Từ những vết khắc trên que gỗ đến các ký hiệu giải tích phức tạp, ký hiệu toán học không chỉ giúp con người tính toán mà còn định hình cách chúng ta tư duy, phát triển công nghệ và tổ chức xã hội.
Trong cuộc trả lời phỏng vấn với tạp chí Quanta, David E. Dunning - nhà nghiên cứu lịch sử toán học và giám tuyển lịch sử khoa học tại Bảo tàng Quốc gia về Lịch sử Hoa Kỳ thuộc Viện Smithsonian - lý giải vai trò và sức mạnh của ký hiệu chữ viết trong toán học.
Ký hiệu toán học đến từ đâu trong lịch sử?
Mỗi hệ thống ký hiệu là một tập hợp các thói quen. Loại ký hiệu toán học cơ bản nhất là hệ ghi số. Các hệ ghi số khác nhau có những điểm mạnh và điểm yếu khác nhau.
Hệ ghi số Ấn Độ - Ả rập chúng ta đang dùng vốn được phát minh ở Ấn Độ, du hành qua thế giới Ả-rập rồi lan truyền sang châu Âu chủ yếu nhờ các lái buôn. So với hệ ghi số La Mã phổ biến ở châu Âu trước đó, hệ ghi số Ấn Độ - Ả rập giúp cho việc tính toán, và qua đó việc buôn bán, của các lái buôn dễ dàng hơn.
Việc hình dung các tính toán số học với hệ ghi số La Mã không phải là không thể, nhưng bất tiện vì cứ tăng độ lớn là lại cần một ký tự mới. Trong khi đó, với hệ ghi số Ấn Độ - Ả rập, chỉ cần 10 ký tự, bạn có thể biểu diễn vô hạn số. Trên lý thuyết, bạn có thể hiểu mọi số tự nhiên.
Quan trọng hơn, hệ ghi số Ấn Độ - Ả rập không chỉ là một hệ thống biểu diễn tĩnh mà kèm theo là các phép toán cộng, trừ, nhân, chia... Ngày nay chúng ta coi là hiển nhiên: trẻ em đến trường được học phép tính có nhớ và nhân các số lớn với nhau. Nhưng nếu nhìn lại lịch sử, nhân hai số lớn vốn là một việc khó khăn - cho đến khi ta có một hệ ghi số khiến trở nên dễ dàng. Đó là sức mạnh của ký hiệu.
Có thể ký hiệu toán học mà không dùng đến chữ viết?
Có những hệ biểu diễn số phức tạp không phải là chữ viết. Chẳng hạn, hệ quipus của người Inca, một hệ thống các sợi dây thắt nút có thể mã hóa các con số phức tạp. Và có hệ đếm ngón tay của người La Mã, còn được dùng khá rộng rãi đến suốt thời Trung cổ ở châu Âu, có thể đếm đến tận 9999 bằng hai bàn tay.
Hình minh họa về hệ đếm ngón tay của người La Mã - trích từ sách Summa de Arithmetica, 1494. Nguồn: Public Domain
Nhưng cuối cùng ký hiệu chữ viết thắng thế trong toán học. Dunning minh hoạ bằng câu chuyện Gottfried Leibniz và Isaac Newton độc lập phát minh ra các phép tính vi tích phân vào thế kỷ 17 sử dụng những hệ ký hiệu khác nhau.
Hiểu biết của Newton về giải tích có gốc rễ hình học sâu xa hơn nhiều so với Leibniz. Kiệt tác Principia (Nguyên lý) của Newton không giới thiệu giải tích với các ký tự; cũng như Elements (Cơ sở) của Euclid, nó bắt đầu với các định nghĩa và tiên đề, và có rất nhiều hình vẽ. Khi đó cuốn sách của Euclid vẫn là nền móng của toán học, trong khi đại số thường được coi là một thứ mẹo để tìm ra đáp số cho một bài toán có "bản chất" hình học.
Leibniz muốn một thứ giải tích mang tính đại số và thiên về ký hiệu hơn. Ông từng nói: "Tôi dám nói rằng đây là nỗ lực cuối cùng của trí tuệ con người, và khi công trình này hoàn thành, tất cả những gì con người sẽ phải làm là sống hạnh phúc." Ý tưởng của ông là một hệ thống ký hiệu cô đọng có thể mang lại sức mạnh tư duy cho con người.
Lịch sử chứng minh tính đúng đắn của ý tưởng này khi ngày nay chúng ta vẫn dùng hệ ký hiệu của Leibniz, nhất là ký hiệu tích phân, hình ảnh dễ nhận biết nhất của giải tích. Đó là chữ "S" kéo dài, chữ cái đầu của từ "sum" - tổng. Giải tích của Leibniz được sử dụng nhiều hơn hẳn ở châu Âu lục địa, phát triển mạnh mẽ theo cách mà giải tích của Newton đã không thể đạt được.
Một trang bản thảo của Leibniz về tích phân, hiện được lưu trữ tại Hanover, Đức. Nguồn: Public Domain
Ký hiệu của Leibniz được ưa chuộng vì được các bạn bè và đồng nghiệp của ông tiếp nhận, rồi những người tiếp bước họ - như Euler, Lagrange và Laplace - phát triển giải tích thành cả một ngành toán học ở châu Âu lục địa trong thế kỷ sau đó. Ở Anh, vật lý toán của Newton được coi trọng, nhưng không phải với tư cách nền tảng của văn hóa nghiên cứu khoa học. Kết quả là truyền thống Anh vốn rất tôn sùng Newton thực tế lại không theo kịp sự phát triển của cơ học Newton ở những nơi khác [nhờ những công cụ toán học hiện đại hơn].
Đầu thế kỷ 19, sinh viên toán ở Anh chán nản khi phải học ký hiệu của Newton trong khi tất cả toán học diễn ra với ký hiệu của Leibniz. Đây cũng là thời kỳ mà Cách mạng Pháp và Chiến tranh Napoleon khiến cho trao đổi văn hóa giữa Anh và Pháp đặc biệt khó khăn. Vì vậy, ký hiệu [vi phân, tích phân] không phải thứ họ có thể nhanh chóng thay đổi, và họ cũng không có quyền thay đổi. Quá trình chuyển tiếp diễn ra dần dần, khi thế hệ đó trở thành người ra đề thi. Và đến giữa thế kỷ 19, các nhà toán học Anh chuyển sang dùng các ký hiệu của Leibniz, cuộc chuyển tiếp thực sự hoàn tất.
Ký hiệu có luôn hội tụ về một cái vượt trội như vậy không?
Không luôn rõ ràng như vậy. Logic toán học là một thí dụ đặc biệt quan trọng, nơi chứng kiến sự nở rộ của ký hiệu - và cách các tác giả thoải mái sử dụng chúng. Rốt cuộc chúng ít nhiều hội tụ, nhưng bạn cũng thấy sự tồn tại đồng thời.
Một lý do là các nhà logic có những mục đích rất khác nhau, nhất là ở thời kỳ đầu. George Boole, người xuất bản cuốn sách logic toán đầu tiên của mình năm 1847, tin rằng logic là toán học, và rằng bạn có thể lập luận logic như Aristotle nhưng hiệu quả hơn bằng cách biểu diễn tam đoạn luận dưới dạng các phương trình. Bởi vậy, với ông, việc sử dụng ký hiệu đại số sẵn có, tức là hệ thống ký hiệu quen thuộc với độc giả, là rất quan trọng.
Nhưng năm 1879, nhà toán học Đức Gottlob Frege xuất bản cuốn Begriffsschrift, nghĩa là "chữ viết khái niệm". Ông lại có mục đích ngược lại: chứng minh toán học thực sự là logic. Để làm việc đó, ông cần những ký hiệu logic không chứa ý nghĩa toán học nào, vì ông sẽ xây dựng lại toàn bộ toán học. Và ông tạo ra một hệ thống ký hiệu hoàn toàn khác những ký hiệu toán học đã có.
Một trang trong cuốn Begriffsschrift của Gottlob Frege. Nguồn: Public Domain
Trong một thời gian dài, sự đa dạng này là cách logic vận hành. Một phần vì logic không có một ứng dụng rõ ràng hay một mục đích thống nhất. Các tác giả khác nhau cho rằng logic quan trọng vì những lý do khác nhau, và điều đó được phản ánh trong hệ thống ký hiệu mà họ cho là phù hợp nhất với mục đích của mình. Cập nhật các tài liệu nghiên cứu mới đồng nghĩa với việc liên tục chuyển đổi giữa những hệ thống ký hiệu này và suy nghĩ về những thứ chúng có thể và không thể làm.
Sự phong phú về ký hiệu này không chỉ có ở logic, nhưng trong logic nó có ý nghĩa đặc biệt. Những năm 1930 là giai đoạn đỉnh điểm khi Kurt Gödel, Alan Turing và Alonzo Church đưa ra những định lý vô cùng quan trọng [về tính bất toàn và khả năng tính toán] - với chủ đề của định lý chính là những gì một hệ thống ký hiệu có thể làm được, tức nghiên cứu giới hạn của chính công cụ dùng để suy luận. Và những dạng câu hỏi siêu cấp này, xuất phát từ việc có một lĩnh vực trong đó mỗi người viết theo một kiểu. Không phải ngẫu nhiên khi họ làm việc trong bối cảnh có quá nhiều loại ký hiệu khác nhau và điều đó buộc họ phải luôn phải lưu tâm xem mỗi loại làm được gì.
Ký hiệu toán học vẫn đang tiến hóa như thế nào? Liệu chúng ta có vượt khỏi chữ viết?
Chúng ta chưa chạm đến giới hạn. Máy tính cho phép tạo ra rất nhiều loại mô hình, và chúng ta có thể sẽ thấy ngày càng nhiều lĩnh vực toán học mà kết quả là động - tức các mô hình hoặc mô phỏng về các đối tượng và quá trình không thể in ra được. Nhưng điều này không phải chưa từng có tiền lệ trong lịch sử toán học.
Chúng ta đã nói về những hệ không phải chữ viết trong quá khứ xa xưa, và cuối thế kỷ 19 có một giai đoạn hoàng kim của các mô hình thật. Có rất nhiều mô hình hình học bằng thạch cao, ở bảo tàng Smithsonian còn lưu giữ. Chúng từng hiện diện ở mọi khoa toán: bạn có cả bộ mô hình cho mọi loại bề mặt, và có quan điểm cho rằng một phần của việc học toán là trau dồi trực giác vật lý về hình dạng mà các phương trình biểu diễn. Việc làm ra mô hình chính là một kiểu khám phá trong nghiên cứu.
Một mô hình hình học bằng thạch cao trong bộ sưu tập các mô hình toán học của ĐH Illinois. Nguồn: ĐH Illinois
Tương tự, máy tính mở ra vô số khả năng biểu diễn không dùng chữ viết và sẽ giúp đặt ra những câu hỏi mới.
Cần nói rõ: chúng ta đang thảo luận về toán học tinh hoa, và gọi tắt là "toán", nhưng như vậy là đã bỏ sót rất nhiều thứ. Tri thức chúng ta dùng khi đi chợ, khi tính toán giá cả hay cân đối chi tiêu, đó cũng chính là toán.
Ký hiệu có được phổ biến và trở nên quen thuộc theo cách nào khác không?
Một thí dụ là việc sử dụng chữ x cho biến số. Mất một thời gian dài trong lịch sử toán học để điều này phát triển thành một thói quen. Khi học sinh tiểu học lần đầu tiếp xúc với ý tưởng rằng ta sẽ coi chữ cái như thể con số, các em vẫn thấy đó là điều bí hiểm. Nhưng giờ thì nó quá quen thuộc, và ngay cả những người không tự coi mình là giỏi toán cũng thoải mái sử dụng x trong ngôn ngữ thông thường để chỉ cái chưa biết. Bạn có thể nói: "Giả sử tôi có x cân táo," và người nghe, dù không biết gì về giải phương trình, cũng không cảm thấy khó chịu với cách nói đó.
Đó chính là điều mà ký hiệu làm được: biến thứ mang vẻ bí hiểm thành điều quen thuộc. Và những gì được coi là bí hiểm có thể thay đổi.
Nguyễn Hoàng Thạch lược dịch
---
Nguồn:
How Writing Changes Mathematical Thought. Quanta Magazine.
https://www.quantamagazine.org/how-writing-changes-mathematical-thought-20260325/