Toán học trong thời đại AI
Mọi khái niệm và công cụ toán học thật sự quan trọng, thật sự đáng học đối với nhiều người đều là những thứ sẽ có nhiều ứng dụng trong thực tế. Và khi toán học được đem vào ứng dụng trong thực tế ở thời đại ngày nay thì nó trở thành AI.
Toán học trong nền kinh tế
Chuyện kể cách đây gần một thế kỷ, một sĩ quan quân đội ở Nga đến gặp một giáo sư toán hỏi về cách làm cho nghiệm của một phương trình đạo hàm riêng ổn định hơn. Vì bí mật quân sự, viên sĩ quan không nói phương trình từ đâu ra, nhưng vị giáo sư xem phương trình rồi kết luận “các anh phải làm cánh máy bay dài ra”.
Trong cuộc sống bình thường chúng ta có thể không để ý, nhưng toán học có mặt ở khắp mọi nơi. Muốn làm bất cứ thứ gì, từ vẽ tranh nặn tượng, cho đến chế tạo máy cộng hưởng từ MRI, cho đến quản lý kinh tế, đều cần đến các phương pháp, thuật toán. Nói đến thuật toán tức là nói đến toán học. Từ thuật toán (algorithm) có gốc là tên của nhà toán học Al Khwarizmi xứ Ba Tư thế kỷ 8-9. Ông tổ lý thuyết về thanh nhạc chính là nhà toán học Pythagoras của định lý a2 + b2 = c2. Người phát minh ra lý thuyết hạch toán tài chính với bảng cân đối hai cột được thế giới dùng ngày nay cũng là nhà toán học Luca Pacioli ở Italia thế kỷ 15, đồng tác giả một quyển sách về hình học cùng với danh họa Leonardo da Vinci.
Về cơ bản, nền kinh tế thế giới có hai động cơ chính: năng lượng và hiểu biết. Nhờ có các cỗ máy có công lực lớn gấp hàng nghìn lần công lực của cơ bắp con người mà sản lượng kinh tế tính theo đầu người tăng vọt trong thế kỷ qua. Tuy nhiên khả năng cung cấp năng lượng của thế giới bị hạn chế, thậm chí có nguy cơ giảm đi khi mà những nguồn năng lượng dễ lấy như là dầu mỏ suy giảm. Động cơ thứ hai là sự hiểu biết ít bị hạn chế hơn, trở thành động cơ chính thúc đẩy kinh tế thế giới đi lên trong thế kỷ này, và được phần lớn mọi người biết đến dưới tên gọi AI (trí tuệ nhân tạo).
AI chẳng qua là các thuật toán thông minh, và nói đến AI cũng chính là nói đến toán học. Nền kinh tế càng dựa trên hiểu biết thì vai trò của toán học càng quan trọng. Theo báo cáo của CNRS (Trung tâm Khoa học Quốc gia Pháp), trong sáu năm 2016-2022, tỷ lệ nền kinh tế quốc dân Pháp liên quan trực tiếp tới toán học đã tăng từ 15,5% lên thành 18,5%, và có tới 13% số công việc ở Pháp trực tiếp liên quan đến toán học.
Làm giàu bằng toán
Nhà vật lý Einstein từng nói “Chính trị là nhất thời, phương trình là vĩnh cửu”. Một phương trình như E=mc2 ảnh hưởng tới toàn thế giới, và có giá trị tinh thần vô cùng lớn không đo được bằng tiền. Nói theo ngôn ngữ kinh tế thì các nhà toán học (và các nhà khoa học nói chung) có ngoại ứng tích cực (positive externality) lớn. Tuy nhiên, bản thân họ chỉ nhận được mức đầu tư khá khiêm tốn từ xã hội, nên thu nhập của các nhà toán học khá thấp so với các ngành nghề liên quan đến trí não khác. Ở Mỹ, một bác sĩ trung bình có thu nhập 350 nghìn USD một năm, còn thu nhập trung bình của một nhà toán học chỉ nhỉnh hơn 100 nghìn USD. Trung Quốc, nước đặc biệt thực sự chú trọng phát triển khoa học công nghệ, là một nơi hiếm hoi mà giáo sư toán học lại có thu nhập cao hơn luật sư, bác sĩ.
Nghề làm toán bị mang tiếng là vừa khó vừa nghèo, ngày càng khó thu hút sinh viên. Nhưng tình hình không nhất thiết cứ phải như vậy. Làm toán cũng có thể trở nên giàu có không kém gì các ngành nghề trí óc khác, nếu các nhà toán học quan tâm hơn tới khía cạnh kinh tế của khoa học.
Theo một báo cáo của Fortune Business Insights, thị trường AI tạo sinh thế giới đạt cỡ 67 tỷ USD vào năm 2024 và sẽ tăng liên tục khoảng 40% một năm, lên thành 1 nghìn tỷ USD vào năm 2032. Các nhà toán học sẽ có phần trong miếng bánh khổng lồ này.
Câu hỏi đặt ra là, giá trị kinh tế mà một sản phẩm (một vấn đề toán học được giải quyết) đem lại cho người tạo ra nó là bao nhiêu? Những vấn đề toán lý thuyết được giải quyết trong những bài báo khoa học đăng ở những tạp chí hàng đầu thế giới như là Annals of Mathematics có thể coi là “những vấn đề trăm ngàn đô”, bởi mỗi giáo sư toán đầu ngành may ra mỗi năm làm được 1-2 công trình cỡ như vậy, và phần lớn lương của họ là để tạo ra các công trình đó. Có những vấn đề toán học được gắn với những giải thưởng hàng triệu đô, ví dụ như định lý Fermat lớn. Nhưng đó là những vấn đề cực kỳ khó, 10 năm trên thế giới mới xuất hiện một thiên tài có tầm cỡ giải quyết được một vấn đề như thế, và đây có lẽ là cách khó khăn nhất để mà trở thành triệu phú.
Tuy nhiên, không phải “vấn đề triệu đô” nào cũng quá khó. Công thức để tính giá trị kinh tế của một một sản phẩm mới là: Giá trị = (giá trị theo đầu người dùng) x (số người dùng).
Nếu một sản phẩm có giá trị 1 triệu USD đối với người trả tiền cho nó, nhưng chỉ có một người trả tiền, thì sản phẩm đó có giá trị 1 triệu USD. Còn nếu sản phẩm có giá trị chỉ 1 USD với người dùng, nhưng có những 100 triệu người dùng, thì giá trị của sản phẩm đó sẽ là 100 triệu USD.
Công thức trên cho thấy, cách dễ nhất để tạo ra sản phẩm có nhiều giá trị kinh tế, là hướng tới sản phẩm không quá cao siêu (có giá trị nhỏ thôi cho từng người dùng), nhưng có hàng triệu người cần dùng. Đó chính là cách phổ biến nhất ngày nay để trở thành triệu phú, áp dụng không chỉ cho các doanh nhân, nghệ sĩ, v.v., mà cho cả các nhà toán học.
Tìm hiểu xung quanh, chúng ta sẽ thấy trên thế giới có vô vàn các vấn đề ảnh hưởng đến hàng triệu người mà chưa được giải quyết thỏa đáng, và cần đến các công cụ toán học để giải quyết chúng. Một ví dụ đơn giản: làm sao để đo đếm tự động chính xác số tóc và độ dày của chúng trên một bức ảnh chụp cận cảnh các tóc? Có thể coi đây là một vấn đề tương đối dễ, dễ hơn nhiều so với việc nghĩ ra một định lý nào đó, nhưng nó lại là vấn đề triệu đô, vì có thể ảnh hưởng đến hàng triệu người muốn theo dõi chữa các bệnh rụng tóc. Còn vấn đề “làm sao chẩn đoán được hàng nghìn bệnh da khác nhau qua ảnh” là vấn đề tỷ đô, vì hầu như ai cũng bị mắc bệnh da, và rất nhiều khi không biết mình bị bệnh gì, kể cả bác sĩ cũng không biết, trong khi AI dựa trên các thuật toán toán học tốt có thể nhận biết.
Thời đại AI ngày càng mở ra nhiều cơ hội để tạo ra nhiều giá trị mới. Ví dụ, theo một báo cáo của Fortune Business Insights, thị trường AI tạo sinh (generative AI) thế giới đạt cỡ 67 tỷ USD vào năm 2024 và sẽ tăng liên tục khoảng 40% một năm, lên thành 1 nghìn tỷ USD vào năm 2032. Các nhà toán học sẽ có phần trong miếng bánh khổng lồ này. Đặc biệt khi mà ngày nay có các công cụ hỗ trợ (copilot) khiến cho việc lập trình (biến thuật toán thành chương trình) trở nên dễ dàng hơn nhiều so với trước, thì lợi thế cạnh tranh sẽ ngả về khả năng tạo ra các thuật toán tốt, tức là nền tảng toán học tốt.
Cơ sở toán học của AI
Từ thế kỷ trước, có hai hướng tiếp cận chính để nghiên cứu về dịch tễ, gọi là hướng cơ học (mechanical) và hướng thống kê (statistical). Hướng cơ học mô phỏng quá trình nhân quả (người tiếp xúc với virus thì bị nhiễm bệnh, rồi truyền bệnh cho người khác, rồi chết hoặc khỏi bệnh và miễn dịch, v.v.) qua các phương trình rồi tìm cách giải các phương trình đó. Còn hướng thống kê ghi chép lại các số liệu thống kê, tính toán các tương quan giữa các con số ghi nhận được để từ đó đưa ra các ước lượng và dự đoán. Trên thực tế, không chỉ trong nghiên cứu dịch tễ mà trong mọi ngành cần mô phỏng và dự đoán, để có được kết quả tốt cần kết hợp hai hướng lại với nhau, bởi nói một cách phóng đại, nếu chỉ dùng thống kê thì như là “biết tất nhưng không hiểu gì” còn nếu chỉ dùng cơ học thì như là “hiểu tất nhưng không biết gì”.
Tuy AI là toán học trá hình, nhưng bước nhảy từ toán học sang AI là bước nhảy từ lý thuyết sang thực tế mà không phải nhà toán học nào cũng sẽ thực hiện được.
Thời nay, hướng cơ học trở thành các hệ phương trình vi phân, đạo hàm riêng, hay các hệ động lực định tính và ngẫu nhiên mô phỏng thế giới, còn hướng thống kê thì trở thành học máy thống kê (statistical learning), chính là cơ sở của học máy trong AI, và trong nhiều lĩnh vực cần kết hợp giữa học máy với các công cụ toán học mô phỏng quá trình nhân quả thì mới tạo ra được các AI tốt nhất. Nếu chúng ta có các dự báo thời tiết hay các máy định vị GPS chính xác hơn nhiều so với trước đây, thì cũng chính là nhờ có các AI kết hợp mô phỏng toán học với học máy.
Hầu hết các AI ngày nay được thiết kế theo kiểu các mạng thần kinh nhân tạo (artificial neural network – ANN) được hợp thành từ rất nhiều các “neuron nhân tạo”. Về mặt toán học, mỗi “neuron nhân tạo” chẳng qua là một hàm số rất đơn giản, như hàm tuyến tính hay hàm lũy thừa, với một số hệ số nào đó. Khi kết hợp các neuron vào với nhau thì chúng ta được một hàm hợp, hợp thành từ các hàm rất đơn giản.
Mọi vấn đề tính toán, ước lượng, tạo sinh, v.v. đều có thể coi là các hàm phức tạp nhận thông tin đầu vào và cho thông tin đầu ra. Việc học của AI chính là việc thay đổi dần các hệ số trong các neuron (và có khi thay đổi cả cấu trúc tích hợp của các neuron trong mạng thần kinh) để đạt tới một hàm hợp mô phỏng được thật chính xác cái hàm phức tạp mà ta muốn có. Vì sao mọi hàm, dù phức tạp đến đâu, cũng có thể được mô phỏng bằng hợp lại của các neuron nhân tạo rất đơn giản? Về mặt toán học, đây chính là định lý Kolmogorov-Arnold về các hàm hợp. Với định lý này, chúng ta có thể yên tâm rằng mọi AI đều có thể xây dựng được bằng mạng thần kinh nhân tạo.
Khi xử lý các loại hình ảnh và video, người ta thường dùng một loại mạng thần kinh nhân tạo gọi là mạng thần kinh tích chập (convolutional neural network – CNN) sử dụng phép tính tích chập (convolution) trong toán học. Từ nhiều thập kỷ trước khi CNN xuất hiện, người ta đã biết ràng tích chập gắn liền với các biến đổi kiểu Fourier suy rộng và các sóng địa phương (wavelet) rất quan trọng trong việc xử lý tín hiệu và nén thông tin (thuật toán nén ảnh điện tử jpeg thông dụng là dùng wavelet), thế nên không có gì đáng ngạc nhiên khi mà CNN trở nên đặc biệt quan trọng trong AI.
Trong việc thiết kế các mạng thần kinh nhân tạo và các phương pháp học máy, người ta dùng đến không chỉ các kiến thức toán ở bậc đại học như là giải tích, đại số tuyến tính, xác suất thống kê và tối ưu hóa, mà cả những kiến thức toán cao cấp hơn, thường chỉ được học ở bậc cao học, ví dụ như là tô pô đại số, lý thuyết bất biến, hình học vi phân, v.v. Những người có nền tảng toán học cao cấp sẽ có lợi thế khi chuyển sang làm về AI, bởi toán học cho phép họ hiểu rõ cấu trúc bên trong của các thuật toán AI, để mà có thể biến đổi, cải thiện, thiết kế chúng.
Tuy nhiên, để làm được AI tốt cho một lĩnh vực nào đó, thì biết toán thôi chưa đủ mà còn cần có hiểu biết nhất định về lĩnh vực ứng dụng, và cần chịu khó nhúng tay vào làm thực tế để hiểu được các khó khăn gặp phải trong thực tế mà nếu chỉ nhìn từ bên ngoài thì không thấy. Như người ta nói, “khoảng cách giữa lý thuyết và thực tế dài hơn trong thực tế so với trong lý thuyết”. Tuy AI là toán học trá hình, nhưng bước nhảy từ toán học sang AI là bước nhảy từ lý thuyết sang thực tế mà không phải nhà toán học nào cũng sẽ thực hiện được.
Cách dễ nhất để tạo ra sản phẩm có nhiều giá trị kinh tế, là hướng tới sản phẩm không quá cao siêu (có giá trị nhỏ thôi cho từng người dùng), nhưng có hàng triệu người cần dùng. Đó chính là cách phổ biến nhất ngày nay để trở thành triệu phú, áp dụng không chỉ cho các doanh nhân, nghệ sĩ, v.v., mà cho cả các nhà toán học.
AI có biết nghiên cứu toán?
Càng ngày, các “ông lớn” về AI càng khoe nhiều AI biết làm toán. Ví dụ như alphageometry của Google biết giải cả toán thi olympic quốc tế IMO. Điều này khiến các giáo sư toán phải nghĩ lại về cách dạy và cách kiểm tra kiến thức toán của sinh viên, và không tránh khỏi câu hỏi: liệu trong tương lai, AI có làm được nghiên cứu toán học tương đương với các nhà toán học chuyên nghiệp đang làm hiện nay không ?
Câu trả lời là: chắc chắn là có. Vấn đề chỉ là thời gian, và với tốc độ phát triển vũ bão của AI ngày nay thì tương lai đó không còn xa. Trong mười năm tới có thể sẽ xuất hiện những công trình nghiên cứu toán học tuyệt vời hoàn toàn do AI tạo ra.
Ngay từ khi chúng ta chưa biết đến các AI tạo sinh như kiểu chatGPT, các nhà toán học đã sáng chế ra các phần mềm dựa trên ngôn ngữ logic hình thức, ví dụ như LEAN hay GRAFFITI, có khả năng suy luận chặt chẽ, kiểm tra chặt chẽ các chứng minh toán học, và sáng tạo ra các giả thuyết, các định lý và các chứng minh. Khi kết hợp khả năng sáng tạo của các mô hình ngôn ngữ (language models) với khả năng suy luật chặt chẽ của những thứ như LEAN, cộng thêm với dạy cho máy đánh giá mức độ đẹp đẽ và hữu dụng của các phát minh toán học dựa theo các tiêu chí nào đó (chẳng hạn, một khái niệm mới là quan trọng nếu nó có nhiều ví dụ liên quan đến nhiều thứ đã có khác nhau và giúp giải quyết được vấn đề tồn đọng nào đó), thì dần dần AI sẽ tự xây dựng được các lý thuyết toán học đẹp đẽ, có ích và dạy lại được cho con người về các lý thuyết đó. Quá trình phát triển của toán học trên Trái đất là một quá trình đã kéo dài hàng nghìn năm, với từng khái niệm mới cần rất nhiều thời gian để hình thành rồi để khẳng định vị trí của nó. AI chắc chắn sẽ làm thúc đẩy nhanh quá trình này.
Đến khi AI biết nghiên cứu toán thì các nhà toán học sẽ làm gì, có thất nghiệp không, có đáng lo không? Câu hỏi về nghề nghiệp tương lai này không chỉ dành cho các nhà toán học, mà cho mọi ngành nghề.
Với tốc độ phát triển vũ bão của AI ngày nay thì trong mười năm tới có thể sẽ xuất hiện những công trình nghiên cứu toán học tuyệt vời hoàn toàn do AI tạo ra.
Câu trả lời là: các nhà toán học (và các chuyên gia trong các lĩnh vực khác) vẫn sẽ tồn tại, chỉ có cách làm việc của họ sẽ thay đổi. AI không thay thế họ, mà trở thành phụ tá đắc lực của họ, khiến cho họ trở nên hiểu biết hơn, giải quyết mọi công việc hiệu quả hơn, đưa ra được các quyết định sáng suốt hơn. v.v. Nếu chúng ta không buồn khi có cỗ máy khỏe gấp ngàn lần chúng ta, thì tại sao chúng ta lại phải buồn khi có AI hiểu biết gấp ngàn lần chúng ta. Ngược lại, chúng ta phải lấy đó làm vui, khi mà AI sẽ giúp chúng ta trở nên ngày càng hiểu biết hơn xưa.
Làm sao để thu hút học sinh sinh viên đi học toán?
Hiệu trưởng trường Đại học FPT có lần kể cho tôi rằng, khi trường mới mở ra chương trình đào tạo ngành toán, cho một số học bổng rất cao để thu hút sinh viên mà vẫn không thấy có sinh viên nộp đơn xin học. Trường liền nghĩ ra một kế: chương trình dạy về cơ bản vẫn như thế, nhưng bây giờ gọi nó là chương trình AI thay vì gọi là chương trình toán. Thế là lập tức sinh viên ùn ùn kéo đến xin học.
Để toán học thu hút được nhiều thêm học sinh sinh viên, thì các giảng viên toán cần giải thích cho học sinh sinh viên thấy được toán học thú vị ra sao, giúp con người thỏa mãn được cả về tinh thần và vật chất như thế nào, và cách nhanh nhất để giải thích điều đó trong thời đại AI ngày nay chính là gọi toán học là AI, giống như vị hiệu trưởng FPT đã làm!
Gọi như vậy có thể là hơi quá đáng, nhưng dễ hiểu và cũng không sai lệch nhiều. Bởi mọi khái niệm và công cụ toán học thật sự quan trọng, thật sự đáng học đối với nhiều người đều là những thứ sẽ có nhiều ứng dụng trong thực tế, và khi toán học được đem vào ứng dụng trong thực tế ở thời đại ngày nay thì nó trở thành AI. □
———–
Bài viết này dựa trên một số báo cáo của tôi trong năm qua, ở Pháp, ở Viện Nghiên cứu cao cấp về Toán VIASM (Việt Nam), ở chương trình hợp tác toán học Nga-Trung, và ở Đại học Porto (Bồ Đào Nha). Tôi xin cảm ơn các đồng nghiệp đã quan tâm đến các báo cáo này và đã có nhiều trao đổi thú vị về đề tài “Toán học và AI”.
——
*Giáo sư toán Đại học Toulouse, CEO Công ty Torus AI.
Bài đăng Tia Sáng số 1+2/2025
