Toán học với sự linh hoạt
Giờ đây thử hỏi, nếu thiếu đi sự linh hoạt – thứ từng tạo nên những cuộc “nổi loạn” tư tưởng – thì liệu toán học có được một diện mạo phong phú, sống động và sâu sắc như ta đang được chứng kiến hôm nay?
Toán học, từ lâu được ngưỡng vọng như một tháp ngà tĩnh tại, lạnh lùng của lý trí, là biểu tượng tối thượng của sự chặt chẽ và logic. Thế nhưng, không nhiều người để ý rằng, đằng sau cái dáng vẻ lạnh lùng, nghiêm cẩn ấy, toán học đã không ngừng thay đổi – thậm chí còn trải qua nhiều lần lột xác – để mở ra những cung đường băng qua hiểm trở, vẽ nên những khúc quanh kỳ diệu trong lịch sử phát triển trí tuệ loài người. Giờ đây thử hỏi, nếu thiếu đi sự linh hoạt – thứ từng tạo nên những cuộc “nổi loạn” tư tưởng – thì liệu toán học có được một diện mạo phong phú, sống động và sâu sắc như ta đang được chứng kiến hôm nay?
Từ hình học tuyệt đối đến những thế giới hình học mới: Toán học không chấp nhận sự phục tùng mù quáng, mà luôn đòi hỏi khả năng thay đổi, xem xét lại cả những điều tưởng chừng như đã được mặc định. Truyện kể rằng, suốt hơn hai nghìn năm, Định đề 5 của Euclid – “Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng, chỉ có duy nhất một đường thẳng song song với đường đã cho” – được xem như một chân lý bất biến. Nhiều nhà toán học tin rằng nó có thể được suy ra từ các tiên đề còn lại của Euclid – và chính niềm tin này đã dẫn đến một trong những câu chuyện ly kỳ nhất trong lịch sử toán học.
Đầu thế kỷ XIX, sau vô vàn nỗ lực bất thành nhằm chứng minh định đề đó, Lobachevsky và Bolyai – hoàn toàn độc lập với nhau – đã chủ động kiến tạo một khả thể khác. Thay vì cố tiếp tục chứng minh Định đề 5, cả hai đã dũng cảm và linh hoạt thay thế nó bằng tiên đề: “Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng, có thể kẻ ít nhất hai đường không cắt đường thẳng ấy”, đồng thời giữ nguyên các tiên đề khác. Trên nền tảng đó, họ đã độc lập xây dựng nên một hình học mới – chính là hình học hyperbolic, một dạng hình học phi Euclid, nơi không gian có tổng các góc trong tam giác luôn nhỏ hơn 180 độ, không còn tuân thủ trực giác Euclid.
Sự xuất hiện của hình học hyperbolic không chỉ khẳng định Định đề 5 không thể suy ra từ các tiên đề còn lại – chấm dứt nỗ lực kéo dài suốt nhiều thế kỷ của các nhà toán học – mà còn phá vỡ tính “tuyệt đối” của hình học Euclid, mở ra những cách hiểu hoàn toàn mới về hình học, cũng như thay đổi thế giới quan nhân loại.
Hình học hyperbolic đã được ứng dụng trong thuyết tương đối rộng của Einstein; trong việc mô hình hóa cấu trúc của một số mạng sinh học; và trong internet cũng như các mạng xã hội – nhằm phản ánh đặc trưng phân cấp và khả năng kết nối cao của các hệ thống này.
Có thể nói, nếu không có tinh thần dũng cảm vượt thoát khỏi những định kiến hàng nghìn năm, hẳn Lobachevsky và Bolyai cũng chỉ lặp lại những bế tắc như bao thế hệ trước. Hình học hyperbolic, còn là minh chứng rõ nhất cho nội hàm của một thông điệp mà Niels Bohr đã từng chia sẻ: “Điều trái ngược với một chân lý sâu sắc có thể cũng là một chân lý sâu sắc khác.”
Từ đường thẳng thực bước ra mặt phẳng phức: Lịch sử toán học còn ghi nhận nhiều bước ngoặt vĩ đại được tạo nên từ lòng can đảm và sự linh hoạt trong tư duy – khi con người dám “làm bạn” với những đối tượng nằm ngoài thế giới quan đương thời. Vào thế kỷ XVI, khi tìm ra công thức nghiệm của phương trình bậc ba, Cardano và học trò ông, Bombelli, đã gặp phải một đại lượng kỳ lạ: căn bậc hai của âm một. Thời ấy, đó là một chuyện động trời, bởi nó thách thức trực giác toán học.
Nhưng họ không chối bỏ. Thay vì lảng tránh hay phủ nhận, họ đón nhận và tiếp tục sử dụng nó. Số phức – một trong những khám phá kỳ vĩ nhất của toán học đã ra đời như thế. Khỏi phải nói số phức giữ vai trò to lớn như thế nào trong khoa học hiện đại – từ cơ học lượng tử, điện từ học, đến lý thuyết điều khiển, dao động, và xử lý tín hiệu, ảnh số. Vậy mà, tất cả chỉ bắt đầu từ sự linh hoạt, cởi mở, một tinh thần “chịu chơi” trí tuệ – một cú nhảy dũng cảm ra khỏi vùng “an toàn”.
Có lẽ chính từ sự dám phá vỡ những giới hạn của trực giác, toán học đã tiến vào những vùng đất chưa được khai phá, mở ra những bước tiến vĩ đại – không chỉ trong lý thuyết mà cả trong ứng dụng. Toán học, vì thế, không chỉ là sự phục tùng logic hay những quy tắc cứng nhắc, mà còn là một hành trình linh hoạt, sáng tạo, nơi mỗi bước nhảy mới đều đưa con người đến gần hơn với những phát minh kỳ diệu, thậm chí có thể làm thay đổi cả thế giới.
Từ nghịch lý đến nền tảng mới: Vào đầu thế kỷ XX, khi lý thuyết tập hợp của Cantor – nền tảng của toàn bộ toán học hiện đại – bị chấn động bởi nghịch lý Russell, tưởng chừng như tất cả có thể sụp đổ. Nhưng thay vì choáng váng và quay lưng lại với lý thuyết của Cantor, với óc khoa học cực kỳ linh hoạt, Zermelo và Fraenkel đã nhận ra rằng – cần thiết lập một nền tảng mới vững chắc cho lý thuyết tập hợp – một hệ thống trong đó không còn chỗ cho những nghịch lý kiểu Russell.
Vì vậy hệ tiên đề Zermelo–Fraenkel được thiết lập. Nó không chỉ phục hồi niềm tin vào nền móng toán học, mà còn mở ra một kỷ nguyên mới của logic học hiện đại – nơi sự chặt chẽ hình thức và tính nhất quán được đặt làm nguyên tắc tối thượng. Câu chuyện này một lần nữa cho thấy: chính tinh thần khoa học – linh hoạt, tỉnh táo và sâu sắc – dám đối mặt, thấu hiểu và “bao dung nghịch lý” thay vì ngoan cố phủ nhận, mới là đòn bẩy cho sự tái thiết bền vững.
Từ đại số sơ cấp đến đại số trừu tượng: Sự linh hoạt không chỉ nằm ở việc chấp nhận cái mới, mà còn là dám đặt ra những câu hỏi vượt thời gian. Ở tuổi 20, trước những bế tắc trong việc giải phương trình bậc năm của thời đại, Évariste Galois đã đặt ra một câu hỏi nền tảng: khi nào một phương trình đa thức có thể giải được bằng căn thức? Rồi tập trung toàn bộ sức lực để trả lời, ông đã khai sinh lý thuyết Galois. Lý thuyết ấy không chỉ giải thích được vì sao phương trình bậc năm không thể giải bằng căn thức, mà còn khai sinh một kỷ nguyên mới của đại số trừu tượng. Dù qua đời khi mới 20 tuổi, Galois – với tư duy cách mạng – đã để lại một dấu ấn vĩnh cửu trong lịch sử toán học. Ngày nay, lý thuyết Galois còn được ứng dụng trong lý thuyết trường lượng tử; lý thuyết dây và các dạng đối xứng; cũng như trong mã hóa, lý thuyết thông tin và mật mã học.
Từ khát vọng hoàn hảo đến sự bất toàn: Vào năm 1931, khi mới 25 tuổi, để trả lời câu hỏi: liệu một hệ tiên đề của toán học có thể tự chứng minh được tính nhất quán của chính nó? – trong chương trình Hilbert, Gödel đã xây dựng một cấu trúc logic tinh vi, từ đó phát biểu hai định lý bất toàn nổi tiếng. Kết quả gây chấn động: không một hệ tiên đề đủ mạnh nào mô tả số học lại có thể đồng thời vừa đầy đủ lại vừa nhất quán. Phát hiện này không chỉ làm lung lay niềm tin tuyệt đối vào các công cụ hình thức, giải thiêng khát vọng Hilbert, mà còn buộc con người phải điều chỉnh cách nhìn về chân lý và khả năng của lý trí. Dẫu vậy, nếu nhìn theo hướng lạc quan, Định lý bất toàn hé lộ một vẻ đẹp đầy minh triết: toán học, trong chính sự vĩ đại của nó, lại là lĩnh vực hiếm hoi có thể tự chứng minh được giới hạn của chính mình.
Có lẽ cũng nhờ tư duy linh hoạt, nên dù phải đối mặt với một giới hạn nghiêm trọng như vậy, cộng đồng khoa học vẫn không quay lưng với toán học hình thức, mà học cách tiếp nhận nó như một thực tế – và chính từ đó, những ngành mới như logic hiện đại, khoa học máy tính và lý thuyết thông tin đã ra đời.
Từ thực tại đến khả thể – sự mở rộng không ngừng: Tất cả những bước chuyển vừa điểm ở trên, đều có một điểm chung: toán học phát triển nhờ sự linh hoạt trong tư duy; không bó mình vào cái đã có, cũng như không sợ hãi trước những điều chưa từng biết đến. Ấy là sự dũng cảm thay đổi để giữ vững nguyên tắc cốt lõi làm nên sức sống của khoa học: tìm kiếm chân lý, chứ không phải gìn giữ những “ngôi đền thiêng” được dựng nên trong quá khứ. Đó chính là những di sản tinh thần mà những con người vĩ đại kia đã truyền lại.
Giống như dòng nham thạch âm ỉ dưới lớp vỏ cứng cáp, tư duy linh hoạt có thể phá vỡ trật tự cũ để kiến tạo nên những lục địa tư tưởng mới. Toán học là nơi cái đẹp được sinh ra từ trật tự – một thứ trật tự biết vượt qua chính mình để chạm tới những tầng cao hơn của cái đẹp lý trí. Và chính sự linh hoạt – âm thầm mà mãnh liệt – là nhịp đập bền bỉ, khiến cho ngọn “tháp ngà” toán học không chỉ sống động, mà còn không ngừng tái sinh, trong những hình hài tư duy mới của nhân loại□
Bài đăng Tia Sáng số 10/2025
