Nhóm GS. Phạm Tuấn Huy giải bài toán 55 năm tuổi bắt nguồn từ xiếc tung hứng

Sinh thời, cố giáo sư Ronald Graham, người vừa là Chủ tịch Hiệp hội Toán học Mỹ vừa từng làm chủ tịch Hiệp hội Tung hứng Quốc tế đã lấy cảm hứng từ chính xiếc tung hứng đặt ra một giả thuyết khó cho giới toán học suốt 55 năm.

"Ông ấy mê thực hiện những kỹ xảo khác nhau, từ việc xoay quả bóng, xoay chiếc móc áo, tung hứng đồng thời nhiều quả bóng, cho đến trò phi bút vào tường" bà Fan Chung [1], vợ của Ronald Graham đồng thời là giáo sư toán tại Đại học California San Diego, chia sẻ.

Có những lúc, hai đam mê này của Graham lại bổ trợ cho nhau. Trong một cuộc phỏng vấn trên truyền hình năm 1980 [2], ông từng chia sẻ: "Thật thú vị khi nhiều nhà toán học và khoa học máy tính có niềm đam mê với nghệ thuật tung hứng. Tôi cho rằng chính mong muốn tìm kiếm các quy luật và cấu trúc là sợi dây liên kết họ với bộ môn này." Về sau, ông cùng vợ mình [3] là đồng tác giả nhiều công trình nghiên cứu về tính ngẫu nhiên, làm rõ khía cạnh toán học của nghệ thuật tung hứng nữa.

Những quả bóng tung hứng theo quy luật nào?

Giả sử mỗi quả bóng có thời gian lưu trên không khác nhau, chúng ta luôn tìm ra một thứ tự tung sao cho không bao giờ có hai quả bóng nào rơi xuống cùng một lúc khiến màn trình diễn thất bại.

Nếu tất cả các số là dương, câu trả lời hiển nhiên là có, bởi mỗi khi cộng thêm một số mới, tổng riêng này sẽ tăng dần. Tương tự, nếu có cả số âm và số dương xen kẽ, câu trả lời cũng được xác định là có. Nhưng điều gì sẽ xảy ra nếu các số này chỉ nằm trong một trục số hữu hạn, giống như những con số trên mặt đồng hồ, kim chạy sau 12 lại quay về 1, cứ sau một chu kỳ nhất định lại quay về điểm bắt đầu?

Đó chính là điều Graham băn khoăn. Giả thuyết của ông cho rằng câu trả lời vẫn là có: dù các con số bị buộc phải "quay vòng", vẫn luôn có một cách sắp xếp để các tổng lần lượt tạo ra không trùng nhau. Điều này cũng giống như việc chúng ta có thể tìm ra đáp án sudoku [4], bất chấp chúng có rất nhiều luật lệ.

Noga Alon [5], nhà toán học tại Đại học Princeton, nhận định "Bài toán của Graham hoàn toàn mang tinh thần của những câu hỏi tìm kiếm các thiết kế và cấu trúc có tính đối xứng cao".

Tuy nhiên, trong suốt nhiều thập kỷ, không ai chứng minh được trực giác của Graham là đúng. Điều này chỉ thay đổi gần đây khi một nhóm các nhà toán học trẻ bắt tay vào giải quyết bài toán này. Qua một chuỗi chứng minh trải dài trên bốn bài báo khoa học và nhiều lĩnh vực khác nhau, họ cuối cùng đã giải quyết được giả thuyết sắp xếp lại của Graham. Bài báo cuối cùng [6], do Lisa Sauermann [7] từ Đại học Bonn và Phạm Tuấn Huy [8] từ Đại học Chicago thực hiện, được công bố vào tháng 2 năm 2026, đã chính thức khép lại bài toán này.

Xuyên suốt cả bốn bài báo, một chủ đề luôn bao trùm, đó là sức mạnh của tính ngẫu nhiên trong việc kiến tạo các quy luật. Nói như lời Giáo sư Alon "chính sức mạnh của sự hợp tác, sức mạnh của tuổi trẻ và sức mạnh của phương pháp xác suất" đã chinh phục bài toán.

Bài toán mò kim đáy bể

Đầu tiên, vào năm 2022, Alp Müyesser [9], tại Đại học Oxford, vừa giải quyết xong một bài toán ngẫu nhiên thì tình cờ biết đến giả thuyết của Graham và nhận ra rằng chứng minh mà mình vừa hoàn thành có thể là chiếc chìa khoá giúp chinh phục giả thuyết này.

Giả thuyết của Graham được đặt trong thế giới của số học mô-đun, hay có thể hình dung đơn giản là "số học đồng hồ".

Hãy tưởng tượng ta có một chiếc đồng hồ chỉ có 7 vị trí, đánh số từ 0 đến 6. Khi đi thêm một bước sau số 6, ta quay trở lại 0. Vì thế, trong hệ này, 0, 7, 14 và mọi bội số của 7 đều được xem là cùng một giá trị.

Chẳng hạn, 3 cộng 4 bằng 7. Trên chiếc "đồng hồ" này, vị trí của 7 lại tương đương với 0, nên ta có thể nói 3 + 4 = 0. Tương tự, 2 + 6 = 8, mà 8 khi quay theo chu kỳ 7 sẽ trở thành 1.

Trong bài toán của Graham, chu kỳ này được ký hiệu là p.

Graham đặt ra câu hỏi như sau: Nếu bạn chọn bất kỳ một tập hợp các số khác không từ trục số này (đối với bất kỳ giá trị p nào), liệu bạn có thể luôn luôn tìm được cách sắp xếp chúng sao cho các tổng riêng thu được hoàn toàn khác nhau?

Ví dụ, nếu xếp các số thành a, b, c..., ta lần lượt tính a; a+b; a+b+c... Mỗi lần thêm một số, ta tạo ra một tổng mới. Liệu có thể sắp xếp các số ngay từ đầu để không có hai tổng nào trong chuỗi này trùng nhau hay không.

Thách thức này phụ thuộc vào kích thước tập hợp số bạn chọn so với p. Càng chọn nhiều số, bạn càng có nhiều tổng phải kiểm soát. Nhưng nếu chọn ít số hơn, số cách để sắp xếp dãy số sẽ ít đi. Những trường hợp khác nhau này dẫn đến những chiến lược giải khác nhau.

Müyesser cùng với người hướng dẫn cũ của mình là Alexey Pokrovskiy [10] từ University College London đã giải quyết trường hợp tập hợp chứa gần như toàn bộ các số trên "chiếc đồng hồ" có chu kỳ p. Với những tập hợp lớn như vậy, việc thiết lập một thứ tự thỏa mãn điều kiện có thể cực kỳ khó khăn.

"Các nhà khoa học máy tính thường gọi đây là bài toán ‘mò kim đáy bể’[11]", Müyesser nói. Có thể có rất nhiều cách sắp xếp đúng tồn tại ngoài kia nhưng để chỉ ra một cách cụ thể thì rất khó. "Nếu bạn cứ bốc đại một cách sắp xếp ngẫu nhiên, xác suất thành công là rất cao, nhưng lại rất khó để chứng minh hay mô tả cấu trúc lời giải đó một cách tường minh."

Müyesser và Pokrovskiy cần chắc chắn rằng không có bất kỳ chuỗi số liên tiếp nào ở bất cứ đâu trong thứ tự sắp xếp có tổng bằng 0. Bởi nếu dãy số như thế tồn tại, khi cộng các số trong đoạn này vào tổng riêng trước đó, ta sẽ quay lại đúng giá trị tổng cũ.

Một cách sắp xếp ngẫu nhiên hoàn toàn có thể chứa một vài đoạn "rắc rối" như vậy. Do đó, Müyesser và Pokrovskiy để riêng ra ngoài một vài số được chọn đặc biệt từ tập hợp, rồi xáo trộn ngẫu nhiên phần còn lại. Sau đó, họ rà soát thứ tự ngẫu nhiên này. Nếu phát hiện có một dãy số bất kỳ có tổng bằng 0, họ có thể chèn một trong các số dự phòng ban đầu vào để phá vỡ cấu trúc "gây rối". Vào năm 2022, họ đã công bố giải pháp của mình [12]; tuy nhiên, kết quả này lại gần như ẩn mình do nằm trong một bài báo tập trung vào việc áp dụng kỹ thuật tương tự cho một bài toán tổng quát hơn.

Tìm lại một lời giải ẩn mình

Vài năm sau, Noah Kravitz [13] từ Đại học Oxford, khi đó không biết tới lời giải của Müyesser và Pokrovskiy, tình cờ bắt gặp giả thuyết Graham trong một kho lưu trữ trực tuyến về các bài toán chưa có lời giải. Kravitz kể lại: "Tôi thấy có một bài toán chưa có lời giải và nghĩ rằng thật xấu hổ cho nhân loại nếu như không tìm được đáp án của bài này. Tình trạng này cần phải được chấm dứt."

Anh quyết định tiếp cận giả thuyết Graham theo hướng ngược lại. Cùng với đồng nghiệp Benjamin Bedert [14] tại Đại học Oxford, anh xem xét trường hợp trong đó tập hợp số trên "chiếc đồng hồ" rất nhỏ so với p. Ví dụ, Alon nói, như là bạn có tập hợp 100 số trong khi p là 1 tỷ.

Tháng 9 năm 2024, Kravitz và Bedert công bố bản chứng minh giải quyết thành công trường hợp tập số nhỏ [15]. Müyesser đọc được bài báo, lập tức chủ động tìm đến họ và chia sẻ về nghiên cứu cũ của mình. Nhóm ba người này, cùng hai nhà toán học khác, đã quyết định hợp tác để mở rộng phương pháp tiếp cận ban đầu của Müyesser.

"Thật sự là một sự kết hợp khó tin", Kravitz nói. Dù cùng nghiên cứu toán tổ hợp, anh và Müyesser lại thuộc về hai phân nhánh hiếm khi giao thoa. "Mỗi nhánh nhỏ trong toán học lại sử dụng những công cụ và kỹ thuật hoàn toàn khác biệt," anh giải thích thêm.

Bài báo của nhóm, được công bố vào tháng 8 năm 2025 [16] đã xử lý thêm nhiều trường hợp mà tập số tương đối lớn so với p. Tuy nhiên, giữa những trường hợp tập số lớn và trường hợp tập số nhỏ (mà Kravitz và Bedert đã giải quyết) vẫn còn một khoảng trống. Vẫn chưa ai biết phải xử lý thế nào với những tập số có kích thước trung bình, chẳng hạn một tập số có số lượng phần tử xấp xỉ một nửa p. Müyesser thừa nhận: "Phương pháp của chúng tôi bó tay trong trường hợp đó, và về mặt toán học, có những lý do rất rõ ràng lý giải vì sao nó không thể hoạt động hiệu quả".

Dường như quá trình nghiên cứu bài toán này có thể sẽ bước vào một thời kỳ bế tắc dài hạn khác, thì đến tháng 2 năm 2026, một bất ngờ đã xuất hiện trên mạng.

Mảnh ghép cuối cùng sau nửa thế kỷ

Lisa Sauermann và Phạm Tuấn Huy là những người bạn cũ. Hai nhà toán học gặp nhau vào năm 2015 tại Đại học Stanford, khi Sauermann đang là nghiên cứu sinh còn Tuấn Huy là sinh viên đại học. Họ đang sống tại những lục địa khác nhau, Sauermann ở Bonn, Đức còn Tuấn Huy thì ở Chicago, Mỹ. Nhưng một hội nghị ở Đức vào tháng 9 năm 2025 đã mang đến một cơ hội hiếm hoi để họ cùng nhau đứng chung trước tấm bảng đen một lần nữa. Sau hội nghị, Tuấn Huy đã đến thăm và làm việc ngắn ngày cùng Sauermann tại Bonn.

Tại hội nghị, họ đã nghe hai bài thuyết trình về giả thuyết Graham từ các đồng nghiệp, những người từng nỗ lực nhưng thất bại trong việc lấp đầy khoảng trống còn lại. Cả hai nhanh chóng bị giả thuyết này cuốn hút. Sau này, mọi người mới nhận ra rằng, Sauermann thực ra đã từng gặp một bài toán rất gần với giả thuyết này trong kỳ thi Olympic Toán học quốc tế khi còn là học sinh trung học. Cô đã giải được bài này và khi tốt nghiệp trung học, cô giành huy chương vàng Olympic Toán đến 4 lần. (Rất có khả năng chính Giáo sư Chung là người đã đưa bài toán này vào đề thi năm đó vì bà nằm trong hội đồng ra đề và bà thường xuyên lấy cảm hứng từ rất nhiều câu đố của chồng mình, Graham).

Vào cuối chuyến thăm kéo dài 3 ngày, Sauermann và Tuấn Huy đã vạch ra một kế hoạch để chinh phục bài toán.

Chiến lược này xoay quanh một kỹ thuật toán học cực kỳ phức tạp mang tên "phản tập trung" (anti-concentration). Một mệnh đề phản tập trung khẳng định rằng một sự kiện nào đó có xác suất xảy ra đặc biệt thấp. Tuy nhiên việc chứng minh những mệnh đề này phức tạp đến mức dù Kravitz và một số người khác biết rằng cách tiếp cận này có thể thành công nhưng chính anh cũng chia sẻ "chúng tôi chỉ là chưa đủ can đảm để thực sự thử nó".

Dẫu vậy, bước đầu tiên, Sauermann và Tuấn Huy bắt đầu theo cách mà những người đi trước đã làm. Họ xáo trộn ngẫu nhiên tập hợp số trên "đồng hồ" và đưa ra một quy trình để sửa những đoạn số có tổng bằng 0. Mỗi khi tìm thấy một dãy như vậy, họ sẽ hoán đổi số cuối cùng trong chuỗi bằng một số khác.

Quy trình này thường diễn ra suôn sẻ. Tuy nhiên, có ba loại sự cố có thể khiến nó thất bại. Đầu tiên là dãy số tổng bằng 0 này xuất hiện ở cuối dãy, khi đó sẽ không còn số nào khác để hoán đổi. Thứ hai, quá nhiều chuỗi có tổng bằng 0 có thể xuất hiện sát nhau khiến cho việc khắc phục toàn bộ là bất khả thi. Và thứ ba, việc sửa chữa một chuỗi hỏng có thể tạo ra một chuỗi bằng không khác ở đoạn sau.

Mục tiêu của Sauermann và Phạm Tuấn Huy là dùng kỹ thuật phản tập trung để chứng minh xác suất xảy ra của cả ba sự cố trên đều ở mức cực thấp. Một khi chứng minh được điều đó, sẽ phải tồn tại ít nhất một cách sắp xếp mà cả ba sự cố đều không xảy ra, qua đó giải quyết giả thuyết ban đầu.

Để làm được điều đó, hai người dùng đến giải tích Fourier [17], nhánh toán học cho phép viết lại các hàm phức tạp thành các thành phần đơn giản hơn. Bằng công cụ này, họ chỉ ra rằng, khi các con số được chọn và cộng một cách ngẫu nhiên, tổng thu được không có xu hướng tập trung bất thường vào một giá trị cụ thể nào. Từ kết quả này, họ tính toán rất cẩn thận xác suất xảy ra của từng loại sự cố. Cuối cùng, hai người chứng minh rằng tổng xác suất để gặp bất kỳ sự cố nào đều nhỏ hơn 100%. Chỉ cần như vậy là đủ để giải quyết giả thuyết.

Vài tháng sau cuộc hội ngộ ở Đức, Sauermann và Phạm Tuấn Huy đã đăng tải bản chứng minh dài 27 trang của mình lên nền tảng trực tuyến Arxiv[18]. Họ không chỉ chứng minh được rằng luôn tồn tại một cách sắp xếp thỏa mãn yêu cầu, mà còn chỉ ra rằng ta có thể điều chỉnh một dãy số ngẫu nhiên để loại bỏ các sự cố trong ít nhất 90% trường hợp, một tỷ lệ thành công rất lớn.

Những nhà toán học từng nghiên cứu bài toán trước đó đều bất ngờ khi thấy trường hợp cuối cùng được giải quyết nhanh chóng đến vậy. "Cách tiếp cận của họ hoàn toàn khác biệt", Müyesser nhận xét.

Tổng hợp lại, bốn bài báo đã chứng minh giả thuyết của Graham đối với các tập hợp số ở mọi quy mô. Tuy nhiên, tất cả các kết quả đều giả định rằng p rất lớn. Chưa ai tính chính xác ngưỡng đó là bao nhiêu nhưng có thể hình dung một con số ở cỡ 10¹⁰⁰. Với các nhà toán học, điều này không phải vấn đề lớn, điểm cốt lõi là bài toán đã được giải hoàn toàn trong khuôn khổ của số học mô đun. Tuy nhiên, về mặt kỹ thuật, một khía cạnh của bài toán vẫn chưa được giải hoàn toàn, người ta vẫn có thể tìm cách chứng minh giả thuyết này cho mọi giá trị của p.

Và nếu bạn định dùng kết quả này để biên đạo một màn tung hứng ngoài đời thực thì thật không may, để tương ứng với một số p lớn như vậy, tiết mục của bạn sẽ kéo dài rất rất lâu.

Dẫu vậy, chứng minh này chỉ cho ta rằng, ngay cả trong những hệ số học kỳ lạ và bị giới hạn chặt chẽ như thế, "những cấu trúc đẹp vẫn luôn có thể tồn tại", như lời Giáo sư Alon chia sẻ. Ta luôn có thể đạt được mức độ linh hoạt, xáo trộn các con số để những tổng riêng không xuất hiện trở lại.

"Việc đặt ra được một bài toán hay bản thân nó đã là một nghệ thuật. Tôi nghĩ Graham sẽ vô cùng hạnh phúc nếu biết bài toán này cuối cùng đã được giải", GS Chung chia sẻ.

Việt Anh dịch