Trong bàn cờ tướng, xe thẳng - pháo cách - mã nhật - tượng điền, quân nào cũng có nhiều đường tiến thoái. Chỉ riêng con chốt (tốt) là không có số lùi. Khi chưa qua sông, nó chỉ có thể nhích từng bước một về phía trước. Qua sông rồi, nó có thêm quyền rẽ ngang, nhưng tuyệt nhiên vẫn không được quay đầu. Mỗi nước tiến lên của con chốt là một lời vĩnh biệt với tọa độ cũ, như Kinh Kha bước qua bờ Dịch thủy năm xưa:
Phong tiêu tiêu hề Dịch thủy hàn
Tráng sĩ nhất khứ hề bất phục hoàn
(Gió hiu hắt chừ sông Dịch lạnh
Tráng sĩ một đi chừ chẳng về)
Người đời thường thích làm xe, làm pháo, chứ ít ai muốn làm chốt. Có kẻ còn cho rằng con chốt qua sông như tiểu nhân đắc chí, ai cũng sợ, không phải vì nó anh hùng gì mà do nó im ỉm bất cần đời, sẵn sàng đổi mạng quân nào cũng xứng. Thậm chí có câu "cờ bí dí chốt", tức là khi cuộc chiến đang ở thế giằng co, mọi quân chủ lực phải nằm im chờ thời, thì con chốt được "ưu tiên" để đi nước thăm dò, lỡ bị ăn mất cũng không ảnh hưởng tới đại cục. Ấy thế mà trong giới cầm thi phương Nam, có cụ Dương Diên Hồng mê cái khí khái của quân cờ nhỏ bé ấy mà có thơ rằng:
Mặc kệ đời ai công hầu khanh tướng
Tôi xin làm chốt nhỏ chốn quan san.
Cái đạo của người chơi cờ xưa đối với con chốt cũng lắm công phu. Có cụ khi ăn quân của đối phương, nếu là xe, pháo, mã thì cầm quân mình gõ cái "cốp" lên đầu quân kia cho sướng tay, nhưng riêng khi ăn một con chốt đã qua sông thì không bao giờ gõ lên đầu nó, mà dùng hai ngón tay nhẹ nhàng nâng lên đặt sang bên cạnh, như sự kính trọng dành cho một kẻ sĩ đã hoàn thành sứ mệnh. Lại có người đã nắm tiên, chỉ vì không nỡ thí một con chốt biên đã lặn lội qua sông, mà đành chấp nhận một ván cờ hòa. Thắng thua là chuyện của một ván cờ, nhưng giữ cho một hành trình tận tụy không bị lãng quên lại là chuyện của tấm lòng.
Tranh "Noge and Yokohama ở tỉnh Musashi" của Utagawa Hiroshige. Nguồn: Wikicommons
Những hành trình một chiều
Trong toán học, có một thực thể cũng mang cái số phận chỉ tiến mà không ngoái lại như con chốt. Đó là những dãy đơn điệu: những dãy số mà số sau không bao giờ nhỏ hơn số trước (dãy tăng), hoặc ngược lại (dãy giảm). Các dãy số này có thể đi nhanh, đi chậm, cũng có lúc ngập ngừng đứng im, nhưng tuyệt đối không bao giờ quay đầu.
Đi một chiều cũng có nhiều kết cục. Dãy số tự nhiên 1, 2, 3, ... đi mãi về vô hạn, băng qua mọi ranh giới mà ánh mắt phàm trần của ta có thể với tới. Nhưng nếu một dãy tăng mà có một bức tường không thể vượt qua, toán học gọi là "bị chặn", thì câu chuyện lập tức đổi màu.
Một kẻ chỉ muốn tiến lên, lại bị giam trong một biên độ hữu hạn, thì rốt cuộc phải tụ lại ở đâu đó. Số phận ấy giống hệt con chốt trên bàn cờ: không được lùi, không được vượt qua mép bàn, thì đi mãi rồi cũng phải có điểm dừng.
Toán học phát biểu nhận định ấy thành mệnh đề: "một dãy tăng và bị chặn thì hội tụ". Mới nghe có vẻ hiển nhiên như 1+1=2. Thật ra 1+1=2 cũng không quá hiển nhiên khi bạn trót lỡ đọc sâu vào toán logic, nhưng đó là một câu chuyện khác. Câu về dãy số hội tụ thì nghiêm trọng hơn, vì cũng câu ấy nếu thả vào thế giới phân số thì sẽ tan thành một trò đùa cay đắng. Chẳng hạn, dãy 1, 1.4, 1.41, 1.414, ... toàn những số hữu tỉ, nhưng điểm giới hạn √2 của chúng lại không phải là phân số. Như một con chốt chạy bạc mặt đến cuối đường, để rồi ngơ ngác nhận ra chẳng có ô nào trên bàn cờ hữu tỉ đủ chỗ cho nó đứng.
Chính vì thế, câu khẳng định "tăng và bị chặn thì hội tụ" không hề hiển nhiên. Nó là một lời hứa danh dự của thế giới toán học với những kẻ kiên trì, rằng không có hành trình một chiều nào bị bỏ rơi. Toán học gọi lời cam kết ấy là tính đầy đủ. Và để thực hiện lời hứa ấy, các nhà toán học phải trải qua một giai đoạn khó khăn trong việc định nghĩa các số thực, để vá mọi lỗ hổng của các số hữu tỉ
Trong những năm 1860, Karl Weierstrass dùng chính những hành trình một chiều để dựng nên tòa nhà số thực. Ông không bận tâm con chốt sẽ dừng ở ô nào, mà lấy chính con đường nó đã đi làm tên cho điểm dừng. Trong hai cách xây dựng số thực của thời kỳ ấy, mỗi lần Dedekind phải hỏi cả hàng người để nhường ra một cái thế đứng, còn Weierstrass lấy chính bước chân độc hành của con chốt để điền vào chỗ trống.
Những kẻ lang thang
Trong cờ tướng, khi đã qua cái tầm "sạch nước cản", chẳng kỳ thủ nào dùng các quân khác trên bàn cờ theo kiểu một chiều bí bách như con chốt. Đã là xe, pháo, mã thì phải tung hoành ngang dọc, lúc tiến lúc lùi, có công có thủ, và có khi còn chơi kiểu nhập nhằng "nhất cách nhất chiếu" để vờn nhau. Liệu với các thực thể lang thang vô định như thế, hành trình của chúng có tụ vào một điểm?
Trên bàn cờ thực, lời giải nằm ở sự chật chội. Bàn cờ tướng chỉ có chín mươi giao điểm, nên một quân cờ chạy nhảy kiểu gì thì thế nào cũng phải giẫm lên một giao điểm nào đó vô số lần, đơn giản vì số chỗ thì có hạn mà số bước đi thì vô cùng. Toán học gọi sự lặp lại có phần căng thẳng đó bằng một cái tên rất hoà bình là "Nguyên lý chuồng bồ câu". Nó đảm bảo rằng mỗi hành trình vô hạn đều phải có một hành trình con lặp mãi ở một toạ độ.
Tranh "Trạm Oiwake: Phong cảnh Núi Asama" của Keisai Eisen. Nguồn: Wikicommons
Có điều, trên một đoạn thẳng thì không có chuyện lặp như thế, vì giữa hai điểm bất kỳ luôn có vô số điểm khác, và một kẻ lang thang có thể đi mãi mà không bao giờ giẫm lên một dấu chân cũ. Cũng như Heraclitus có quyền không tắm hai lần trên cùng một dòng sông. Thế nên sẽ có lúc mà những con số, cũng như bước chân ta, cứ lẩn thẩn giữa tiến và lùi, không hoàn toàn tăng mà cũng chẳng hoàn toàn giảm. Như Trịnh Công Sơn viết "Đi đâu loanh quanh cho đời mỏi mệt", có những dãy số cứ mãi dao động loanh quanh giữa âm và dương, chẳng thể nào tìm được "một cõi đi về".
Đến đây, Bolzano và Weierstrass tung ra một bổ đề đáng kinh ngạc: mọi dãy số đều giấu trong lòng nó một dãy con đơn điệu. Cứ hình dung một người leo núi, mỗi lần lên được một đỉnh cao thì khi nhìn xuống sẽ thấy phía trước mặt toàn đồi dốc thấp hơn chỗ mình đang đứng. Nhìn xa mãi về toàn bộ con đường phía trước, người ấy chợt nhận ra chỉ có hai khả năng: hoặc là có vô số "đỉnh" như thế, thì nối các đỉnh đó lại sẽ được một con đường riêng toàn đi xuống; hoặc là chỉ có hữu hạn "đỉnh", thì sau đỉnh cuối cùng hễ đứng ở đâu cũng sẽ tìm được một bước không thấp hơn trên đường đi tới. Đằng nào thì cũng sẽ tìm được một dãy con chỉ tiến về một phía, kể cả khi dãy số ban đầu vốn bị chặn hay chạy mãi ra xa.
Hoá ra kẻ lang thang nào cũng giấu trong mình một con chốt. Khi con chốt ấy bị kìm hãm trong một bức tường hữu hạn, thì theo tinh thần của Weierstrass, những bước chân của nó buộc phải tụ lại ở đâu đó. Toán học gọi đặc tính ấy là tính compact: trong một khoảng trời chật chội, dẫu anh có lang thang hỗn độn thế nào, cuộc đời cũng sẽ để dành riêng cho anh một hành trình con và một chỗ để về tụ tập.
Cái sự tụ tập đó phụ thuộc vào một từ khóa tiên quyết là "bị chặn". Nếu bỏ đi cái bức tường biên giới, thì các dãy số như 1, 2, 3 ... có thể chạy rông bạt mạng vào không gian vô tận, thậm chí mọi dãy con còn chạy nhanh hơn dãy gốc. Những kẻ bỏ xứ ra đi kiểu đó, toán học gọi là dãy phân kỳ, nghe như những cuộc tình trôi nổi không bến đỗ, hay những chí trai lang bạt kỳ hồ như trong thơ Nguyễn Bính:
Hắn đã lên rừng nghe vượn hót?
Hay vừa xuống biển ngắm giăng lên?
Ngựa quên gốc liễu, đò quên bến
Hắn nhớ thương chăng tới mẹ hiền?
Điểm hẹn ở vô cùng
Không biết có phải vì cảm thương những kẻ lang thang ấy, mà năm 1924, Pavel Alexandroff nghĩ ra một kỹ thuật gọi là "compact hoá". Ông nhét thêm vào đường thẳng thực một điểm trắc ẩn tên là "vô cực" (ký hiệu ∞), để đảm bảo tất cả những dãy chạy ra vô hạn phải quy tụ về một mối. Đường thẳng vốn dĩ dài lê thê và hở hai đầu, nay như được buộc túm lại thành một vòng tròn kín đáo. Trên vòng tròn ấy, mọi dãy số rốt cuộc cũng có một hành trình con và một quán trọ đợi mình ở đâu đó, đôi khi ở tận đường chân trời.
Nhìn đôi thanh ray tàu hỏa nằm phơi dưới nắng chiều, những người tin vào hình học Euclid sẽ bảo rằng chúng vốn song song nên muôn đời muôn kiếp cũng không bao giờ chạm mặt. Nhưng con mắt đa tình của kẻ lữ khách đứng giữa hai đường ray lại thấy chúng chụm lại làm một ở đường chân trời. Từ thế kỷ mười bảy, các nhà toán học xạ ảnh đã quyết định chiều lòng con mắt ấy: họ thêm vào mặt phẳng những "điểm ở vô cùng", để mỗi cặp đường thẳng song song cuối cùng cũng được phép nắm tay nhau. Việc thêm một điểm hẹn ở vô cùng, cũng như phép compact hóa, giống hệt việc ta thắp một ngọn đèn mờ ở tít cuối phố, không phải để thay thế ánh trăng, mà để những tâm hồn lưu lạc vẫn có một điểm chung để hướng về, vẫn có quyền hứa với nhau một lời có nghĩa.
Trong "Hai đứa trẻ" của Thạch Lam, giữa cái phố huyện nghèo tối mênh mông, nơi cuộc sống cứ lặp đi lặp lại trong một miền hữu hạn, hai chị em Liên vẫn cố thức mỗi đêm chỉ để đợi một chuyến tàu. Con tàu đến từ một thế giới rực rỡ ánh sáng, rầm rộ lướt qua trong chốc lát, để lại những đốm than đỏ bay tung trên đường sắt, rồi chiếc đèn xanh treo trên toa sau cùng cứ chìm xa xa mãi. Ngay cả hôm tàu không đông như mọi khi, chỉ riêng việc nó từ Hà Nội về cũng đã đủ cho những tâm hồn trẻ thơ mơ tưởng. Con tàu đêm ấy chính là cái điểm ở vô cùng được mang về đặt ngay trước mắt, để nối hai thanh ray lạnh lẽo của hiện tại với một chân trời hi vọng ở phía xa xôi.
Tranh "Chiều mát bên cầu Ryōgoku, dưới bóng thông Shub" của Utagawa Hiroshige
Nhưng nào chỉ có người ở nơi phố huyện mới mang một nỗi đợi chờ. Ngay giữa đô thị phồn hoa, cũng đầy những kẻ xa xứ cả đời bận rộn trăm công ngàn việc, để rồi thỉnh thoảng ngồi ngẫm lại mới thấy mình như khách trên những chuyến tàu đêm, đi qua hết sân ga này đến nhà ga khác mà không biết nơi nào mới thực sự là chốn trở về. Đôi khi dáng điệu vội vã chỉ là một cách thở dài, như thể mỗi cuộc gặp gỡ đều là một lời tạm biệt chưa kịp nói thành câu. Nếu toán học luôn cặm cụi tìm điểm tụ trong những hành trình hỗn độn, thì đời sống vốn có vô vàn cuộc gặp chỉ tồn tại trong khoảnh khắc.
Bến khuya vắng con tàu về muộn
Đèn đỏ trôi trong mắt ai buồn
Ô kính mỏng mượn từng khuôn mặt
Hiện rồi tan như giọt mưa tuôn.
Hành trình và điểm đến
Trong cờ vua phương Tây, con tốt khi đi đến cuối bàn cờ thì được "phong hậu", trở thành quân cờ quyền lực nhất. Còn trong cờ tướng phương Đông, con chốt đi đến cùng trời cuối đất thì vẫn chỉ là con chốt. Đó là một thứ nghĩa khí giấu mình dưới lớp vỏ bất cần. Con chốt lầm lũi tiến lên vì sứ mệnh của mình, chứ đâu màng chuyện hóa thân thành ai khác.
Toán học cũng không "phong hậu" cho mọi hành trình, mà chỉ mở rộng thế giới để không hành trình nào bị bỏ lại trong hư vô. Một quán trọ chỉ cần giản dị trao cho người lữ khách một chỗ nghỉ chân, chứ đâu cần tiện nghi của một lâu đài. Trong một không gian được làm đầy bằng lòng trắc ẩn, có những cuộc đời không được hứa hẹn hai chữ "thành công", nhưng mỗi bước chân của con chốt qua sông đều không hoài phí.
Giữa quảng trường Piazza Santa Maria Novella ở Florence nước Ý có khắc câu nói "Every step I have taken in my life has led me here", nghĩa là mỗi bước chân trong cuộc đời đều đã đưa tôi đến đây. Câu ấy gợi lại cách nhìn của Weierstrass, khi cái đích và hành trình dường như tuy hai nhưng là một.
Chỉ là đời người không giống như một dãy số hay con chốt, vì ở mỗi bước đi ta có một thứ quyền, gọi là lựa chọn. Lịch sử của ta được ghi bằng những nơi đã đến, nhưng con người ta cũng được hình thành bởi những chuyến tàu đã quyết định không lên. Hành trình và điểm đến, tuy không phải hai, cũng không còn là một.
Thành ra, trên đường ray của cuộc đời, không có gì lạ khi người ta phải không ngừng tính toán xem phải lên chuyến tàu nào cho kịp giờ, xuống ở ga nào để nhận lấy phần danh vọng. Ngay Nguyễn Công Trứ, với cái ngạo nghễ "Sẵn tấm mo bưng miệng thế gian", cũng từng lập ngôn:
Đã mang tiếng ở trong trời đất
Phải có danh gì với núi sông.
Nhưng cũng có người chọn cách thản nhiên nhìn những chuyến tàu qua, như Kiên Giang:
Đôi con đường sắt song song
Chạy về một hướng mà không giao đầu
...
Đời ta lỡ mấy chuyến tàu
Vì chưng vứt bỏ công hầu sau lưng.
Lỡ một chuyến tàu thường là chuyện đáng tiếc, nhưng "lỡ mấy chuyến tàu" thì lại là sự lựa chọn. Có những người không bị lỡ tàu vì chậm chân, mà vì chuyến tàu họ muốn đi đã không chịu dừng ở những ga cũ nữa.