Chuyến tàu số và điểm đợi người về

Qua đình ngả nón trông đình
Đình bao nhiêu ngói thương mình bấy nhiêu.

Đếm là một thao tác trừu tượng hóa. Một viên ngói, một bông hoa, hay một ngày chờ đợi vốn rất khác nhau, nhưng khi đếm, ta gạt hết đặc điểm riêng của chúng sang một bên để giữ lại một điều duy nhất: "bao nhiêu". Có những thứ chẳng có gì chung, cho tới khi chúng được gọi là một. Tư duy trừu tượng bắt đầu từ đó: muốn thấy một cái chung thì phải học cách quên đi những cái riêng.

Trật tự và cục gạch

Dân gian có câu "thật thà như đếm" và số nguyên mang theo chút thật thà nguyên thủy ấy vào toán học. Một là một, hai là hai, từ một sang hai là một bước đi không chút do dự.

Nhưng người Việt cũng có cách đem sự rành mạch ấy vào những điều không dễ đo đếm. Trong câu ca dao đo tình bằng ngói, người xưa đã làm một việc rất duyên: đem sự thật thà của phép đếm đặt vào thứ ít chịu thật thà nhất với những con số, đó là tình yêu. Mái đình hẳn có một số ngói nhất định, nhưng người đang ngước nhìn ấy đâu có ý ngồi đếm cho xong. Đếm xong rồi, lấy gì mà thương thêm nữa.

Còn trong toán học, số nguyên có kỷ luật của một hàng người biết đợi chờ. Chúng đứng đều chằn chặn, mỗi con số cách số hàng xóm đúng một đơn vị. Một, hai, ba, ... cứ thế mà đi, không có số nào viện cớ mình đặc biệt để chen ngang lên trước.

Ở Việt Nam, từng có thời mà văn hoá xếp hàng đã được nâng lên tầng triết học. Khi đi xếp hàng, người ta mang theo một cục gạch. Vật thể này tuy không biết nói, nhưng có nhiều tác dụng, khi cần có thể thay ghế ngồi, khi có việc phải đi thì dùng để giữ chỗ. Có cục còn được cẩn thận ghi tên. Một hàng người, xen mấy cục gạch, cùng bình tĩnh đứng đợi trước một cửa hàng chưa mở, chính là hình ảnh cô đọng của tự do, bình đẳng và bác ái. Cục gạch không biết đòi, nhưng chính cái dáng nằm im phăng phắc của nó đã dõng dạc tuyên bố một chữ "trước".

Có thể gọi đấy là một cách "lượng tử hóa sự văn minh": một người, một lượt, một cục gạch. Bao nhiêu sốt ruột và nhẫn nại được đóng vào những đơn vị rời rạc.

Chen ngang và sẻ chia

Thế nhưng, đến một ngày, văn hoá xếp hàng của số nguyên bị xâm phạm bởi những kẻ lạ mặt gọi là phân số. Các phân số, còn gọi số hữu tỉ, không những hồn nhiên chen vào giữa các số nguyên, mà còn chen rất khỏe. Tức là, giữa hai số hữu tỉ bất kỳ luôn có một số hữu tỉ khác, chẳng hạn trung bình cộng của chúng. Toán học gọi sự chen chúc vô tận ấy là tính trù mật.

Hàng ngũ số nguyên đều chằn chặn ban đầu giờ bỗng đông lên một cách lạ lùng. Ta không thể chỉ vào một số hữu tỉ rồi hỏi ai là số đứng ngay sau nó, vì bất cứ ai vừa nhận mình là số kế tiếp cũng sẽ bị một số khác chen vào giữa. Được cái phép chen vẫn còn quy tắc trật tự về lớn nhỏ, thành ra chẳng ai phải to tiếng với ai. Cái trật tự ấy, toán học gọi là toàn phần, tức là hai số bất kỳ kiểu gì cũng vẫn so sánh được với nhau. Chỉ là cái khoảng cách dành riêng cho từng số giờ không còn nữa.

Dẫu mang tiếng chen ngang, những con số mới này lại có cái độ lượng của sẻ chia. Khi một bát cơm phải san đều cho hai đứa trẻ, hay một thửa ruộng phải chia đều cho bốn anh em, thì sự ngay ngắn của phép đếm bắt đầu lúng túng. Có những cái vơi cần thiết để chứa cái đầy, như Kiên Giang viết:

Đói lòng ăn nửa trái sim
Uống lưng bát nước đi tìm người thương

Không biết vì lẽ gì mà trong tiếng Việt, kết quả của phép chia được gọi là "thương", một chữ có thể dùng để nói cả phép toán lẫn tình người. Có lẽ vì thế, phân số dù vô tình chen ngang vào hàng ngũ các số nguyên mà vẫn không bị ai ghét.

Những khoảng trống trong thế giới số

Sự chen chúc của các số hữu tỉ ban đầu có vẻ đông vui thật, nhưng dần dà nảy ra một câu hỏi: khi các số có thể áp sát nhau đến vô hạn, điều gì khiến một số vẫn là chính nó chứ không lẫn vào hàng xóm? Chẳng hạn, mỗi số thực đều có thể biểu diễn dưới dạng thập phân, hữu hạn hoặc vô hạn. Thế nhưng số 1 vốn thật thà giờ bỗng có tới hai cách viết 1 = 1.000... = 0.999... mà cách nào cũng đúng.

Để hiểu được nghịch lý này, ta phải sử dụng hai khái niệm toán học là "khoảng cách" và "giới hạn". Khi ta viết dãy số 0.9, 0.99, 0.999,... thì mỗi số đều nhỏ hơn 1, nhưng khoảng cách tới 1 lần lượt là 0.1, 0.01, 0.001,..., muốn nhỏ hơn bao nhiêu cũng được miễn là đi đủ xa. Số thập phân vô hạn 0.999... được hiểu là giới hạn của dãy ấy. Bởi vậy nó không phải một số đứng nép sát bên 1, mà nó chính là 1, bởi không còn chỗ trống bí mật nào giữa hai bên để nhét thêm một con số khác vào. Đây là nghệ thuật của giải tích: chưa cần mở rộng hệ thống, mà thế giới các con số đã có vẻ lớn lên khi ta bắt đầu nhìn một số không chỉ như một vật đứng yên mà còn như một quá trình đang đi tới.

Với tính trù mật, có vẻ như các số hữu tỉ đã len vào mọi khoảng trống khéo tới mức đường thẳng trông chật kín, không còn chỗ cho ai đứng. Vậy mà một hình vuông mỗi cạnh dài một đơn vị lại sinh ra một đường chéo có độ dài √2, là số không thể viết thành tỉ số của hai số nguyên. Tương truyền điều này được chứng minh vào khoảng thế kỷ thứ 5 trước Công nguyên, và việc các phân số bất lực trong việc gọi tên một con số có vẻ đơn giản như √2 đã tạo ra một cuộc khủng hoảng triết học thời kỳ đó.

Như nhà viết kịch La Mã Terence từng viết một câu thoại nổi tiếng mà Marx thường trích lại "tôi là con người, và tôi nghĩ rằng không có gì thuộc về con người mà xa lạ với tôi", √2 không thuộc về thế giới hữu tỉ, nhưng nó cũng chẳng hề xa lạ với thế giới ấy. Từ khi biết phép khai căn, con người đã thấy rằng chúng ta vẫn có thể viết 1, 1.4, 1.41, 1.414, ... để tiến đến gần √2 tuỳ ý. Nhưng khác với 1=0.999..., lần này, hành trình lại dẫn đến một miền khác: những con số trên đường đi đều là phân số, còn điểm đến √2 thì không.

Đuổi theo những chữ số mãi rồi cũng mệt. Đến một ngày, ta muốn dừng lại và hỏi: nếu √2 thực sự có mặt, nó sẽ đứng ở đâu? Và rộng hơn, các số như √2 chỉ là một vài khuôn mặt mà lịch sử tình cờ nhớ tên, nhưng làm sao định danh tất cả những số vô tỉ khác? Ta chẳng thể đi nhặt mỗi con số thiếu rồi đắp vào từng lỗ trống như người đi vá đường, mà cần một nguyên tắc bảo đảm rằng sau khi thiết kế xong, không còn điểm đến nào bị lãng quên.

Thế đứng của người chưa có tên

Trong "Chiếc lư đồng mắt cua", Nguyễn Tuân kể về tình bạn với ông Thông Phu, một người lớn tuổi chủ một nhà hát ả đào. Hai người gặp nhau giữa cái thế giới của tiếng hát, chén rượu và đèn thuốc, rồi dần dà kết giao thành một đôi bạn vong niên. Thân thuộc đến mức mỗi khi khách tới, chủ nhà chỉ khẽ chào "kìa chú", rồi bày thêm một đôi đũa và một cái bát trên mâm cơm, ăn hay không mặc ý. Trong lối giao du ấy, người ít tuổi biết kính, còn người nhiều tuổi biết nhường. Nhường một chút trong lời ăn tiếng nói, nhường cả miếng lộc bổng chung, và sâu nhất là "nhường một cái thế đứng".

Để đứng được, thường thì ai cũng cần có một khoảng trống trong trời đất để đặt hai chân. Nhưng một cái "thế đứng" lại cần một khoảng trống lịch sự giữa người với người. Có những vị trí ta không giành lấy bằng cách chen ngang, mà hiện ra nhờ những người khác tự dịch sang hai phía.

Trong công trình năm 1872 về tính liên tục và số vô tỉ, Richard Dedekind đã xây dựng toàn bộ trục số thực với một ý tưởng gần như thế. Ông nhìn vào trật tự toàn phần của các số hữu tỉ và chia nó làm hai phía. Với √2, nếu chỉ nhìn phần dương của trục số, thì phía dưới gồm những số hữu tỉ có bình phương nhỏ hơn 2, và phía trên gồm những số hữu tỉ có bình phương lớn hơn 2. Mọi số ở phía dưới đều nhỏ hơn mọi số ở phía trên. Nhưng phía dưới không có ai đứng cao nhất, phía trên cũng không có ai đứng thấp nhất, và hai phía cứ áp sát vào nhau, không có số hữu tỉ nào ở chỗ phân chia.

Đây là một trò chơi toàn cục, vì mỗi lần tách như thế, mọi số hữu tỉ đều phải chọn bên. Không ai đứng ngoài thứ đang thành hình. Và mỗi lần phân chia, thì cả thế giới lại nhường ra một cái thế đứng. Người cần đứng ở đó chưa chắc đã có, nhưng họ chỉ còn thiếu một cục gạch của riêng mình. Dedekind gọi cục gạch đó là "lát cắt".

Chính xác hơn, mỗi "lát cắt" Dedekind là một sự phân chia toàn bộ hàng người thành hai phía. Người chưa có mặt, nhưng chỗ của họ đã được cả hàng giữ hộ. Nếu xem mỗi lát cắt là một địa chỉ, thì thế giới hữu tỉ hóa ra có khả năng nhớ chỗ ở của những người mà nó còn chưa biết tên.

Nghĩ lại, cục gạch trong hàng chờ cũng đâu tự giữ được chỗ. Cái chỗ đứng ấy được giữ trong cách cư xử của những người còn ở lại. Cục gạch làm cho lời hẹn có một hình hài, nhưng phải nhờ sự thừa nhận thầm lặng của cả hàng người thì hình hài ấy mới có nghĩa.

Người đi, chỗ vẫn còn

Nhưng không phải thế đứng nào cũng cần cả một hàng người thừa nhận. Có những chỗ chỉ cần giữ bởi một người, cho đúng một người. Trong "Ỷ Thiên Đồ Long Ký", Kim Dung viết rằng có lần Trương Vô Kỵ đi lang thang, không hiểu sao lại dừng bước trước quán rượu cũ gần Vạn An Tự, nơi từng đối ẩm với Triệu Mẫn. Thấy cửa quán khép hờ, bên trong im ắng, chàng chần chừ một chút, rồi đẩy cửa bước vào. Bên trong, chỉ thấy nơi góc phòng có một chiếc bàn vuông, có một người ngồi và hai bộ chén đũa. Ánh nến lay động, hóa ra người ấy chính là Triệu cô nương. Trong lúc Vô Kỵ bối rối, hỏi "Còn có người khác đến nữa sao?" thì Triệu Mẫn đỏ mặt đáp: "Không có. Hai lần trước ta và huynh ngồi uống rượu ở đây, huynh ngồi đối diện ta, cho nên..." Một cuộc gặp mặt từ hai phía của chữ không: nàng giữ chỗ cho một người có thể không đến, còn chàng đến mà không biết rằng mình đang nhớ.

Và cũng có những chỗ không còn đợi được người về, như khi Nguyễn Khuyến khóc Dương Khuê:

Rượu ngon không có bạn hiền
Không mua không phải không tiền không mua

Người bạn đã không còn trong đời ông, nhưng rượu không mua, thơ không viết, giường không hạ, tất cả vẫn xếp hàng quanh khoảng trống ấy. Thế đứng của một người hoá ra sống lâu hơn chính sự hiện diện của họ.

Những lát cắt của Dedekind không chỉ định danh được những chỗ trống, mà còn giúp xây dựng một trục số thực không còn lỗ hổng nào nữa. Toán học gọi đó là tính đầy đủ. Bất cứ dãy nào cứ tiến mãi về một hướng mà vẫn còn bị chặn, thì kiểu gì cũng có một điểm đứng đợi nó ở cuối con đường.

Nhưng đời người thì không như thế. Không phải ai cũng may mắn để cuối mỗi hành trình đều có một cái bàn vuông với hai bộ chén đũa đợi mình. Đôi khi có những thế đứng đã là cả hành trình, như Nguyễn Bính viết:

Có lần tôi thấy một người đi
Chẳng biết vì đâu, nghĩ ngợi gì
Chân bước hững hờ theo bóng lẻ
Một mình làm cả cuộc phân ly.