Bất định và cái đẹp của bất toàn

Nguyên lý bất định không chỉ là một trong những trụ cột của khoa học lượng tử mà còn làm thay đổi căn bản cách con người hiểu về thế giới. Cùng với nguyên lý bổ sung về sự thống nhất giữa các phạm trù đối ngẫu, nó mở ra một cách nhìn biện chứng về sự dung hòa của những mặt đối lập - một tinh thần tương thông với thuyết duyên khởi trong Phật học - và qua đó, chỉ ra rằng con người có thể sống chung với giới hạn, với bất định, và tìm thấy ý nghĩa trong chính cái bất toàn.

Nguyên lý bất định

Năm 1927, nhà vật lý người Đức Heisenberg công bố một kết quả làm thay đổi triệt để vật lý: không thể đồng thời xác định chính xác vị trí và tốc độ của một hạt. Điều này trái ngược hoàn toàn với niềm tin trước đó. Trong vật lý cổ điển, người ta cho rằng nếu có đủ thiết bị tinh vi, ta có thể đo được mọi thứ một cách chính xác. Nguyên lý của Heisenberg đã phá vỡ hình dung ấy: càng biết rõ vị trí của một hạt, càng khó nắm bắt chuyển động (động lượng) của nó, và ngược lại.

Chứng minh của Heisenberg rất ngắn gọn và đẹp đẽ, làm tôi liên tưởng tới thuyết duyên khởi trong Phật giáo. Trong toán học, người ta dùng khái niệm toán tử để mô tả những hành động như “đo”, “tác động”, hay “quan sát”. hai ma trận, hay toán tử A và B là giao hoán nếu AB = BA, tức là  A “đi ngang qua” B mà không để lại dấu vết gì cả, giống như lời nhà thơ Bùi Minh Quốc: 

Có khi nào trên đường đời tấp nập

Ta vô tình đi lướt qua nhau.

Trường hợp này nói theo Phật học là “vô duyên”. Ngược lại, nếu giao hoán tử [A,B] = AB – BA khác 0, tức là A và B không giao hoán, A và B đi qua nhau và làm thay đổi nhau, thì ta có thể nói là chúng “có duyên”. 

Nếu không có nguyên lý bất định của Heisenberg, electron sẽ rơi vào hạt nhân vì không có gì chống lại lực hút từ hạt nhân, và khi cái vi mô không còn ổn định thì thế giới vĩ mô cũng sẽ sụp đổ. 

Phát hiện của Heisenberg là hai toán tử vị trí (x) và động lượng (p) là “có duyên” với nhau theo nghĩa rất mạnh, vì giao hoán tử của chúng là hằng số [x,p]= iħ.¹ Nghĩa là hai phép đo “vị trí” và “động lượng” luôn lệch nhau một lượng nhỏ cố định – không thể triệt tiêu được.

Ẩn sau chứng minh của Heisenberg là một ý tưởng rất đẹp trong toán học gọi là tính đối ngẫu. Trong tự nhiên, nhiều cặp khái niệm luôn song hành như hai mặt của một đồng xu – chẳng hạn vị trí và động lượng, thời gian và năng lượng². Nguyên lý bất định cho thấy rằng nếu một hạt càng được xác định rõ vị trí, thì động lượng của nó càng khó xác định, và ngược lại. Như một nốt nhạc càng ngắn (tức là càng tập trung ở một vị trí), thì cao độ càng mờ nhạt (tức là động lượng càng khó xác định), còn ngược lại một nốt càng dài, càng loang ra khỏi vị trí, thì cao độ càng rõ.

“Duyên số” của các cặp phạm trù đối ngẫu, chẳng hạn như vị trí và động lượng, hay thời gian và năng lượng, là một phần thiết yếu để chúng ta hiểu thế giới, cũng như giữ cho chính thế giới tồn tại như cách chúng ta thấy hôm nay. Nếu không có nguyên lý bất định của Heisenberg, electron sẽ rơi vào hạt nhân vì không có gì chống lại lực hút từ hạt nhân, và khi cái vi mô không còn ổn định thì thế giới vĩ mô cũng sẽ sụp đổ. 

Nếu Heisenberg tìm ra bất định trong hạt lượng tử, thì nhiều thập kỷ sau, Hawking đã phát hiện bất định của “chân không” – tưởng như trống rỗng – vốn không hề trống rỗng. Theo nguyên lý bất định, cặp đối ngẫu năng lượng và thời gian không thể đồng thời xác định chính xác, nên trong khoảng thời gian cực nhỏ, năng lượng không bằng 0 mà luôn dao động (chính điều đó khiến chân không không trống rỗng), từ đó tạo ra các cặp hạt và phản hạt xuất hiện rồi triệt tiêu liên tục. Khi hiện tượng này xảy ra gần biên của một lỗ đen, thì một hạt có thể rơi vào bên trong, còn hạt kia thoát ra ngoài và trở thành bức xạ Hawking, khiến lỗ đen mất dần năng lượng và cuối cùng bốc hơi. Như vậy, ngay cả những thứ có sức mạnh tưởng như tuyệt đối như lỗ đen cũng không thoát khỏi quy luật bất định. 

Trong lịch sử khoa học, có những người “thấy xa hơn” không phải vì họ biết nhiều hơn, mà vì họ “dám bỏ bớt”. Cái Heisenberg loại bỏ là những thứ “tưởng như hiển nhiên” như khái niệm quỹ đạo electron của Bohr, thầy của mình – điều mà rất ít các nhà khoa học dám làm. Việc Heisenberg từ bỏ cách nhìn thế giới như những vật có sẵn, độc lập để coi thế giới như mạng lưới các mối quan hệ và xác suất có thể xem là tương tự như khi Phật học chuyển từ hữu thể luận sang duyên khởi luận – mọi thứ tồn tại vì có liên hệ lẫn nhau. Ở đây, vị trí và động lượng không phải là hai thứ tách biệt, động lượng cho biết vị trí thay đổi nhanh đến mức nào, còn vị trí lại được xác định từ những chuyển động ấy, hay nói cách khác, động lượng là đạo hàm của vị trí, vị trí là tích phân của động lượng. Chúng “có duyên” với nhau, nên chúng phải được xét chung trong một mối tương quan, không thể tách rời. 

Từ nguyên lý bất định, ta hiểu rằng khi tập trung tuyệt đối vào một khía cạnh, thì phải chấp nhận mờ nhạt ở khía cạnh khác. Đó không phải là khiếm khuyết, mà là cấu trúc của tạo hóa: có co thì có duỗi, có được thì có mất. Thành ra ở đời, nhiều chưa chắc đã hay, mà ít chưa chắc là dở. Trong toán học cũng vậy, nhiều khi ta phải làm “nhòe đi” cái cụ thể thì mới vươn lên được cái trừu tượng, cái “bao trùm”, cái “toàn thể”; và ngược lại, ta phải hiểu được động lực cụ thể bên trong của từng cái trừu tượng thì mới thực sự hiểu nó ở mức cốt lõi, mới có thể dùng nó tự nhiên như hơi thở.

Từ nguyên lý bất định, ta hiểu rằng khi tập trung tuyệt đối vào một khía cạnh, thì phải chấp nhận mờ nhạt ở khía cạnh khác.

Trong vật lý, hướng nghiên cứu giải tích bán cổ điển tìm cách diễn giải thế giới vi mô lượng tử vốn “mờ nhòe” khó nắm bắt bằng vật lý cổ điển vốn mô tả vị trí và chuyển động của vật thể. Theo cách này,³ ta có thể hình dung là một hạt lượng tử bây giờ trở thành một “hộp đàn”, trong đó hễ ta nhấn vào phím “vị trí (x)”, thì ngay lập tức nốt “động lượng (p)” ngân lên, và ngược lại. Nói một cách hình ảnh, nguyên lý bất định vẫn cho phép “ghép đôi” hai yếu tố đối ngẫu như vị trí và động lượng, nếu chúng đồng ý cùng “nhòe đi”, hi sinh mỗi bên một ít để về chung một nhà. Cái “vết nhòe” này chính là sự bao dung của tạo hóa, tạo ra cơ chế “gắn bó” các mặt đối lập. Nhìn rộng ra, việc còn những điểm mù, những chỗ tối trong hiểu biết không nhất thiết là do con người kém cỏi, mà do vũ trụ khôn ngoan. 

Bổ sung 

Như vậy, nguyên lý bất định không những chỉ ra giới hạn của cái ta có thể biết, mà còn gợi mở cách thế giới tự dung hòa những mặt tưởng chừng đối nghịch. Mở rộng ý tưởng này, nguyên lý bổ sung của Bohr cho rằng những mặt tưởng như đối lập, thường là các cặp đối ngẫu như sóng và hạt, như xác định và bất định, vốn không loại trừ nhau mà cùng nhau làm nên bức tranh đầy đủ của thực tại. Khi cái này hiện ra, thì cái kia ẩn đi, nhưng cả hai đều cần thiết để thế giới tồn tại như nó vốn là, chỉ là ta không thể thấy cả hai cùng lúc. 

Như vậy, trong khi tính đối ngẫu cho thấy thế giới tự thân mang cấu trúc hai mặt tương liên như vị trí và động lượng, thì nguyên lý bổ sung là cách con người nhận thức rằng tâm trí con người không thể đồng thời nắm bắt cả hai, mà phải thay đổi góc nhìn để thấy trọn một thực tại duy nhất. Cái hay của Bohr là không phân biệt “hoặc cái này, hoặc cái kia”, mà là “cả hai, trong những điều kiện khác nhau”. Nhờ vậy, từ cái đã biết, ta có thể suy ra sự tồn tại của cái chưa biết, mặc dù chưa hề nhìn thấy. Biết sự tồn tại của cái mà ta chưa từng thấy là một phép lạ, và đi xa hơn ta có thể dùng cái này để hiểu cái kia, như nhìn một giọt nước mà hiểu được đại dương.

Trong khi nguyên lý bổ sung của Bohr cho ta cách để thấy thế giới, thì trong thế giới lượng tử, phi định xứ nói thêm về cách thế giới thực sự vận hành nhờ vào liên kết: khi hai hạt ở trạng thái vướng víu(entangled), đo hạt này ngay lập tức ảnh hưởng đến kết quả đo của hạt kia, dù chúng cách nhau cả trăm năm ánh sáng. Chính vì thế, Einstein từng gọi đây là “hành động ma quái từ xa” (spooky action at a distance), như thể “duyên” giữa chúng vượt ngoài giới hạn không – thời gian. 

Ngày nay, nguyên lý ấy trở thành nền tảng cho máy tính lượng tử. Về mặt lý thuyết, máy tính lượng tử có thể tính rất nhanh nhờ khai thác sức mạnh từ việc vướng víu và chồng chập của các trạng thái lượng tử, nhưng đồng thời cũng rất dễ sai bởi chỉ một nhiễu loạn nhỏ cũng làm sụp đổ các trạng thái mong manh ấy. Tốc độ và sai số một lần nữa xuất hiện như hai mặt của cùng một đồng xu. Việc cố gắng cải thiện sức mạnh tính toán đồng thời kiểm soát sai số là một bài toán lớn của khoa học hiện đại.

Dù khác bản chất, nguyên lý bổ sung và phi định xứ đều phá vỡ tư duy cổ điển tách biệt giữa “vật này và vật kia”, và gặp nhau ở chỗ cùng khẳng định tầm quan trọng của các mối quan hệ trong thực tại: thế giới lượng tử là một mạng lưới chằng chịt những mối liên hệ, nơi mà tồn tại cũng chính là có quan hệ với vật khác. Trong cuộc rối ren ấy, phi định xứ là nguyên lý bổ sung trong bản thể, khi các vật thể không tách rời mà chỉ có nghĩa khi có mối quan hệ với cái khác; còn nguyên lý bổ sung là phi định xứ trong nhận thức, khi ta có thể dung hòa những mặt tưởng chừng rất xa nhau trong cùng một chỉnh thể.

Tóm lại, có những giới hạn không phải để ngăn chúng ta, mà để chỉ ra cách thế giới giữ được cân bằng. Đôi khi, việc nhận ra giới hạn của một điều chính là bước khởi đầu của tự do và sáng tạo. Khi Heisenberg chỉ ra bất định, ông không hủy hoại vật lý mà xây nền móng cho một khoa học chính xác hơn bao giờ hết. Khi Gödel chỉ ra bất toàn, ông không đóng cửa toán học mà mở ra một hành trình vô hạn, khẳng định rằng toán học sẽ không bao giờ dừng lại ở một hệ tiên đề cho dù mạnh tới đâu. Chúng ta hoàn toàn có thể sống chung với giới hạn, với bất định, với bất toàn, và tìm ý nghĩa trong chính cái không hoàn hảo.

Trong truyện Tây Du Ký, sau khi diện kiến Phật Tổ Như Lai ở Linh Sơn, bốn thầy trò Đường Huyền Trang được ban cho chân kinh để mang về Đông Độ. Trên đường trở lại, vì lỡ quên lời hứa với con rùa thần nên bị lật úp xuống sông, khiến toàn bộ kinh sách ướt sạch. Khi phơi kinh, chẳng may có trang bị rách, Huyền Trang cứ đứng tiếc mãi. Tôn Ngộ Không mới an ủi rằng: “Sư phụ chớ buồn, trời đất còn có chỗ thiếu sót, nữa là kinh sách”. Chính vì có chỗ thiếu nên mới có chỗ cho người đời sau bổ sung, chế tác. Ở điểm này, ta nghe vọng lại tinh thần “vô chi dĩ vi dụng” – sự trống rỗng lại là cái hữu ích của Lão Tử, cũng như nguyên lý bổ sung của Bohr: cái tưởng như mâu thuẫn hay chưa trọn vẹn, kỳ thực lại cùng nhau làm nên toàn thể. Và quay lại lúc ban đầu, A Nan và Ca Diếp, hai đại đệ tử của Phật, từng cố ý cho “vô tự kinh”, tức là kinh không chữ. Đó mới là chân kinh, nhưng bốn thầy trò từ chối nhận, âu cũng là vì chưa đủ duyên để thấy được chỗ “vô trung sinh hữu” – trong cái không sinh ra có, tức là cái hay của thiếu và cái dở của đầy vậy. 

Nguyễn Du, trong một chuyến đi sứ năm 1813 đời Gia Long, đã có khoảnh khắc đứng dưới di tích “thạch đài” của Thái tử Chiêu Minh  (Tiêu Thống, nhà Lương), nơi tương truyền dùng để phân đính kinh sách. Ở đó ông làm bài thơ “Lương Chiêu Minh thái tử phân kinh thạch đài”, kết lại bằng bốn câu bất hủ:

Ngã độc Kim Cang thiên biến linh

Kỳ trung áo chỉ đa bất minh

Cập đáo phân kinh thạch đài hạ

Chung tri vô tự thị chân kinh

Tạm dịch: 

Kim Cang đọc đến quen từng chữ 

Nghĩa lý sâu xa vẫn bất minh

Dưới bóng thạch đài nơi phân tỏ

Mới hay vô tự ấy chân kinh

Tư tưởng chìm nổi trong bốn câu là mạch Thiền “bất lập văn tự / vô tự chân kinh”. Đó không chỉ là lời tự tỉnh của một người học đạo, mà là trực giác lớn của một người đã đi đến tận cùng của ngôn từ để nhận ra giới hạn của nó. Văn để tải đạo, như ngón tay chỉ Mặt trăng, mà thật ra cả tay lẫn trăng đều chỉ là hình tướng. Ở điểm này, tư tưởng của Nguyễn Du gặp lại tinh thần của Heisenberg và Bohr: khi ta càng cố định một điều, thì điều kia càng trở nên bất định; chỉ khi ta buông khỏi hình tướng, thì chân nghĩa mới hiện ra. 

Nếu như cái biết là đối ngẫu của cái không biết, thì cái viết được chính là đối ngẫu của cái không viết được. Người có thể đọc cái không viết được, ắt trong lòng đã hiểu vô hạn cái viết được, mà vẫn đủ thấu suốt để thấy mà không giữ, biết mà không nắm bắt. “Vô tự kinh” chính là biểu tượng của chỗ không nắm bắt mà vẫn bao trùm tất cả. Chính khoảng trống ấy, khoảng “không” giữa hai cực đối lập, mới là nơi thế giới tự cân bằng. Ở đó, cái bị giới hạn không còn là mất mát mà là điều kiện để cái mới được sinh ra, như ngay cả trong “chân không” những cặp hạt và phản hạt vẫn liên tục xuất hiện rồi biến mất để thế giới không bao giờ thật sự rỗng không. Thành ra, “vô tự kinh” không chỉ là câu chuyện của Ngô Thừa Ân, của Nguyễn Du, mà còn là tinh thần của nguyên lý bất định và nguyên lý bổ sung: cái không thể biết trọn mới chính là nguồn của mọi hiểu biết.□

——–

*Giáo sư tại Đại học Ludwig Maximilian München, Đức.

Các lĩnh vực nghiên cứu của giáo sư Phan Thành Nam là giải tích và vật lý toán, đặc biệt là cơ học lượng tử nhiều hạt.

Chú thích

¹ Tương đương với đẳng thức (xf)› – x f› = f. Sử dụng điều này cùng với bất đẳng thức Cauchy–Schwarz cho các toán tử (tương tự như a^2+b^2 -2ab = (a – b)^2  ≥ 0  với các số thực), ông suy ra đánh giá nổi tiếng Δx · Δp ≥ ħ/2.

² Các cặp khái niệm đối ngẫu luôn đi đôi với nhau thông qua một phép toán đặc biệt, chẳng hạn vị trí và động lượng có thể cùng biểu diễn qua phép biến đổi Fourier.

³ Một hạt lượng tử trong không gian d chiều được “cổ điển hoá” – tức là mô tả bằng ngôn ngữ của vật lý cổ điển – bởi một miền có thể tích (2\pi ħ)^{d} trong không gian pha 2d chiều của của x (vị trí) và p (động lượng), là thể tích tối thiểu để dung hoà được nguyên lý bất định Heisenberg Δx·Δp ≥ ħ/2.

Bài đăng Tia Sáng số 21/2025