ tính toán thể tích của hạt ngọc biên độ mặt. Nhờ viên ngọc này, các nhà vật lý có thể thực hiện được những phép tính mà trước đây thậm chí máy tính cũng gặp khó khăn, Jacob Bourjaily – một nhà vật lý về biên độ tán xạ và lý thuyết trường lượng tử ở trường Đại học Pennsylvania, từng đánh giá như vậy.

Lối tiếp cận mới này có thể mở rộng để tiếp cận hấp dẫn lượng tử, vốn chỉ gắn liền với những bức tranh tương tác hấp dẫn tuân theo nguyên lý của cơ học lượng tử kích cỡ vi mô. 

Biên độ mặt thỏa mãn hai nguyên lý cơ bản của vật lý là định xứ (locality) và nhất nguyên (unitarity). Nguyên lý định xứ ràng buộc các hạt chỉ tương tác với nhau lúc nằm trong một vùng lân cận còn nguyên lý nhất nguyên (unitarity) buộc tổng xác suất va chạm bằng 1. Tuy biên độ mặt chưa sẵn sàng mô tả hấp dẫn lượng tử song Nima Arkani-Hamed và Jaroslav Trnka (Viện Nghiên cứu Tiên tiến ở Princeton) – hai tác giả của biên độ mặt, vẫn cho rằng tồn tại một đối tượng hình học tương tự khác sẽ thực hiện điều đó.

Hình dáng của biên độ mặt giống như một viên ngọc đa diện trong không gian nhiều chiều. Trong thể tích của viên ngọc này có tích lũy mã hóa những đặc trưng cơ bản của scattering amplitudes (biên độ tán xạ) – xác suất khi một số hạt va chạm nhau và biến thành nhiều hạt khác sau va chạm.

Hình 3. Nhà vật lý đoạt giải Nobel Feynman.

Nhà vật lý Feynman đã tìm ra những giản đồ cho phép tính bằng nhiễu loạn các quá trình tán xạ. Giản đồ đơn giản Feynman, nhất là những giản đồ cây (tree diagram), những giản đồ phức tạp hơn là những giản đồ vòng (loop diagram) chứa các vòng mà trên đó xuất hiện những hạt ảo không quan sát được. Những hạt ảo không quan sát được tuy nhiên cần thiết để bảo đảm nguyên lý nhất nguyên. Số giản đồ Feynman nhiều vô kể.

Biên độ mặt

Một tiến bộ lớn là việc tìm ra các hệ thức đệ quy BCFW (recursion relations Ruth Britto, Freddy Cachazo, Bo Feng, Edward Witten), các hệ thức này thuộc bậc cây (tree level) biểu diễn gọn nhờ các biến số gọi là “twistors” (xoắn tử) và tương tác giữa các hạt được biểu diễn thành những giản đồ xoắn tử (twistor diagrams).
Với sự cộng tác của các nhà toán học như Pierre Deligne, Arkani-Hamed và cộng sự đã phát hiện ra các hệ thức đệ quy + các sơ đồ twistor (recursion relations + các sơ đồ twistor) tương ứng với một đối

Hình 4. Hệ thức đệ quy BCFW.

Biên độ mặt được định nghĩa như một không gian Grassmaniann3. Trong lý thuyết xoắn tử4 thì các hệ thức đệ quy BCFW được biểu diễn bằng một số sơ đồ xoắn tử. Các sơ đồ đó cho phép xây dựng Grassmaniann dương tức biên độ mặt. Biên độ tán xạ như vậy bằng thể tích của Grassmaniann dương.

Cách tiếp cận xoắn tử làm đơn giản các phép tính về tương tác hạt. Theo lý thuyết nhiễu loạn thông thường, một tương tác như vậy đòi hỏi nhiều ngàn phép tính giản đồ Feynmann, trong nhiều sơ đồ đó là các hạt ảo. Biên độ mặt tính toán không cần hạt ảo. Các tính toán cần điều kiện định xứ và nhất nguyên. Trong lý thuyết biên độ mặt, hai điều kiện này đã nằm sẵn trong hệ quả dương (positivity của Grassmanian).

Do đó, nhờ các hệ thức đệ quy và các sơ đồ xoắn tử mà xuất hiện đối tượng hình học biên độ mặt! Đây là mấu chốt của vấn đề: biến một bài toán lượng tử thành một bài toán hình học, một ý tưởng xuất sắc.

Các hệ thức đệ quy và các giản đồ xoắn tử tương ứng với một đối tượng hình học. Arkani-Hamed và các bạn đồng nghiệp chứng minh rằng, các giản đồ xoắn tử cho phép tính thể tích các yếu tố của đối tượng này vốn được gọi là Grassmannian dương – có thể hiểu Grassmannian dương một cách đơn giản là nội vùng của một tam giác (inside of a triangle), Arkani-Hamed giải thích như vậy. Tương tự như vậy, nội vùng của một tam giác là vùng giới hạn bởi những đường thẳng cắt nhau thì Grassmannian dương nới rộng ra là vùng trong một không gian N-chiều giới hạn bởi những mặt phẳng cắt nhau.

Hình 5. Một hình ảnh khác của amplituhedron. Nếu dùng các giản đồ Feynman ta cần đến 500 trang tính toán.

Hai tác giả Arkani-Hamed & Trnka đã chứng minh biên độ tán xạ bằng thể tích của biên độ mặt. Những phần của Grassmannian dương được tính nhờ các giản đồ xoắn tử cộng lại và là những khối xây dựng cấu thành một viên ngọc giống như các tam giác hợp thành một polygon (hình đa giác). Nếu sử dụng các giản đồ Feynman thì chúng ta có tình huống tương tự như việc lấy một bình cổ thời Minh và đập nát nó thành những mảnh nhỏ trên sàn nhà, Skinner so sánh như vậy. Nói cách khác, nếu dùng giản đồ Feynmann thì ta sẽ gặp phải một tình huống vô vọng vì số lượng giản đồ quá nhiều. 

Tìm kiếm hấp dẫn lượng tử  

Trong hấp dẫn lượng tử, hai nguyên lý định xứ và nhất nguyên đặt ra nhiều vấn đề. Và vật lý phải được phát biểu lại cho thích hợp. Khi nói đến định xứ, ta cần những khoảng cách nhỏ (vậy năng lượng lớn). Do đó, khi tiến đến khoảng cách Planck thì bức tranh trở nên phức tạp hơn bởi ở khoảng cách nhỏ, ta có thể gặp phải lỗ đen và không thời gian có thể phải được xem là đột sinh. Còn nguyên lý unitarity phải được xem là nguyên lý gần đúng? Như vậy đối với hấp dẫn lượng tử, ta cần một tiếp cận mới.

Hiện nay ta đã có một đối ngẫu giữa lý thuyết dây chứa hấp dẫn lượng tử và lý thuyết tính toán lượng tử xét ở hai không thời gian với số chiều khác nhau (đối ngẫu AdS/CFT). Người ta hy vọng, biên độ mặt vốn dựa trên hình học có cơ tiếp cận đến vấn đề hấp dẫn lượng tử. Các nhà vật lý đang tiến hành các nghiên cứu theo hướng này. Biên độ tán xạ có hấp dẫn có thể mô tả bằng một biên độ mặt.

Kết luận

Như vậy các nhà vật lý đã làm một việc quan trọng: biến một bài toán lượng tử thành một bài toán hình học, đây là một ý tưởng rất xuất sắc.
Nhờ biên độ mặt mà các nhà vật lý đã giản ước những phép tính rắc rối kiểu Feymann với số giản đồ nhiều vô kể thành việc tính thể tích của biên độ mặt,  một bước cách mạng trong tính toán của lý thuyết lượng tử.

Do đó, biên độ mặt xứng đáng được gọi là viên ngọc quý của vật lý.□
——
Tài liệu tham khảo 
[1]  Arkani-Hamed , Jaroslav Trnka
https://www.wired.com/2013/12/amplituhedron-jewel-quantum-physics/
[2] By Shannon Palus|Tuesday, January 07, 2014
RELATED TAGS: PHYSICS
http://discovermagazine.com/2014/jan-feb/10-shaping-the-future-of-physics
CHÚ THÍCH
[3] Grassmaniann Gr (k,V) là không gian thông số hóa các không gian con k của một không gian vector V
[4] Lý thuyết twistor là do Roger Penrose đề xuất năm 1967 được xem là sân khấu cơ sở cho vật lý từ đó không thời gian đột sinh.