Đột phá mới về lát mặt phẳng

Cuối tháng 11/2022, một nhà toán học nghiệp dư người Anh, David Smith đã thông báo về việc ông cùng các cộng sự đã tìm ra một “einstein” (thuật ngữ có nguồn gốc từ tiếng Đức, ein stein, có nghĩa là một viên đá, hay một miếng lát, không phải tên của nhà vật lý nổi tiếng mà ta đều biết), từ đó giải quyết một vấn đề mở trong toán học.

Lát mặt phẳng – một kĩ thuật chỉ sử dụng một hoặc một vài hình giống hệt nhau và ghép lại trên một mặt phẳng sao cho không có khoảng trống và sự chồng chéo giữa chúng – vốn là một hoạt động trang trí xuất hiện từ xa xưa. Ai cũng từng biết đến những bức tường, mái vòm được lát bằng những hình hình học kết hợp với nhau tạo thành vô vàn hoa văn và họa tiết phức tạp và lộng lẫy trong các đền thờ của người Hồi giáo. Những hiệu ứng thị giác từ những họa tiết dường như trải ra một cách có nhịp điệu trên tường đó đã trở thành cảm hứng cho rất nhiều nghệ nhân thủ công và các nghệ sĩ. M.C. Escher – họa sĩ Hà Lan với những bức tranh không gian đậm chất toán học là một ví dụ. Ông đặc biệt có nhiều tác phẩm lát mặt phẳng đầy sức sống và vui nhộn.

Những tác phẩm của Escher đa số là lát mặt phẳng một cách tuần hoàn, tức là có thể tách một vùng mặt phẳng được lát, sau đó lát mặt phẳng hoàn toàn bằng cách ghép tịnh tiến các bản sao của vùng đó mà không phải quay hay lật các bản sao này.

Câu hỏi tự nhiên được đặt ra, liệu ta có thể lát mặt phẳng bằng những hình mẫu một cách không tuần hoàn được hay không? Câu trả lời là có. Lát phi tuần hoàn, ngược lại, là một phép lát không chỉ thực hiện bằng cách tịnh tiến, mà phải cần xoay lật các hình mẫu để chúng khớp với nhau và không tạo ra các vùng lớn tuần hoàn trong mặt phẳng.

Bàn cờ vua là một ví dụ dễ hình dung về một phép lát tuần hoàn, nhưng ta cũng có thể biến nó thành một phép lát không tuần hoàn bằng cách chia mỗi ô vuông của bàn cờ thành hai hình tứ giác, sau đó sắp xếp lại để nó không còn tuần hoàn nữa.

Năm 1961, nhà toán học Hao Wang đã đưa ra một tập hợp các hình vuông có cạnh tô màu khác nhau – một dạng “mô hình đại diện” cho mọi kiểu hình miếng lát, gọi là các quân domino Wang. Ông đặt ra giả thuyết rằng tồn tại một quy trình để xác định liệu tập các hình vuông này khi lát mặt phẳng thì các cạnh kề nhau có cùng màu hay không. Nếu thực sự tìm được một quy trình như vậy thì bất cứ tập domino Wang lát phi tuần hoàn nào cũng sẽ chuyển sang lát tuần hoàn được.

Năm 1964, học trò của Wang là Robert Berger đã phủ định giả thuyết của ông, tức là tồn tại một tập hợp các quân domino Wang chỉ có thể lát mặt phẳng theo cách phi tuần hoàn. Berger đã xây dựng một cách lát mặt phẳng phi tuần hoàn bằng 20426 miếng lát có hình dạng khác nhau – một con số lớn đáng ngạc nhiên, và sau đó ông đã khám phá ra một cách khác để lát một mặt phẳng theo cách phi tuần hoàn với chỉ 104 miếng khác nhau. Từ đó, người ta đặt ra câu hỏi, số miếng lát tối thiểu để lát một mặt phẳng theo cách phi tuần hoàn là bao nhiêu?  Năm 1971, nhà toán học Raphael Robinson tại Đại học Berkeley đã giảm số các miếng lát xuống còn sáu. Năm 1974, Roger Penrose, nhà vật lý toán người Anh, người được giải Nobel năm 2020 cho nghiên cứu về lỗ đen, đã có thể giảm số lượng các miếng lát xuống chỉ còn hai miếng. Penrose gọi hai miếng đó của ông là hình cái diều và hình mũi tiêu. Năm 1999, Chaim Goodman-Strauss, một thành viên trong nhóm nghiên cứu của Smith, cũng tìm ra hai miếng lát khác để lát mặt phẳng theo cách phi tuần hoàn.

Kể từ đó, các nhà toán học muốn tìm kiếm cái gọi là eistein, tức một miếng lát duy nhất để lát một mặt phẳng phi tuần hoàn, thứ Chaim Goodman-Strauss gọi là Chén Thánh của vấn đề lát mặt phẳng. Penrose đã nghĩ đến vấn đề này ít năm trước, nhưng ông cũng đã từ bỏ. 

Cũng như Chén Thánh, không ai dám chắc rằng miếng lát như vậy có tồn tại. Nhưng, David Smith, một thợ in đã nghỉ hưu 64 tuổi ở East Yorkshire, Anh, một người yêu toán nhưng chưa từng giỏi toán ở trường phổ thông, lại là người đầu tiên đưa ra tuyên bố về miếng lát đó. Blog của Smith ngập tràn các hình ảnh hình học, nhưng không hề có mục giới thiệu về ông.

“Tôi đã luôn nghịch ngợm và thử nghiệm với các hình dạng. Nhưng tôi cũng đã bị ám ảnh từ lâu với vấn đề einstein”, Smith nói với New York Times.

David Smith cùng các cộng sự đã công bố bài báo chứng minh khám phá của họ trên trang tiền ấn phẩm arxiv.org. Nhóm nghiên cứu gọi miếng lát của mình là một cái mũ, vì nó gợi lên hình ảnh của một chiếc mũ phớt. Bài báo vẫn chưa được bình duyệt, nhưng khám phá của Smith và các cộng sự đã nhận được nhiều lời khen ngợi và công nhận.

“Đây quả là một khám phá đáng nể! Khía cạnh nổi bật nhất với tôi đó là cách lát này không nằm trong bất cứ nhóm cấu trúc quen thuộc nào mà chúng ta đã biết” Joshua Socolar, nhà vật lý tại Đại học Duke viết cho New York Times khi nhận được một phiên bản đầu của bài báo. Ông cho rằng chúng ta có thể tạo ra một loại chất liệu mới có cấu trúc bên trong kiểu này. Trước đó, Socolar và Joan Taylor, một nhà nghiên cứu độc lập tại Úc cũng đã tìm ra một miếng lát phi tuần hoàn, không bao giờ lặp lại nhưng miếng ghép của họ bị nhiều người cho rằng hơi “ăn gian” vì nó thực chất được cấu thành từ nhiều mảnh khác nhau.

Hầu hết những nghiên cứu của Smith được thực hiện bằng tay, một cộng sự đã mô tả ông là một người mê kỹ thuật giàu trí tưởng tượng. Ông thường bắt đầu tìm kiếm miếng lát mặt phẳng phi tuần hoàn với ứng dụng Polyform Puzzle Solver, một phần mềm mã nguồn mở tạo ra bởi Jaap Scherphuis – một kĩ sư, YouTuber người Phần Lan chuyên tạo ra các công cụ và trò chơi trí tuệ. Nếu bắt gặp một hình dạng khả dĩ, Smith sẽ in nó ra bằng máy cắt sau đó thử xoay, lộn ngược, v.v rồi ghép các miếng lại với nhau xem có vừa khít với nhau không, có để lại khoảng trống nào trên mặt phẳng không. Cách làm này giúp ông thấy thư thái, và hiểu được cách một hình thù có thể lát hoặc không lát được mặt phẳng như thế nào.

Sau nhiều lần thất bại, tháng 11/2022, ông đã tìm ra một hình dạng có vẻ như lát được mặt phẳng một cách phi tuần hoàn. “Liệu hình dạng này có thể là lời giải cho vấn đề ‘einstein’ hay không?” Smith đã viết như vậy trong thư gửi người cộng sự Craig Kaplan, nhà khoa học máy tính tại Đại học Waterloo, Canada.

“Rõ ràng có gì đó bất thường với hình dạng này,” Kaplan đáp. Dựa trên cách tiếp cận bằng tính toán của nghiên cứu trước đó, thuật toán của Kaplan đã sinh ra những mảng lớn từ các miếng lát hình mũ. “Dường như phần mềm này không giới hạn độ lớn mảng lát mà nó có thể tạo ra.” Nói cách khác, đây là một bằng chứng “thô” cho họ hy vọng tràn trề rằng miếng lát hình mũ phớt đó chính là einstein mà các nhà toán học đã dày công tìm kiếm hàng thập kỉ qua.

Với dữ liệu thô như vậy, Smith và Kaplan đã nghiên cứu cấu trúc thứ bậc của cách lát bằng mắt thường, từ đó Kaplan đã tìm thấy dấu vết của một chứng minh truyền thống cho một phép lát phi tuần hoàn một kiểu chứng minh mà các nhà toán học hay dùng khi chứng minh các vấn đề lát phi tuần hoàn. Họ định nghĩa một tập bốn ‘bộ lát’ bao gồm bốn hình dạng hình thành từ việc ghép từ một, hai, hay bốn miếng lát hình mũ. Các ‘bộ lát’ ghép lại thành bốn hình có dáng điệu tương tự nhưng lớn hơn. Cứ như thế ta có ‘bộ lát lớn’, ‘bộ lát rất lớn’, v.v… Sau đó họ chứng minh rằng kiểu ghép thứ bậc như vậy về căn bản là cách duy nhất để lát mặt phẳng với hình chiếc mũ. Hóa ra, đó là tất cả những gì người ta cần để chứng minh một cách thuyết phục rằng cách lát này là phi tuần hoàn.

Kaplan xác nhận rằng “chiếc mũ” của Smith không phải là một hình dạng hình học mới, một kết luận khá ngạc nhiên khi tất cả đều nghĩ một miếng lát mặt phẳng không tuần hoàn hẳn phải có hình dạng “khùm khoằm” ngoài sức tưởng tượng, Goodman-Strauss chia sẻ. Chiếc mũ của Kaplan thực ra là một đa giác 13 cạnh được ghép bằng 8 hình cánh diều (khác với hình của Penrose), và có nguồn gốc từ các hình lục giác. Sự đơn giản này càng khiến người ta ngạc nhiên trước khẳng định nó có thể lát mặt phẳng một cách phi tuần hoàn.

“Có lẽ nhiều người đã từng nghĩ đến hình dạng chiếc mũ này trong quá khứ, có thể không chỉ trong bối cảnh nghiên cứu về lát mặt phẳng”. Kaplan chia sẻ rằng đó quả là một câu trả lời ngay trước mắt mà không ai nhìn thấy.

Không dừng lại ở đó, kì khôi hơn, Smith còn tìm ra một miếng lát einstein thứ hai. Có tên là miếng lát “con rùa”, nó được tạo thành từ 10 mảnh ghép hình cánh diều, chứ không phải 8 mảnh như miếng lát chiếc mũ. Họ các miếng lát này đã truyền cảm hứng cho phép chứng minh thứ hai trong bài báo của họ. Miếng lát chiếc mũ được coi là một phần của một chuỗi các hình dạng liên tục, tức là các họ hình hình học có thể biến đổi liên tục từ hình này sang hình kia. Và nhờ dần thay đổi độ lớn tương đối của chiều dài các cạnh của chiếc mũ, nhóm nghiên cứu có thể tạo ra một họ các miếng lát có thể lát mặt phẳng phi tuần hoàn. Thứ toán học này dường như “quá đẹp để có thể đúng đắn”, Joseph Myers, một nhà phát triển phần mềm, người đã thực hiện cả hai phép chứng minh trong nhóm nghiên cứu của Smith, chia sẻ trong thư trao đổi của nhóm. Phép chứng minh thứ nhất vẫn cần đến máy tính để xác minh; nhưng phép chứng minh thứ hai thì hoàn toàn không dựa vào máy tính.

“Tôi đã không chờ đợi một cách tiếp cận khác biệt như vậy để chứng minh tính phi tuần hoàn, nhưng dường như mọi thứ khớp lại với nhau khi tôi viết ra các chi tiết”. Myers chia sẻ với New York Times.   

Goodman-Strauss coi kỹ thuật mới này là khía cạnh quan trọng của khám phá, cho đến nay người ta không có nhiều kỹ thuật chứng minh tính phi tuần hoàn. Ông cũng phải mất vài ngày mới có thể nắm bắt được ý tưởng, và sau đó giật mình “sửng sốt”.

Phép chứng minh này cũng rất phức tạp ngay cả với những nhà khoa học xuất chúng như Penrose. Kết quả chưa được bình duyệt, nhưng “nó quá khéo léo, và tôi thấy không có lý do gì để không tin nó,” Penrose nói.

Trong khi đó, Smith, có thể vẫn chưa hết kinh ngạc khi bài báo được hoàn thành, thấy các hình minh họa thật đẹp mắt. “Tôi vẫn thích các hình ảnh hơn”, Smith nói.

Khám phá này, dù đúng dù sai, chắc chắn sẽ mang lại nhiều ý tưởng mới cho các nhà toán học trên hành trình tìm kiếm một mẫu ‘einstein’ mới, còn với chúng ta, trước mắt, là sẽ có những hình trang trí mới trên tường cái đã! □

Hoàng Lam tổng hợp