Chủ nhân giải Fields 2026 Jacob Tsimerman: Toán học đang trong cơn hiểm nghèo

Quyết tâm và nỗ lực đã đưa Jacob Tsimerman lên đỉnh cao của thế giới toán học. Nhưng giờ đây, khi đã giành được Huy chương Fields, anh lo ngại rằng toán học đang trong cơn hiểm nghèo.

Jacob Tsimerman biết rằng nhiều người coi toán học là một hành trình đi tìm cái đẹp. Trong suốt sự nghiệp của mình, anh đã gặp cái đẹp nhiều lần. Nhưng cái đẹp không phải là động lực của anh. Điều mà anh yêu thích nhất là giải được những bài toán khó, và là người đầu tiên làm được điều đó.

"Từ kinh nghiệm bản thân, và tôi nghĩ cũng là kinh nghiệm của nhiều người, toán học là một nỗ lực có mục đích," anh nói. "Chân lý hay vẻ đẹp là những thứ được nhìn thấy từ xa, còn nếu soi lại gần, ta chỉ muốn thắng." Tsimerman [1], với mái tóc nâu hơi rối và bộ râu quai nón, nói nhanh và đầy say mê.

Quyết tâm chiến thắng mãnh liệt đã thôi thúc Tsimerman trên mọi chặng đường sự nghiệp, với kết quả là vinh quang ở Olympic Toán học Quốc tế (IMO) khi là học sinh phổ thông, bảo vệ tiến sĩ tại Đại học Princeton khi mới 23 tuổi, đưa ra những chứng minh giúp định hình lại nhiều lĩnh vực của lý thuyết số và hình học đại số và mang về một bộ sưu tập những giải thưởng danh giá.

Tsimerman ý thức được sự thôi thúc này.

Trong gần hai thập kỷ, Tsimerman được biết đến như một trong những người giải toán tài năng nhất thế hệ của mình.

Khi chu kỳ bốn năm cuối cùng mà anh còn đủ tiêu chuẩn nhận Huy chương Fields đến gần, Tsimerman nhận ra rằng những thành tựu đạt được đặt anh vào vị trí ứng cử viên tiềm năng và dồn sức lực cho mục tiêu đó.

"Cậu ấy là một người giải toán xuất sắc. Cậu ấy có thể học mọi thứ," Peter Sarnak [2], giáo sư Đại học Princeton và Viện Nghiên cứu Cao cấp (IAS), thầy hướng dẫn của Tsimerman, nhận xét.

Sau mỗi cột mốc trong sự nghiệp, Tsimerman đều nhìn lại, tự hỏi bản thân liệu mình có thực sự muốn sống để làm toán, và liệu mình có đủ giỏi để thành công. Và với mỗi cột mốc trước đây, câu trả lời luôn là khẳng định.

Nhưng lần này có thể khác. Khi suy ngẫm sẽ làm gì tiếp với chiếc Huy chương Fields đeo trên cổ, Tsimerman đứng trước sự trỗi dậy của một dạng chuyên gia giải toán mới - thứ mà có thể không con người nào có thể thắng nổi nữa, thứ khiến anh hoài nghi về tương lai của mình trong toán học.

Liên tục chinh phục các kỳ thi

Tsimerman sinh năm 1988 tại Kazan, tây nam nước Nga. Khi cậu lên ba, gia đình cậu chuyển đến Israel, nơi mẹ cậu dạy toán ở trường trung học.

Khoảng thời gian đó, ông nội của Tsimerman, một nhà vật lý học, bắt đầu đố cháu những bài toán đố nhỏ. Có câu đố hỏi cần bao lâu để hai vòi nước chảy đầy một bồn tắm, câu khác thì về hai đoàn tàu chạy ngược chiều sắp sửa đâm nhau với một chỗ rẽ giữa chúng. Trong lúc vun đắp khả năng toán học của con, mẹ Tsimerman vẫn cẩn trọng nói rằng cậu không nhất thiết phải đi theo con đường đó nếu không muốn. Nhưng "tôi không để tâm đến lời bà lắm", Tsimerman kể.

Khi Tsimerman 9 tuổi, gia đình cậu chuyển tới Toronto, và cậu bắt đầu tham gia các cuộc thi toán.

Lên lớp 7, Tsimerman lần đầu tiên tham gia kỳ thi Olympic Toán học Canada. Có năm bài toán, và cậu làm sai gần hết. Sau đó, cậu tới Đại học Toronto, ở gần trường mình học, và tìm một cái bảng đen. Suốt nhiều giờ, cậu bé 12 tuổi vật lộn với một câu hỏi hình học trong bài thi mà mình không làm được. Cuối cùng cậu cũng giải được nó.

Nhiều nhà toán học cho rằng các kỳ thi đang khuyến khích lối suy nghĩ sai lầm, vì các bài toán trong các kỳ thi chắc chắn có lời giải, trong khi nghiên cứu đòi hỏi phải chấp nhận sự thực là có nhiều bài toán không thể giải được.

Lúc đó Tsimerman thì vẫn cho rằng các kỳ thi toán rèn luyện kỹ năng quan trọng nhất đối với mình. "Các kỳ thi toán dạy bạn ngồi hàng giờ với một bài toán, kể cả khi bạn gần như chắc chắn bế tắc," anh nói. "Nếu đấy không phải nghiên cứu, thì tôi không biết thế nào mới phải."

Sau thất bại ở kỳ thi đó, Tsimerman ra sức giải toán. Mỗi ngày cậu bỏ ra năm giờ làm các bài toán thi học sinh giỏi thay vì làm bài tập về nhà bình thường.

Nỗ lực được đền đáp. Năm 2003, mới 15 tuổi, Tsimerman giành huy chương vàng tại IMO tại Tokyo, giải đúng bốn trong sáu bài toán. Năm sau, tại Athens, cậu đạt điểm tuyệt đối.

Sau đó, cậu quyết định ngừng tham gia các kỳ thi toán, bởi sau khi đạt điểm tuyệt đối, việc tiếp tục tham gia sẽ chỉ làm xấu đi thành tích của mình. Ít nhất là ở trình độ đó, cậu không còn gì để chinh phục.

Học cách thất bại

Tsimerman rời trường trung học ở tuổi 16 để ghi danh vào Đại học Toronto. Trong hai năm tiếp theo, anh ngốn ngấu mọi môn toán trong chương trình giảng dạy và tốt nghiệp khi mới 18 tuổi.

Năm 2006, anh bắt đầu làm nghiên cứu sinh tại Đại học Princeton, theo bước những thần đồng như Terry Tao (huy chương Fields 2006) và Akshay Venkatesh (huy chương Fields 2018). Vào trường, anh lập tức tìm gặp Peter Sarnak, nhà toán học danh tiếng và cũng nổi tiếng là một thầy hướng dẫn tốt.

"Tôi được khuyên rằng Peter và tôi sẽ hợp nhau và rằng ông ấy đứng ở trung tâm của vũ trụ và sẽ hướng dẫn tôi đi đúng hướng," Tsimerman nói. "Cả hai đều là những lời khuyên đúng đắn."

Sarnak đưa Tsimerman một danh sách dài gồm những quyển sách và bài báo cần đọc. Tsimerman vùi đầu trong tám tháng đầu tiên cho việc đó. Càng đọc, anh càng thấy choáng ngợp, càng thấy lĩnh vực nghiên cứu ngày càng mênh mông, và lo lắng không biết chỗ của mình ở đâu. Cuối cùng, anh lại gặp Sarnak và xin một nhiệm vụ cụ thể, bất cứ việc gì cho phép anh có được một điểm đặt chân trong lĩnh vực và đánh giá cơ hội thành công của mình.

"Tôi nói, ‘Tôi cần một bài toán. Tôi cần làm việc với một bài toán vì tôi không thể đọc mãi về lý thuyết,’" anh kể lại.

Sarnak đưa anh một bài toán trong một lĩnh vực toán học gọi là lý thuyết số giải tích, chủ đề Tsimerman không mấy ưa thích khi còn học đại học. Anh đến Princeton với hy vọng hoàn toàn tránh được nó. Đằng này, Sarnak lại cho anh bài toán đó.

"Phải mất ba năm tôi mới gọi Peter bằng tên [một cách thân tình]," Tsimerman nói. "Lúc đó tôi không thể bảo ‘Cho tôi một bài toán khác’".

Anh giải được bài toán, và cùng Sarnak viết ra chứng minh.. Khi đến Princeton, Tsimerman biết giải các bài toán trong các kỳ thi. Giờ đây, với Sarnak, anh có được niềm tin rằng mình cũng có thể thành công trong nghiên cứu.

"Trong hai năm đầu tiên tôi vô cùng sợ hãi và có phần lo lắng," Tsimerman nói. "Việc viết bài báo đầu tiên dường như bất khả thi".

Sau đó, Sarnak liên tục giao cho Tsimerman nhiều bài toán khó. Tsimerman nghĩ về các bài toán trong vài tháng, rồi quay lại báo cáo rằng mình không đi được đến đâu. Sarnak đều nói "tuyệt," và giao cho anh một nhiệm vụ bất khả thi khác.

Trong tâm trí của Sarnak, mục đích không phải để Tsimerman giải được các bài toán. Mục đích là giúp anh hiểu chính xác cái gì khiến cho các bài toán đó khó, tương tự cách anh hiểu những trở ngại kỹ thuật và những chỗ hiểm ác khi leo một ngọn núi – thứ tri thức tiên quyết để một ngày nào đó leo lên được đến đỉnh núi.

"Cách để giải một bài toán là bạn phải hiểu khó khăn nằm ở chỗ nào, và bạn phải thất bại và phát triển trực giác nhận biết câu trả lời có thể nằm ở đâu," Sarnak nói. "Điều đó có thể học, nhưng cách học tốt hơn cả là thử, thất bại, hình thành trực giác, và thử lại."

Đi tìm cấu trúc ẩn

Thất bại đủ nhiều, học được vấn đề nằm ở chỗ nào, và có thể bạn rốt cuộc sẽ thành công. Đó là ý tưởng của Sarnak, và nó rốt cuộc đã xảy đến khi Sarnak bảo Tsimerman xem xét một bài toán khó khác, giả thuyết André-Oort [3].

Giả thuyết André-Oort phát triển từ một ý tưởng trung tâm của toán học hiện đại - rằng số học và hình học có liên hệ sâu sắc với nhau.

Xét một ví dụ đơn giản: tưởng tượng đồ thị của đường cong được cho bởi một phương trình. Đồ thị có thể đi qua một vài điểm có tọa độ nguyên. Điều đó có thể chỉ là ngẫu nhiên. Nhưng nếu nó đi qua nhiều điểm có tọa độ nguyên, có thể đó là dấu hiệu của một cấu trúc ẩn của phương trình đường, cấu trúc này giải thích cho việc đồ thị đi qua những điểm đặc biệt đó.

Giả thuyết André-Oort là một phiên bản phức tạp hơn rất nhiều của ý tưởng đó. Thay vì xét đồ thị của một phương trình trong mặt phẳng hai chiều, nó nói về những không gian hình học nhiều chiều trong đó mỗi điểm có thể đại diện cho cả một đối tượng toán học.

Một số điểm trong số đó tương ứng với những đối tượng số học có tính chất đặt biệt. Giả thuyết André-Oort đặt câu hỏi: nếu nhiều điểm đặc biệt như vậy xuất hiện trong cùng một miền không gian hình học, đó là sự ngẫu nhiên hay dấu hiệu của một cấu trúc hình học sâu hơn?

Để chứng minh giả thuyết André-Oort, các nhà toán học cần chỉ ra rằng các điểm đặc biệt không xuất hiện một cách đơn độc. Giống như kiến: ở đâu có một con tất sẽ có cả đàn.

Một cách để đi từ một điểm đặc biệt tới những điểm khác là đi theo cái gọi là quỹ đạo Galois. Một cách để đi từ một điểm đặc biệt tới những điểm khác là đi theo cái gọi là quỹ đạo Galois. Có thể hình dung đây là một nhóm những điểm đặc biệt có liên hệ với nhau: bắt đầu từ một điểm, ta áp dụng những phép biến đổi toán học nhất định để tạo ra các điểm khác.

Điều này quan trọng với giả thuyết André-Oort vì giả thuyết này tìm kiếm những mối liên hệ giữa các điểm đặc biệt. Trong luận án tiến sỹ, Tsimerman chứng minh rằng một điểm đặc biệt như vậy không thể chỉ có một vài điểm liên quan; quỹ đạo Galois của nó phải có ít nhất một số lượng điểm nhất định. Kết quả này cho phép các nhà toán học từ những điểm đặc biệt riêng lẻ nhận ra khả năng tồn tại của một cấu trúc lớn hơn phía sau chúng.

Khẳng định năng lực

Năm 2010, khi Tsimerman sắp sửa bảo vệ luận án, các nhà toán học khác đã có những bước tiến cục bộ trong việc chứng minh giả thuyết André-Oort. Một nhóm ở Pháp chứng minh được rằng giả thuyết André-Oort đúng nếu giả thuyết Riemann, một bài toán nổi tiếng về quy luật phân bố của các số nguyên tố, là đúng. Song song với họ, một nhà toán học tại Đại học Oxford, Jonathan Pila [4], tìm ra một chiến lược khác. Cách tiếp cận của Pila đủ mạnh để chứng minh giả thuyết trong trường hợp đơn giản nhất, nhưng không tiến được xa hơn.

"Chúng tôi nhanh chóng nhận ra phương pháp của Pila có thể được tổng quát hóa, nhưng còn vô số rào cản," Sarnak nói.

Pila cũng là cựu sinh viên của Sarnak, và năm 2010, Sarnak mời ông đến Princeton để chia sẻ công trình của mình. Trong chuyến thăm đó, Sarnak giới thiệu Pila với Tsimerman.

Phương pháp của Pila cần một cách tạo ra nhiều điểm đặc biệt, chính là thứ mà công trình của Tsimerman về quỹ đạo Galois cung cấp. Trong luận văn của mình, Tsimerman kết hợp phương pháp của Pila với kết quả của anh về quỹ đạo Galois để chứng minh một trường hợp riêng quan trọng và khó của giả thuyết André-Oort.

Chứng minh đầy đủ cho toàn bộ giả thuyết vẫn còn xa - sẽ cần thêm hơn một thập kỷ, và nhiều hợp tác nữa - nhưng kết quả một phần này đã đủ để xác lập vị trí của Tsimerman như một nhà nghiên cứu hàng đầu, không còn chỉ là một ngôi sao trong các kỳ thi nữa.

"Nghi ngờ duy nhất của tôi về việc trở thành một nhà toán học xảy ra ở cuối thời kỳ làm nghiên cứu sinh," anh nói. "Tôi tự hỏi, ‘Mình có thực sự muốn điều này không?’"

Lợi thế cá nhân

Trong thời gian làm nghiên cứu sinh, Tsimerman có hai tháng thực tập tại Jane Streer, một công ty tài chính định lượng hàng đầu, và làm việc bán thời gian tại một quỹ đầu tư khác. Nhưng sau vài tháng, rõ ràng là anh thích sự cởi mở của nghiên cứu toán học hơn.

"Tôi thích làm những dự án toán học dài hơi hơn. Chúng tự do hơn," anh nói.

Sau lần thử sức với tài chính, Tsimerman đối mặt với những hoài nghi dai dẳng về sự phù hợp của bản thân với công việc nghiên cứu. Tại Princeton, anh đã chứng tỏ mình có thể giải quyết các bài toán nghiên cứu, nhưng nhiều bài toán giúp định hình anh đến từ Sarnak. Tsimerman muốn chứng tỏ với bản thân rằng anh có thể tự lên kế hoạch nghiên cứu của mình.

Anh bắt đầu tìm kiếm những miền toán học mà những công cụ anh biết là lợi thế cạnh tranh. Với anh, di chuyển giữa các lĩnh vực khác nhau của toán học là một cách tìm ra những bài toán mà anh có những công cụ các nhà toán học trong lĩnh vực đó có thể không có.

Một khả năng là tập trung vào lý thuyết Hodge, một lĩnh vực tìm cách hiểu các không gian hình học bằng cách chuyển chúng sang những đối tượng giải tích, trong đó các nhà toán học có thể sử dụng các hàm, tích phân và những công cụ khác của giải tích.

Trong thập niên 1970, nhà toán học Philip Griffiths đặt ra một câu hỏi lớn: liệu có thể nhận ra những cấu trúc hình học ẩn bên trong các đối tượng được biểu diễn bằng ngôn ngữ giải tích hay không?

Câu hỏi này có nét tương đồng với giả thuyết André-Oort: trong cả hai trường hợp, các nhà toán học tìm kiếm một cấu trúc sâu hơn ẩn phía sau những gì họ quan sát được. Nghiên cứu bài toán này khiến anh trở nên thân thiết với Benjamin Bakker [5], một người bạn cùng thời nghiên cứu sinh.

"Anh ấy thiên về bên lý thuyết số, tôi thì thiên về hình học. Nhưng tất nhiên trong toán học, bạn có thể nối một điểm với một điểm bất kỳ khác, vì vậy sự khác biệt đó là ảo giác", Bakker, hiện là giáo sư tại Đại học Illinois, Chicago, nói.

Năm 2018, họ chứng minh giả thuyết Griffiths [6] và phát triển một bộ khung gọi là o-minimal GAGA, cung cấp cho các nhà toán học một cách mới để chứng minh rằng một không gian giải tích nào đó có cấu trúc đại số ẩn.

Sau nhiều năm khẳng định năng lực giải toán, giờ đây Tsimerman đã chứng tỏ rằng anh còn có thể tự mình xây dựng những cỗ máy toán học mới.

"Trong toán học, chúng tôi nói rằng có những người giải toán và có những người xây dựng lý thuyết," Sarnak nói. "Jacob là một người giải toán và là một người xây dựng lý thuyết; tôi khẳng định điều đó một cách rất chắc chắn."

Tập trung cho bài toán lớn

Năm 2021, Tsimerman, Pila, và Ananth Shankar [7] đăng một chứng minh đầy đủ cho giả thuyết André-Oort [8], kết thúc một hành trình dài tính từ lúc Tsimerman, khi đó còn là nghiên cứu sinh, bắt đầu nghiên cứu bài toán. Lúc này anh cũng đã đi sâu vào lý thuyết Hodge, nơi những công cụ anh giúp phát triển bắt đầu sinh ra những kết quả mới. Năm 2024, Tsimerman, Bakker và hai cộng sự khác chứng minh một định lý quan trọng về một số không gian sinh ra trong lý thuyết Hodge [9].

Kết quả này mang đến những giải thưởng. Tsimerman nhận giải Chân trời mới trong Toán học (New Horizons in Mathematics) 2022 và giải Ostrowski 2023. Khi anh bước vào giữa tuổi 30, và là chu kỳ cuối cùng anh còn đủ tiêu chuẩn nhận giải, Huy chương Fields không còn là một viễn cảnh xa vời.

"Tôi làm việc cật lực và hy sinh niềm vui thích để cố giành được nó," anh nói.

Anh ngừng làm các dự án phụ, "những thứ nho nhỏ thú vị" để dồn sức cho những đề tài mang tính chiều sâu và ảnh hưởng mà anh cho là quan trọng đối với những nhà toán học sẽ đánh giá các công trình của anh, trong đó có cả những thành viên Ủy ban Huy chương Fields.

Một trong những dự án đó là một bài báo viết chung với Arul Shankar [10], một nhà toán học tại Toronto, về "số hạng thứ cấp của hàm đếm của trường bậc 4." Tsimerman muốn hoàn thành nó từ lâu; tuy nhiên, dự án đòi hỏi một số chi tiết kỹ thuật dày đặc mà anh muốn né tránh. Nhưng với mục tiêu Huy chương Fields, anh cùng Shankar đã dành ra vài tháng thực hiện các tính toán, và kết quả được công bố vào tháng 8 năm 2025 [11].

Trong hai năm 2024 và 2025, Tsimerman đăng 11 bản thảo bài báo, trải rộng trên nhiều lĩnh vực, lên trang lưu trữ ArXiv. Và một tối thứ sáu vào tháng giêng 2026, anh nhận được email của Hiraku Nakajima, chủ tịch Hội Toán học Quốc tế, đề nghị sắp xếp một cuộc trò chuyện.

Tsimerman đánh thức vợ dậy, nói rằng anh nghĩ mình đã được Huy chương Fields, và thấp thỏm chờ đợi suốt cả hai ngày cuối tuần. Cuối cùng, sau cuộc gọi vào ngày thứ hai sau đó, Tsimerman, đã đi ra ngoài để tận hưởng tin vui.

"Tôi đi bộ một lúc trong khu rừng ở IAS để rũ bỏ nốt chút năng lượng lo âu còn lại và đón nhận nó," anh nói. "Thật dễ chịu."

Ngã rẽ AI

Anh được trao Huy chương Fields tại một thời khắc mà tương lai của toán học dường như bất định hơn bao giờ hết.

Mới chỉ năm 2025, trí tuệ nhân tạo (AI) vẫn còn vật lộn để giải được những bài toán ở trình độ thi học sinh giỏi phổ thông. Nhưng đầu năm 2026, các hệ thống AI bắt đầu đưa ra những kết quả ngày càng phức tạp. Đỉnh điểm của sự tiến bộ, tính đến lúc này*, là phản ví dụ được OpenAI đưa ra hồi tháng 5 để bác bỏ giả thuyết khoảng cách đơn vị, một kết quả được coi là đủ tốt để được đăng ở những tạp chí toán học hàng đầu [12].

Sự tiến bộ chóng mặt của khả năng làm toán của AI [13] xảy ra bất ngờ đến nỗi các nhà toán học không biết phải làm gì với nó. Một số vẫn hoài nghi về tính hiệu quả thực sự của AI trong nghiên cứu nghiêm túc. Những người khác, trong đó có Terry Tao, bắt đầu tưởng tượng nó như một trợ lý giàu năng lực [14], có thể giúp mở rộng những gì các nhà toán học con người làm được.

Tsimerman đã trở thành một trong những tiếng nói có ảnh hưởng nhất ủng hộ một quan điểm thứ ba. Nhìn vào quỹ đạo đồ thị đi lên dốc đứng của AI, anh nghĩ rằng tương lai của toán học đang lâm nguy.

"Tôi nghĩ trong vòng hai năm nữa, AI sẽ làm toán giỏi hơn các nhà toán học," anh nói.

Niềm tin đó đã thay đổi cách anh sử dụng thời gian của mình. Tsimerman đã ngừng nhận thêm nghiên cứu sinh, vì anh lo rằng nếu sinh viên bắt đầu một đề tài nghiên cứu truyền thống tại thời điểm này, họ có thể đang chuẩn bị cho một sự nghiệp toán học không tồn tại.

Tsimerman hiện dành ít thời gian hơn cho nghiên cứu toán học truyền thống. Thay vì tổ chức các hội thảo toán học, anh điều phối các sự kiện mà anh hy vọng sẽ giúp các nhà toán học chuẩn bị cho những thay đổi phía trước. Anh cũng chuyển trọng tâm nghiên cứu sang an toàn AI. Tsimerman nghĩ rằng các nhà toán học có nhiệm vụ hiểu được hành vi của các hệ tác tử AI, và đưa ra những chứng minh để đảm bảo rằng những hệ thống phức tạp đó không hành động theo những cách không mong muốn.

"Rủi ro là rất cao, những gì được đem ra đánh cược rất lớn, vì vậy chúng ta cần một mức đảm bảo cực kỳ cao," anh nói.

Ngoài những tác động đối với xã hội, bước tiến của AI cũng có những hệ quả rất riêng tư đối với Tsimerman. Anh vốn luôn yêu toán như một hoạt động giải quyết vấn đề, mà mục đích là trở thành người đầu tiên đưa ra câu trả lời. Nếu máy móc giải toán giỏi hơn tất cả con người, anh không chắc công việc đó còn đủ ý nghĩa để thu hút được anh cũng như các nhà toán học khác. Đầu tháng 5 năm 2026, anh bắt đầu dùng mạng xã hội X (Twitter cũ), và nói hẳn ra điều này [15].

"Với nhiều người, niềm vui lớn nhất khi làm toán đến từ việc giải các bài toán dưới một hình thức nào đó," anh viết. "Nếu nó biến mất, đó không phải là chuyện nhỏ, và nhiều người có thể không còn muốn làm toán nữa."

Nguyễn Hoàng Thạch dịch

* Bài viết này được đăng tháng 7 - 2026 chưa cập nhật những kết quả mới của AI về giả thuyết Jacobi và phương trình Navier-Stoke.