Con người trên mặt phẳng: Tọa độ và cái tôi

Tồn tại có lẽ là một trong những trăn trở dai dẳng nhất của con người. Shakespeare đã từng đặt cả sức nặng của kiếp người vào một câu hỏi lơ lửng ám ảnh văn chương bao thế kỷ: "Tồn tại hay không tồn tại". Nhưng những người làm Toán lại thỉnh thoảng nói đùa rằng các định lý tồn tại thường là những định lý "vô dụng" nhất: chúng chỉ khẳng định rằng có một thứ gì đó, nhưng không chỉ cho ta biết nó nằm ở đâu hay làm cách nào để tìm ra.

Ví dụ kinh điển cho sự mù mờ này là Tiên đề chọn. Phát biểu của nó nghe rất hiển nhiên, thậm chí có phần ngây thơ: Cho một họ vô hạn các giỏ cam, ta luôn có quyền nhặt ra từ mỗi giỏ một quả cam để tạo thành một bộ sưu tập mới. Tiên đề này cho phép chỉ ra sự tồn tại của một tập hợp "các quả cam được chọn" để đại diện cho các giỏ, nhưng nó không đưa ra bất cứ quy tắc cụ thể nào để thực hiện hành động chọn ấy. Ta biết nó có ở đó, nhưng ta không thể chạm vào, không thể xây dựng, không thể gọi tên. Sự bí hiểm này vừa lãng mạn vừa khó chịu, thậm chí có hai trường phái: những người chấp nhận tiên đề chọn, và những người từ chối nó.

Nếu như Tiên đề chọn có vẻ ngoài hiền lành, thì nó có một đứa con ngỗ ngược là nghịch lý Banach-Tarski: từ một quả cầu trong không gian ba chiều, chúng ta có thể phân rã thành một số hữu hạn các mảnh, sao cho sau khi xoay chuyển rồi ráp lại, ta nhận được hai quả cầu giống hệt quả cầu ban đầu. Khả năng "nhân bản vô tính" trong nghịch lý trên xuất phát từ việc tồn tại các tập hợp "không đo được".

Nếu như hình học cổ đại bắt đầu từ việc đo đạc đất đai, thì trong toán học hiện đại, câu hỏi đầu tiên trong lý thuyết độ đo không phải là "dài bao nhiêu" mà là "có đo được không". Tức là cho trước một hình, liệu ta có thể gán cho nó một con số đại diện cho độ dài, diện tích hay thể tích? Khác với trực giác thông thường rằng mọi hình dạng kiến tạo từ không gian đều phải có "kích thước", các nhà Toán học cho phép mình nghi ngờ: phép đo chỉ có ý nghĩa khi "kích thước" ấy tồn tại.

Một hệ quả vừa kỳ diệu vừa rắc rối của Tiên đề chọn là việc tồn tại những tập hợp "không đo được" (theo nghĩa Lebesgue). Tức là có những hình thù kỳ quái đến mức mọi cái thước của loài người đều bất lực, không thể gán cho nó một con số nào mà không gây ra mâu thuẫn logic.

Hóa ra, sự tồn tại của cái này có thể chính là sự phủ định cho sự tồn tại của cái khác. Mỗi sự tồn tại, vì thế, không phải là một món quà miễn phí mà là một sự đánh đổi. Chúng không "vô dụng", vì ít ra mỗi sự tồn tại đều mang một sứ mệnh kín đáo: xóa tan một sự nghi ngờ.

Nhưng có một kiểu tồn tại rất lạ: tồn tại nhờ bị nghi ngờ. Descartes được gọi là "cha đẻ của triết học hiện đại" vì ông dám làm một động tác cực đoan: nghi ngờ đến tận cùng. Nghi ngờ giác quan bản thân, nghi ngờ thế giới vật chất, nghi ngờ tất cả những điều người ta vẫn gọi là hiển nhiên. Nhưng khi mọi thứ có thể bị nghi ngờ, ông giữ lại đúng một điều không thể nghi ngờ: chính việc mình đang nghi ngờ. Vì nghi ngờ là biểu hiện lành mạnh nhất của tư duy, nên từ đó bật ra câu triết nổi tiếng "Tôi nghi ngờ, nên tôi tồn tại - cũng chính là - Tôi tư duy, nên tôi tồn tại". Nghe như một bản tuyên ngôn của cái tôi, nhưng nếu đọc theo đúng nhịp của nó thì lại giống một phép định vị: giữa đêm tối, ông châm một que diêm, và que diêm ấy tự chứng minh rằng lửa đang cháy.

Định danh sự tồn tại...

Descartes không chỉ là triết gia mà còn là một nhà toán học. Cái que diêm thứ hai ông châm lên cho nhân loại có tên là hệ tọa độ: trong mặt phẳng hai chiều, nếu ta chọn một điểm làm gốc, rồi dựng hai trục vuông góc, thì mọi điểm đều được mô tả bằng một cặp số thực (x, y). Nói cách khác, mỗi vị trí trên mặt phẳng đều có thể "đặt tên" bằng hai con số. Đây là một bước ngoặt lớn, một cú hợp nhất giữa hình dạng (hình học) và phép đo (đại số). Từ đó hình dạng trở thành phương trình, đường cong trở thành dữ liệu, khiến cơ học Newton trở nên tường minh, thuyết tương đối của Einstein có thể "tính được", và dẫn tới vô số thứ chúng ta vẫn dùng hàng ngày như đồ họa máy tính hay GPS.

Tọa độ là một cách để định danh sự tồn tại. Không có hệ tọa độ, thì vẫn có bầu trời, vẫn có gió, vẫn có tiếng dế gáy trong đêm. Nhưng khi ta chọn một gốc, dựng một trục, thì thế giới bỗng trở nên rõ ràng tới mức có thể mô tả bằng những câu như "điểm này ở đây", "vật kia ở đó", "ta đang tiến về phía trước", hay "ta đang rẽ ngang 45 độ". Đó là cách trí tuệ dùng cái hữu hạn của ký hiệu để chạm vào cái vô hạn của kinh nghiệm.

Và nếu như tồn tại cần một điểm neo để nói, thì tọa độ cần một điểm neo để đo, và cả hai gặp nhau ở cùng một thao tác: chọn gốc. Và chính từ đây, cái "tôi" trong mỗi chúng ta học được một thói quen vừa tiện vừa nguy hiểm: lấy mình làm gốc tọa độ của mọi chuyện.

...trong mặt phẳng nhân gian

Chúng ta có thể tưởng tượng "mặt phẳng nhân gian" như một mặt phẳng vô tận, chứa mọi người, mọi sinh vật, và cả tự nhiên. Mỗi người là một điểm, mang một tọa độ riêng, với tên gọi, hình dáng, ký ức, niềm tin, tình cảm ... Khi sinh ra, điểm ấy bắt đầu dao động và vẽ ra một quỹ đạo độc nhất trên bản đồ chung. Có quỹ đạo thẳng, có quỹ đạo cong, có đoạn đứt rồi nối, có đoạn tưởng đang tiến nhưng thực ra đang đứng yên, có đoạn tưởng như đứng yên nhưng lại đang âm thầm đổi hướng.

Việc chọn một hệ tọa độ và sống trong nó không phải là vấn đề. Vấn đề là khi ta sống quá lâu trong một hệ tọa độ, ta thường quên rằng cái gốc chỉ là quy ước. Ta vô thức đóng cọc gốc tọa độ vào chính mình, rồi đo cả thế giới bằng khoảng cách tới cái cọc ấy. Từ đó, thế giới méo đi mà ta không hay: mọi sự việc đều bị quy chiếu về các thái cực lợi - hại, đúng - sai, yêu - ghét của cái "tôi". Ta gọi đó là "quan điểm", nhưng kỳ thực nó chỉ là giới hạn của một "hệ trục". Khi ảnh hưởng của hệ trục quá nặng, mặt phẳng nhân gian không còn phẳng nữa: nó cong theo nhu cầu của cái "tôi", và ta gọi cái cong ấy là "thế giới". Nhưng biết đâu, khi ta tưởng mình đang giữ một quan điểm riêng cho bản thân, thật ra cũng chỉ là đang giữ hộ cho một hệ trục nào đó.

Bản chất hình học và bất biến

Trong toán học, có một thứ giúp ta không bị các hệ tọa độ thôi miên, đó là bất biến. Bất biến là những tính chất vẫn giữ nguyên khi ta đổi cách nhìn hay đổi hệ tọa độ. Chẳng hạn, một đường thẳng trong mặt phẳng có thể biểu diễn bằng nhiều phương trình khác nhau, phụ thuộc vào cách ta chọn gốc và hai trục tung hoành[1]. Đường thẳng không đổi, chỉ có biểu diễn tọa độ thay đổi. Cái bất biến không nằm ở phương trình, mà nằm ở quan hệ hình học: thẳng là thẳng, song song là song song. Trong đời sống, nhiều "sự thật" mà chúng ta cãi nhau quyết liệt đôi khi cũng chỉ là những phương trình khác nhau trong các hệ tọa độ riêng, còn cái bất biến thật sự thì đang nằm ở một tầng khác, im lặng mỉm cười.

Bất biến không chỉ tìm thấy trong tập hợp các điểm đứng yên, mà ở tầng sâu hơn còn nằm trong cách chúng chuyển động và tương tác với nhau. Hình học phẳng của Euclid được xây dựng bằng năm tiên đề, trong đó tiên đề thứ năm về đường song song là thứ thường gây tranh cãi nhất, cũng chính là thứ đã làm mặt phẳng "phẳng" theo nghĩa sâu nhất. Theo tiên đề này, qua một điểm x nằm ngoài một đường thẳng L, ta chỉ vẽ được đúng một đường thẳng song song với L. Đường ấy là dấu vết của một phép tịnh tiến, khi ta kéo x đi mãi theo hướng của L với độ dài tùy ý. Hơn nữa, mặt phẳng Euclid bất biến theo tịnh tiến: nếu ta dời cả thế giới đi cùng một phép tịnh tiến ứng với một vector cho trước, thì khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ không đổi. Hóa ra "đứng ở đâu" không quan trọng bằng "đứng với nhau như thế nào". Trong cách nhìn này, mỗi điểm đều có thể làm gốc, và do đó đều bình đẳng.

Nhưng ngay cả "khoảng cách" cũng không phải là một chân lý độc nhất. Ở đường thẳng một chiều, khoảng cách giữa hai số thực từ x đến y có thể đo bằng khoảng cách |x-y|, có vẻ tự nhiên đến mức không cần bàn cãi. Tuy nhiên, khi sang hai chiều thì cách đo không còn hiển nhiên. Khoảng cách quen thuộc nhất giữa hai điểm là khoảng cách Euclid, chính là cách đo bằng đường chim bay. Nhưng nếu ta phải chạy xe dọc theo các đường phố vuông vức trong đô thị, thì khoảng cách Manhattan,[2] còn gọi là khoảng cách "xe taxi" lại phù hợp hơn. Điều thú vị là "hình tròn Manhattan" chính là "hình vuông Euclid" xoay 45 độ. Hoá ra tròn hay vuông không nằm trong vật, mà nằm trong cái thước ta cầm.

Và rồi chính tiên đề thứ năm của Euclid cũng không phải lúc nào cũng đúng. Có những thế giới mà qua một điểm ngoài một đường thẳng, không có đường nào song song, hoặc có vô số đường song song với đường thẳng đó. Chẳng hạn như trên mặt cầu thì không gian bị bó hẹp tới mức mọi "đường tròn lớn" (tức các đường thẳng trong không gian này) cuối cùng cũng buộc phải gặp nhau, còn trong hình học hyperbolic thì không gian loe rộng tới mức càng đi càng thấy có vô vàn cách lướt qua nhau mà vĩnh viễn không chạm mặt. Cái ta gọi là trực giác phẳng chỉ là một trường hợp của nhiều hình học, và cái nền phẳng đó không phải là định mệnh mà chỉ là một lựa chọn mô hình.

Đổi hệ tọa độ

Nếu như trong hình học Euclid, sân khấu mặt phẳng cho phép chúng ta chọn một hệ tọa độ toàn cục và viết mọi thứ bằng cùng một thước đo, thì trong hình học vi phân các đối tượng chính không còn là những mặt phẳng nữa. Chúng là những đa tạp nhìn gần thì như phẳng, nhưng nhìn xa lại cong, và quan trọng nhất là không nhất thiết có một hệ tọa độ toàn cục có thể "trùm" được lên tất cả mà không "rách". Khi đó, ta phải dùng các "bản đồ địa phương", mỗi bản đồ chiếu một vùng nhỏ của đa tạp vào mặt phẳng Euclid, với hi vọng là khi ráp lại thì sẽ đủ để ta tính toán. Cách "dán" các bản đồ địa phương khớp với nhau là cả một nghệ thuật, trong đó chúng ta phải "đổi hệ tọa độ" liên tục để đi từ vùng này tới vùng kia một cách nhất quán. Về mặt toán học, nó yêu cầu phải tôn trọng ý tưởng bất biến cốt lõi là chúng ta chỉ đổi cách gọi tên từng điểm, nhưng không đổi bản chất của điểm. Nói cách khác, đổi trục chỉ là trò chơi của những cái tên, còn bản chất hình học của đa tạp, tức là cái "thật" cốt lõi, chính là những thứ lặng lẽ không chịu đổi tên.

Trong lịch sử nhận thức của nhân loại, cú "đổi trục" táo bạo nhất có lẽ là thuyết Nhật tâm. Suốt hàng ngàn năm, con người tin rằng Trái đất là cái rốn của vũ trụ, là gốc tọa độ bất di bất dịch mà cả bầu trời phải quay quanh. Copernicus đã làm một việc động trời là bứng cái gốc ấy nhét thẳng vào Mặt trời. Chính việc dám gạt bỏ cái tôi của loài người (rằng mình là trung tâm) để chấp nhận vị trí của một hành tinh bình thường đã giúp việc tính toán quỹ đạo các hành tinh, vốn cực kỳ rắc rối trong thuyết Địa tâm của Ptolemy, trở nên đơn giản và hài hòa đến kinh ngạc.

Chính từ tư duy cởi mở ấy, Galileo đã đặt nền móng cho khái niệm "tương đối". Ông nhận ra rằng "đứng yên" hay "chuyển động" thực chất chỉ là hai mặt của một đồng xu, tùy thuộc vào việc ta đang đứng trên bờ hay ngồi trong khoang thuyền. Điều này được cụ thể hóa trong cách Galileo nhìn thế giới: nếu một hệ quy chiếu chuyển động với vận tốc $v$ so với hệ kia, thì tọa độ không gian chỉ đơn giản là trượt đi một đoạn $vt$, tức là $x' = x - vt$, trong khi thời gian vẫn trôi như nhau ở cả hai nơi. Trên nền tảng không-thời gian ấy, Newton đã xây dựng hoàn chỉnh cơ học cổ điển, trong đó tọa độ có thể khác nhau tùy người quan sát, nhưng gia tốc và lực - những nguyên nhân cốt lõi của chuyển động - là những đại lượng không đổi. Một lần nữa, việc chọn hệ quy chiếu không làm thay đổi bản chất thế giới, nhưng việc chọn đúng cách nhìn giúp ta thấy được vẻ đẹp các quy luật một cách rõ hơn.

Trong vật lý hiện đại, ý niệm "bất biến khi đổi tọa độ" được Einstein đẩy lên tới đỉnh cao để xây dựng thuyết tương đối hẹp, với hai tiên đề cơ bản: các định luật vật lý phải như nhau trong mọi hệ quy chiếu quán tính, và ánh sáng luôn "chạy" nhanh với một tốc độ cố định, độc lập với người quan sát. Nếu vẫn giữ cách hiểu cũ (không gian và thời gian tách rời), thì hai điều này không thể cùng đúng. Do đó, ta buộc phải thay cách đổi tọa độ quen thuộc bằng một cách đổi mới, gọi là phép biến đổi Lorentz, ở đó không-thời gian phụ thuộc nhau và cùng thay đổi theo người quan sát[3].

Trong biến đổi Lorentz thì biến thời gian của người này phụ thuộc vào biến vị trí của người kia, nói nôm na là "không gian của tôi chui vào thời gian của anh". Điều này đảm bảo rằng nếu hai người quan sát chuyển động thẳng đều tương đối với nhau, thì họ vẫn có khả năng nói về cùng một thực tại, tức là cái gì đã xảy ra, bởi không-thời gian của họ đã bị "trộn lẫn" vào nhau về mặt cấu trúc. Như vậy trong sân khấu tương đối, cái "thật" một lần nữa không nằm ở tọa độ, mà nằm ở những đại lượng bất biến ẩn sâu bên dưới mà các hệ tọa độ chỉ đang cố gắng biểu diễn. Ở đây, "tương đối" không còn là một lựa chọn cảm xúc, mà là một ràng buộc cứng về mặt vật lý.

Khi cái tôi làm chuẩn

Tóm lại, cả toán học tốt và vật lý tốt đều là những thứ không đổi khi ta đổi hệ quy chiếu. Tâm lý tốt cũng thế. Khi một người cứ khăng khăng rằng chỉ có hệ trục của mình mới "đúng", người ấy đang làm điều ngược lại. Thật ra một người đứng ở đâu không đáng sợ, đáng sợ là đứng đâu cũng bắt người khác đứng theo mình.

Có một câu chuyện ngụ ngôn kể rằng có một cậu bé vẽ rất xấu, nhưng có một ngày, nhờ một điều ước mà cậu đã khiến cả thế giới phải xem nét vẽ của mình là chuẩn mực. Thế là cậu lập tức thành "danh hoạ", đến mức nhiều hoạ sĩ hàng đầu khi nhìn bức tranh nguệch ngoạc của cậu cũng phải bật khóc vì xúc động trước kiệt tác. Có điều lúc về nhà, cậu thấy cây cột điện trước ngõ không thẳng mà cong vẹo, vô nhà thì thấy cái ấm nước bỗng méo mó, cái vòi bị vặn vẹo không ra hình thù. Khổ hơn là cô bạn xinh xắn mà cậu thầm thương trộm nhớ bỗng bị xem là kẻ xấu xí, còn ngược lại những cô gái được tôn vinh là "hoa hậu" lại có khuôn mặt lệch lạc y hệt những nét vẽ của cậu. Hoá ra, vì lấy năng lực thẩm mĩ của cậu làm gốc, nên khái niệm "đẹp" đã bị bẻ cong không thương tiếc. Bi kịch không nằm ở chỗ cậu vẽ xấu, mà ở quyền lực bắt cả thế giới phải xấu theo mình. Cuối cùng, chính cậu cũng không chịu nổi cái chuẩn do mình đặt ra, đành ước cho mọi thứ trở lại ban đầu.

Câu chuyện trẻ con ấy chạm đúng vào bệnh người lớn. Ta không khổ vì mình có một hệ trục. Ta khổ vì ta muốn biến hệ trục của mình thành hệ trục của thiên hạ. Và khi cái tôi làm chuẩn, thế giới sẽ cong, trước khi ta kịp nhận ra chính mình cũng khó sống trong thế giới cong đó.

Khi cái gốc chỉ là quy ước

Có lẽ sự thoải mái chân thật khởi sinh khi ta hiểu rằng trong mọi chuyện, cái gốc nhiều khi chỉ là một quy ước. Không có định mệnh nào buộc ta phải làm gốc của mặt phẳng nhân gian. Khi hiểu rằng bất kỳ điểm nào cũng có thể làm gốc, ta chạm vào sự bình đẳng một cách tự nhiên, không cần một mệnh lệnh đạo đức nào. Khi đó, cái tôi không chết, mà ngược lại nó được tự do dành trọn thời gian để sống, vì không còn lo sợ phải bảo vệ đặc quyền "làm gốc" của chính mình.

Tồn tại, xét cho cùng, không phải là một điểm đứng yên trong không gian, mà là một cấu trúc đứng vững qua các phép đổi. Một con người trưởng thành không phải là người giữ chặt một bản ngã, một cách nhìn, mà là người đổi hệ tọa độ nhiều lần mà vẫn giữ được cái tâm bất biến. Cách nhìn này cũng khiến chúng ta bao dung hơn với khiếm khuyết, vì giống như trong hình học vi phân, không ai có thể có cái nhìn toàn cục ở mọi chuyện mà không làm "rách" bản đồ, nên chúng ta buộc phải sống với các mảnh nhìn cục bộ và chấp nhận sự méo mó ở các điểm nối. Giới hạn nhận thức là một đặc tính topo, không cần sửa chữa, chỉ cần chấp nhận. Tức là biết buông các hệ tọa độ khi cần thiết. Có những que diêm rất ấm áp trong đêm, nhưng không cần giữ mãi khi trời đã sáng.

Hàng đêm, khi ta nhìn lên bầu trời, nếu thời tiết đủ quang đãng thì sẽ thấy một kiểu tọa độ khác. Có những vì sao ta nhìn thấy đã không còn nữa, nhưng ta vẫn thấy chúng vì ánh sáng phải vượt những khoảng không thăm thẳm để tới được mắt ta. Với phần lớn các ngôi sao trong dải Ngân Hà của chúng ta, độ trễ ấy cũng thường kéo dài hàng nghìn tới hàng vạn năm, gần như chạm vào cái vô hạn nếu so với một đời người. Bởi vậy ta vẫn xem các ngôi sao như đang tồn tại vĩnh viễn trên lưới trời như những người bạn tri giao. Các nhà thiên văn học tin rằng khi đọc được ánh sáng từ các vì sao, chúng ta sẽ biết thêm vô số thứ về lịch sử vũ trụ. Những người đi lạc trong rừng tin rằng nhìn theo các ngôi sao, họ sẽ tìm được đường về nhà.

Nhưng điều thú vị là bản thân các ngôi sao không biết tọa độ của mình, không biết mình đang dẫn đường cho ai, không biết "nhà" là gì. Nó chỉ phát sáng hết mình, rồi để ánh sáng tự do đi qua mọi nẻo đường, đi mãi kể cả khi ngôi sao đã tắt. Hóa ra có một thứ vừa sáng vừa tàn, vừa minh triết vừa lạnh lùng, vừa là dấu chấm nhỏ trong không gian lại vừa là bức thư vô tận của thời gian. Ở đâu đó, liệu chúng ta có đang loay hoay trong bức tranh đối ngẫu: khi ta cố định vị mình bằng đủ loại tọa độ, dường như ta đang quên mất khả năng "phát sáng" của tự do.

Sao

Sao gửi bức thư xưa
Mực sáng như ánh lửa
Ta đọc dòng ký ức
Chữ viết bằng tàn phai

Sao dẫn đường kẻ lạc
Nhưng nhà sao nơi đâu?
Ai ghim từng vị trí
Trên lưới trời đêm thâu?

Ta là một ẩn số
Trên bản đồ tương lai
Càng nhớ về tọa độ
Càng quên mình là ai

Lão Tử từng mô tả quy luật vận hành của Đạo là "châu hành nhi bất đãi" (chuyển dịch không ngưng trệ). Đặt vào ngôn ngữ tọa độ, có thể hiểu rằng tự nhiên vốn luôn biết cách tự cân bằng nhờ một phép đổi trục âm thầm mà liên tục. Nhưng con người khi chọn lấy những hệ quy chiếu thì thường quên là mọi cái thước đều ngắn hơn sự thật. Đôi khi ta đặt gốc ở một kỳ vọng, rồi đo cả đời bằng khoảng cách tới kỳ vọng ấy. Nhưng liệu kỳ vọng đó có thật là gốc không, hay xét cho cùng, nó cũng chỉ là một điểm tùy chọn trong muôn vàn khả thể? Câu hỏi này không dễ trả lời, cũng không nhất thiết phải trả lời. Như Descartes đã thắp lên từ que diêm đầu tiên, không phải khẳng định mà nghi ngờ mới là thứ

[2] Khoảng cách Euclid giữa hai điểm $(x_1,y_1)$ và $(x_2,y_2)$ là $sqrt{|x_1-x_2|^2+|y_1-y_2|^2}$, và khi đó thì hình tròn bao gồm những điểm có khoảng cách tới gốc tọa độ nhỏ hơn 1 đúng là hình tròn như mắt ta nhìn. Nếu dùng khoảng cách Manhattan $|x_1-x_2|+|y_1-y_2|$, thì "hình tròn" trong khoảng cách này trở thành hình vuông trong khoảng cách Euclid.