Cảm nhận vẻ đẹp toán học tương tự cảm nhận nghệ thuật
Không nhất thiết phải là nhà toán học, ngay cả người bình thường cũng có thể thấy được cái đẹp trong những chứng minh toán học phức tạp giống như cách họ thưởng thức một bức tranh phong cảnh đẹp hoặc một bản sonata.
Giữa toán học và âm nhạc có những điểm tương đồng.
Những tương đồng giữa toán học và âm nhạc đã được biết đến từ lâu, nhưng các đồng tác giả của nghiên cứu trên tạp chí Cognition là nhà toán học Stefan Steinerberger tại Đại học Yale và nhà tâm lý học Samuel G.B. Johnson tại Đại học Bath muốn so sánh nó với cả mỹ thuật, để xem liệu có thứ gì phổ quát trong cách con người đánh giá cái đẹp – dù là trong mỹ thuật, trong âm nhạc, hay trong toán học trừu tượng.
Ý tưởng thoạt tiên lóe lên khi Steinerberger, Đại học Yale, người sau đó là đồng tác giả nghiên cứu, trong một bài giảng đã chứng minh toán học với “một bản sonata piano Schubert cực hay”, nhưng không giải thích được tại sao. Do đó, ông tìm đến Johnson, giảng viên nghiên cứu thị trường tại Trường Quản lý thuộc Đại học Bath, khi đó đang hoàn thành luận án tiến sỹ tâm lý học tại Yale.
“Hóa ra sinh viên toán ở Yale chơi nhạc khá nhiều,” Steinerberger nói. “Sau đó có ba, bốn sinh viên lên hỏi tôi ‘vậy so sánh chứng minh toán học với âm nhạc của Schubert như thế nào?’, và tôi nhận ra rằng chính tôi cũng không hiểu mình muốn nói gì, có điều nghe nó có vẻ đúng. Thế là tôi viết email hỏi khoa Tâm lý học.”
Giáo sư tâm lý học Woo-Kyoung Ahn trả lời email, và sau khi thảo luận thêm, bà giới thiệu Steinerberger đến một nghiên cứu sinh tâm lý học mà bà cho là sẽ hợp với ông.
Đồng tác giả Samuel G.B. Johnson, hiện là giảng viên nghiên cứu thị trường tại Trường Quản lý thuộc Đại học Bath, là nghiên cứu sinh tiến sỹ ngành tâm lý học tại Đại học Yale khi ông lần đầu tiếp xúc với Steinerberger. Johnson nghiên cứu về sự lập luận và ra quyết định. “Một phần lớn công việc của tôi là tìm hiểu cách người ta đánh giá các cách giải thích và lập luận khác nhau về mọi thứ,” ông giải thích.
Steinerberger kể rằng Johnson ngay lập tức nghĩ ra cách thiết kế một thí nghiệm để kiểm nghiệm câu hỏi của ông, rằng liệu chúng ta có cùng những cảm nhận thẩm mỹ về toán học như với các hình thức khác, tức là nghệ thuật và âm nhạc, và liệu điều đó có đúng với một người bình thường, không phải một người làm toán chuyên nghiệp như ông.
“Dù tôi chỉ có vài ý tưởng mơ hồ nhưng Sam lập tức hiểu ngay vấn đề,” Steinerberger nói. “Chúng tôi đúng là một cặp trời sinh.”
Để nghiên cứu, họ chọn bốn chứng minh toán học – một chứng minh toán học là một lập luận để thuyết phục rằng một điều gì đó là đúng, bốn bức tranh phong cảnh, và bốn bản sonata dành cho piano. Theo Johnson, vì những sự tương đồng giữa toán học và âm nhạc đã được biết đến từ lâu, họ muốn dùng thêm một hình thức khác, ở đây là mỹ thuật, trong thử nghiệm, để xem có điều gì phổ quát hơn hay không trong cách chúng ta đánh giá cái đẹp.
Các chứng minh được họ sử dụng là: tổng của một cấp số nhân vô hạn, phép tính tổng nhanh của Gauss, nguyên lý chuồng bồ câu (còn gọi là nguyên lý Dirichlet, hay nguyên lý ngăn kéo), và một chứng minh hình học của một trong các công thức Faulhaber.
Các tác phẩm âm nhạc là bản số 4 trong sáu bản Moments musicaux, D. 780 (Op. 94) của Schubert, khúc Fugue trong Toccata in E Minor (BWV 914) của Bach, biến tấu Diabelli Variations (Op. 120) của Beethoven và bản Prelude in D-flat major (Op.87 No. 15) của Shostakovich.
Các bức tranh là Looking Down Yosemite Valley, California (Nhìn xuống thung lũng Yosemite, California), A Storm in the Rocky Mountains, Mt. Rosalie [Cơn dông trên dãy Rocky, Mt. Rosalie] của Albert Bierstadt, The Hay Wain (Cỗ xe) của John Constable và The Heart of the Andes (Trung tâm dãy Andes) của Frederic Edwin Church.
Johnson chia nghiên cứu làm ba phần. Trong phần thứ nhất, một nhóm được yêu cầu ghép mỗi chứng minh toán học với một bức tranh phong cảnh mà họ thấy là giống nhất về mặt thẩm mỹ. Trong phần thứ hai, một nhóm khác so sánh bốn chứng minh toán học với bốn bản piano, hệt như cách Steinerberger ví một chứng minh với một “bản sonata hay của Schubert.”
Cuối cùng, phần thứ ba yêu cầu một nhóm nữa chấm điểm mỗi bức tranh và mỗi chứng minh theo chín tiêu chuẩn khác nhau: tính nghiêm túc, tính phổ quát, chiều sâu, tính mới, tính trong sáng, tính đơn giản, tính thanh thoát, tính phức tạp, và tính tinh vi trên thang điểm từ 0 đến 10, chín điểm cho chín tiêu chuẩn khác nhau và một điểm cho cái đẹp toàn diện. Các tiêu chuẩn này được họ lấy từ “A Mathematician’s Apology” [Lời biện minh của một nhà toán học], bài viết từ năm 1940 của nhà toán học nổi tiếng G.H. Hardy về cái đẹp trong toán học.
Các thành viên của nhóm thứ ba đồng tình về mức độ thanh thoát, sâu sắc, trong sáng, v.v. của mỗi chứng minh toán học và mỗi bức tranh. Khi phân tích các điểm số trong phần thứ ba, Steinerberger và Johnson nhận thấy đối với cả các tác phẩm và các chứng minh toán học, điểm “thanh thoát” cao thường đi kèm điểm đẹp toàn diện cao. Khi nhận được kết quả, Steinerberger và Johnson đều ngạc nhiên nhưng hài lòng. Họ có thể dùng điểm số tương đồng của nhóm thứ ba để dự đoán kết quả của nhóm thứ nhất: những người tham gia trong nhóm thứ ba đồng tình rằng chứng minh nào là thanh thoát và bức tranh nào là thanh thoát, trong khi những người tham gia nhóm thứ nhất có xu hướng ghép chứng minh thanh thoát nhất theo nhóm thứ ba với bức tranh thanh thoát nhất theo nhóm thứ ba.
Người ta có thể thấy sự tương ứng và đồng thuận giữa toán học và mỹ thuật thực sự liên quan đến vẻ đẹp nội tại của chúng. Và có một chút đồng thuận trong việc đánh giá sự giống nhau giữa các tác phẩm âm nhạc cổ điển và toán học. “Người ngoại đạo không chỉ có trực giác về vẻ đẹp của toán học tương tự như trực giác về vẻ đẹp của nghệ thuật, mà còn có trực giác tương tự lẫn nhau về cái đẹp. Nói cách khác, có sự đồng tình về thứ tạo nên vẻ đẹp, bất kể phương thức thể hiện,” Johnson nói. Khó có thể cho là tình cờ khi 300 người đồng tình về “cách” đẹp cụ thể của bốn chứng minh khác nhau.
Tuy nhiên, không rõ nếu thay đổi loại nhạc thì kết quả có giữ nguyên hay không.
Những hiểu biết mới về vẻ đẹp của toán học có thể gián tiếp ảnh hưởng đến việc dạy toán trong trường phổ thông.
Do đó, Steinerberger cho rằng, “chúng tôi muốn lặp lại nghiên cứu với những bản nhạc, những chứng minh, những tác phẩm nghệ thuật khác. Chúng tôi chỉ ra hiện tượng này, nhưng không biết giới hạn của nó. Đến chừng mực nào thì nó không còn tồn tại? Có cần phải là nhạc cổ điển? Có cần phải là tranh về thiên nhiên, vốn đã rất đẹp?”
Dù tự nhận không phải là những nhà nghiên cứu giáo dục, cả Steinerberger lẫn Johnson đều nhận thấy nghiên cứu này có thể gián tiếp ảnh hưởng đến việc dạy toán, đặc biệt ở bậc trung học. “Biết đâu có cơ hội để khiến những khía cạnh trừu tượng nhất, hình thức nhất của toán học trở nên dễ tiếp cận và gây hứng thú hơn đối với học sinh ở tuổi đó,” Johnson nói. “Và điều đó có thể có ích trong việc khuyến khích thêm nhiều người bước chân vào toán học.”
“Tôi nghĩ rằng nếu hiểu được mọi người thấy cái gì trong toán là đẹp, chúng ta có thể thấu hiểu cách người ta hiểu toán và làm toán,” Steinerberger bổ sung. “Và còn cả hàm ý nhân bản của câu hỏi: Con người chúng ta thực sự suy nghĩ về mọi thứ như thế nào? Tôi nghĩ chắc chắn phải hợp tác với các nhà tâm lý học về vấn đề này.” □
Nguyễn Hoàng Thạch tổng hợp
Nguồn:
Samuel G.B. Johnson et al., Intuitions about mathematical beauty: A case study in the aesthetic experience of ideas, Cognition, 2019. (DOI: http://dx.doi.org/10.1016/j.cognition.2019.04.008)
https://phys.org/news/2019-09-people-beauty-complex-mathematics.html
https://medicalxpress.com/news/2019-08-math-art-beautiful.html
