Quy tắc l’Hôpital: Công thức tính giới hạn vô định
Quy tắc l'Hôpital mang tên nhà toán học người Pháp sống ở thế kỷ XVII Guillaume Francois Antoine, Marquis de l’Hôpital, chính là người vào năm 1692 viết quyển sách đầu tiên về phép tính vi phân "Analyse des infiniment petits pour l’intelligence des lignes courbes" (1696). Cuốn sách gồm mười chương, trong đó quy tắc mà hiện giờ được gọi là quy tắc Hôpital nằm ở chương thứ chín.
Công trình của Hôpital đạt được thành công vang dội và nhiều lần được in tái bản trong thế kỷ mười tám. Trong lời mở đầu, tác giả tỏ lòng biết ơn đối với Gottfried Leibniz và Johann Bernoulli vì “Tôi được tự do sử dụng các công trình của họ”. Hôpital cho rằng vai trò của Leibniz trong giải tích là ngang với Newton, nhưng Hôpital thích Leibniz hơn “vì cách trình bày của ông ấy đơn giản và trực tiếp hơn”. Còn về Bernulli thì Hôpital không nói thêm gì ngoài một dẫn chứng là Bernoulli là giáo sư ở Groninghen.
Vậy thì Johann Bernoulli là ai và tại sao Marquis de l’Hôpital phải tỏ lòng biết ơn?
Trái với ý của cha, người con thứ mười trong gia đình Bernoulli là Johann nghiên cứu y học ở trường đại học Basel. Cũng trong khoảng thời gian đó ông được người anh cả là Jakob ngầm dạy toán cho và chẳng mấy chốc ông đã ngang tài với anh trai mình. Năm 1691 lần đầu tiên ông tham gia và cuộc đấu toán tay đôi: giải phương trình về đường dây xích do Jakob đưa ra. Johann trẻ tuổi đã nhanh chóng giải được bài toán và làm ngạc nhiên những người đương thời với mình.
Một trong những lần tới Paris, Johann Bernoulli làm quen với Marquis de l’Hôpital – một trong những nhà toán học Pháp xuất chúng đương thời. Hôpital tỏ ra rất ngạc nhiên bởi tài năng của Bernoulli trẻ tuổi và cả nghệ thuật sử dụng phép tính vi phân và tích phân mà Leibniz lập ra. Biết mình yếu kém, Hôpital thuê Johann với thù lao hậu hĩnh để Johann dạy mình những bí mật của phép tính mới. Khi phải quay trở về Basel, Johann hứa là sẽ không nói điều đó với ai và những bài giảng vẫn được tiếp tục qua thư từ qua lại.
Johann sao chép lại các bức thư vì muốn viết bài giảng về giải tích. Thế nhưng học trò thì đã nhanh chân hơn thầy. Sử dụng các bài giảng của Johann, năm 1696 Hôpital công bố công trình đầu tiên về phép tính vi phân “Analyse des infiniment petits, puor l’intelligence des lignes courbes” (“Giải tích các đại lượng vô cùng bé để khảo sát các đường cong”).
Cuốn sách gây bất hòa
Johann im lặng giống như đã hứa với Marquis và không yêu cầu câu nhận quyền tác giả. Nhưng bằng cách riêng, ông than phiền, các phát minh của Hôpital là ăn cắp bản quyền một cách trơ tráo. Trong bức thư gửi Leibniz năm 1698, Bernoulli viết: “Ngoại trừ một số trang thì tất cả phần còn lại là ông ta nhận được từ tôi qua thư […]. Ưu điểm của ông ta nằm ở chỗ ông ta đã sắp xếp theo trật tự và trình bày một cách cẩn thận bằng tiếng Pháp những thứ lộn xộn mà tôi đã viết cho ông ấy bằng tiếng Pháp hoặc tiếng La tinh”. Mãi sau khi Marquis mất vào năm 1704, Bernoulli mới đòi lại được một chút những gì đã mất bằng cách công bố nhiều kết quả của mình, trong đó có quy tắc Hôpital.
Thế nhưng, tính cách nổi loạn đã làm hại thanh danh của Johann. Ông ganh đua quyết liệt với anh trai và cũng là người thầy của mình là Jakob, rồi cả với Danill – người con trai và cũng là người mà ông đã hết mực dạy bảo. Ông cũng tham gia vào cuộc luận chiến giữa Newton và Leibniz: ai là người nghĩ ra phép tính vi phân đầu tiên; ông đứng về phía Lebniz. Khác với Johann, danh tiếng của Marquis lại không hề bị sứt mẻ chút nào.
Tư liệu bị thất lạc
Những dấu hiệu đầu tiên cho thấy Johann có thể đã đúng xuất hiện vào năm 1922, khi người ta tìm thấy trong thư viện của Basel, giáo trình của Johann Cáculo diferential (“Phép tính vi phân”); nó chưa từng được công bố. Nếu so sánh với quyển sách của Hôpital thì sẽ thấy rõ về bản chất chúng là một.
Kết luận rõ ràng xuất hiện vào năm 1955 khi bức thư đầu tiên giữa Johann và Hôpital được tìm thấy. Người ta phát hiện ra lời đề nghị lạ lùng mà Marquis De Hôpital gửi cho Johann Bernulli trong bức thư gửi vào ngày 17 tháng 3 năm 1694.
“Tôi rất sẵn lòng gửi cho ngài khoảng 300 Livre bắt đầu từ ngày 1 tháng 1 năm nay; tôi sẽ gửi ngay 200 Livre trong nửa đầu năm cho phần khái quát mà ngài đã gửi cho tôi; còn 150 Livre nữa tôi sẽ gửi trong nửa cuối của năm và mọi thứ sẽ tiếp tục như thế. Tôi hứa rằng số tiền này trong thời gian sắp tới sẽ tăng lên vì tôi biết nó là rất ít; và tôi sẽ làm nó ngay khi công việc của tôi đạt kết quả tốt đẹp… Quả là gàn dở khi làm mất thời gian của ngài, nhưng tôi khẩn thiết đề nghị ngài thỉnh thoảng hãy dành cho tôi một vài tiếng để trả lời các câu hỏi của tôi và hãy gửi cho tôi những phát minh của mình, với điều kiện là không được công bố chúng với ai. Tôi cũng sẽ hứa là không gửi bản sao chép những tài liệu này cho Varignon hay bất kỳ người nào khác, bởi vì tôi không thích điều đó. Hãy trả lời tôi nhé!”.
Mặc dù thư hồi âm của Bernoulli không được tìm thấy, nhưng dễ hiểu là ông đã đồng ý thỏa thuận (không có gì ngạc nhiên nếu để ý rằng khi đó Johann mới 24 tuổi và đang không có việc làm). Trong những bức thư tiếp theo Bernoulli có trả lời thư và những câu hỏi của Marqui. Một trong những bức thư ấy chứa công thức Hôpital. Ngoài ra những ví dụ mà Bernoulli đưa ra gần như trùng khớp với những ví dụ mà Marquiz về sau in trong quyển sách của mình. Nhưng chúng tôi cũng phải thừa nhận là Hôpital đã sửa vài lỗi của Bernoulli, ví dụ như Bernoulli cho rằng tích phân của hàm là hữu hạn.
Johann Bernoulli mất khi 80 tuổi, rất nhiều người liệt kê công thức mà ngày nay chúng ta gọi là công thức Hôpital vào di sản toán học đồ sộ của ông.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Carl B. Boyer, A History of Mathematics. John Wiley & Sons, 1968.
[2] Carlos Sánchez, Concepción Valdés, Los Bernoulli, geómetras y viajeros. Editorial Nívola, 2001.
[3] Daniel Martín, Los Bernoulli. ¿Cómo ves?, 136, 26-29.
[4] María Cristina Solaeche, La controversia L’Hospital – Bernoulli. Divulgaciones matemáticas 1, 1993, 99-104.
[5] http://hijos.ru/2012/05/20/pravilo-lopitalya-ili-pravilo-bernulli/
