Toán học với sự thực dụng
Trong suốt chiều dài lịch sử khoa học, toán học luôn là công cụ quan trọng giúp khám phá và mô tả các quy luật của thế giới tự nhiên. Paul Dirac (1902 – 1984) – nhà vật lý lý thuyết người Anh, đồng nhận Giải Nobel Vật lý năm 1933 cùng Erwin Schrödinger (1887 – 1961) – từng nói rằng: “Toán học là một công cụ đặc biệt thích hợp để làm việc với các khái niệm trừu tượng và sức mạnh của nó trong lãnh vực này là vô tận.” Thế nhưng, không ít lần, những tư tưởng toán học trừu tượng – sinh ra từ nhu cầu thuần túy của tư duy – lại gặp cảnh trớ trêu khi bị chủ nghĩa thực dụng trong khoa học xem thường, thậm chí công kích.
Lý thuyết nhóm – từ dị biệt đến vinh quang: Vào thập niên 1930, tại Princeton, một nhóm các nhà vật lý và toán học tiên phong – trong đó có Eugene Wigner (1902–1995), Hermann Weyl (1885–1955) và John von Neumann (1903–1957) – đã đưa lý thuyết nhóm và lý thuyết biểu diễn vào nghiên cứu và giảng dạy vật lý lượng tử. Việc này vấp phải sự phản đối mạnh mẽ từ nhiều nhà vật lý theo khuynh hướng thực chứng. Tiêu biểu trong số đó là John C. Slater (1900–1976) – một trong những nhà vật lý lý thuyết hàng đầu của Hoa Kỳ, đồng thời là người có ảnh hưởng lớn đến định hướng học thuật đương thời. Với uy tín to lớn, Slater công khai bày tỏ quan điểm rằng lý thuyết nhóm – dù đẹp đẽ về mặt toán học – lại hoàn toàn thiếu tính trực quan vật lý, là một trừu tượng hóa không cần thiết, gần như vô dụng trong việc giải quyết các bài toán cụ thể. Ông thậm chí cho rằng việc giảng dạy lý thuyết này có thể khiến người học xa rời bản chất đích thực của vật lý.
Hơn thế nữa, Slater không ngần ngại công kích việc sử dụng nhóm Lie và lý thuyết biểu diễn trong mô tả spin và các đối xứng lượng tử – những hướng đi đang được Wigner và Weyl tiên phong khai mở. Tất nhiên, lịch sử cuối cùng đã đảo chiều. Chính lý thuyết nhóm – từng bị xem là một xa xỉ phẩm toán học – về sau lại trở thành ngôn ngữ chính thức của vật lý hạt hiện đại, đóng vai trò trọng yếu trong việc mô tả các lực cơ bản và các hạt cơ bản trong Mô hình Chuẩn.
Năm 1963, Wigner – người từng bị Slater xem là xa rời thực tiễn – đã được trao Giải Nobel Vật lý nhờ những đóng góp sâu sắc trong việc phát hiện và áp dụng các nguyên lý đối xứng, thông qua lý thuyết nhóm, vào thế giới lượng tử. Đó là một bước ngoặt lớn, minh chứng cho việc cái trừu tượng lại có khả năng dẫn dắt ta đến những sự thật khách quan – điều mà các phương tiện trực giác hay kinh nghiệm cảm tính không thể đạt tới.
Câu chuyện về những người tri kỷ với lý thuyết nhóm tất yếu gợi nhớ đến cha đẻ của nó: Évariste Galois (1811–1832) – thiên tài bạc mệnh người Pháp, người đã đặt nền móng cho lý thuyết mang tên ông. Đáng tiếc, vào thời của Galois, bản thảo công trình của ông bị các học giả đương thời xem nhẹ, nhiều người chỉ trích tính trừu tượng thái quá, thậm chí khước từ đọc vì cho rằng đó là những ý tưởng “khó hiểu và phi thực tế”. Galois qua đời trong một cuộc đấu súng khi mới 21 tuổi. Công trình – đứa con tinh thần ấy – được lưu giữ và gìn giữ bởi Auguste Chevalier, người bạn thân thiết của ông. Galois đã viết trong một bức thư cuối đời: “Tôi không sợ chết, tôi chỉ tiếc rằng mọi người chưa hiểu tôi.”
Sự thật khoa học không phụ thuộc vào sự đồng thuận nhất thời, mà được xác lập nhờ thời gian, bằng chứng và sự công tâm.
Mãi đến năm 1846, tức 14 năm sau ngày ông mất, bản thảo của Galois mới được Joseph Liouville (1809–1882) công bố. Và phải đợi đến năm 1870, nhờ những luận giải có hệ thống và tường minh của Camille Jordan (1838–1922) mới thực sự khiến giới toán học kinh ngạc trước chiều sâu của tư tưởng Galois. Lý thuyết đó không chỉ đặt nền tảng cho đại số trừu tượng hiện đại mà còn trở thành công cụ không thể thiếu trong lý thuyết trường lượng tử, lý thuyết dây, mật mã học và công nghệ số ngày nay.
Lịch sử cho thấy: khi chủ nghĩa thực dụng đi cùng với định kiến, nó dễ trở thành lực cản tư duy. Trong khoa học, trực giác là quý giá, nhưng nó cần phải được kết hợp với tư duy trừu tượng mới thực sự là nguồn sáng mở ra những chân trời mới. Thực dụng, nếu thiếu tầm nhìn và tưởng tượng, dễ dẫn đến hẹp hòi và thiển cận. Sự thật khoa học không phụ thuộc vào sự đồng thuận nhất thời, mà được xác lập nhờ thời gian, bằng chứng và sự công tâm. Thời gian không chỉ là thước đo chân lý, mà còn là tấm gương âm thầm phản chiếu phẩm giá của con người – khi đứng trước điều chưa thể thấy.
Đại số Boole – con đẻ của “kẻ dở hơi”: The Laws of Thought và The Gadfly – hai tác phẩm tưởng chừng chẳng liên quan, một thuộc về lý trí, một thuộc về cảm xúc – nhưng lại cùng là hành trình phá bỏ ảo tưởng để truy cầu chân lý và tự do. Bạn còn nhớ Ruồi trâu – cuốn tiểu thuyết từng khuấy động tâm hồn bao thế hệ thanh niên Việt Nam suốt nửa cuối thế kỷ XX? Nhưng đừng vội ngạc nhiên khi nó xuất hiện ở đây – bởi điều bất ngờ đang tới: tác giả của nó, Ethel Lilian Voynich (hay Ethel Boole), chính là con gái của George Boole – người khai sinh ra The Laws of Thought, và cũng là nhân vật trung tâm trong câu chuyện sắp được kể sau đây.
George Boole (1815 – 1864) – nhà toán học người Anh–gần như vô danh khi còn sống. Trong tác phẩm The Laws of Thought (1854), ông đã hình thức hóa tư duy logic – sau này gọi là Đại số Boole. Tuy nhiên, các học giả đương thời cho rằng công trình của ông không ăn nhập gì với toán học hay khoa học thực nghiệm. Ông bị coi là một người “dở hơi”, mải mê với những ký hiệu tượng trưng cho tư duy, chứ không giúp gì cho công nghiệp hay đời sống. Boole là người tiên phong cô đơn, phải chiến đấu với định kiến của thời đại và hoàn cảnh gia đình khó khăn. Ông ra đi ở tuổi 49.
Phải chờ đến năm 1937, Đại số Boole mới được Claude Shannon (1916–2001), một kỹ sư trẻ người Mỹ khi đang là sinh viên cao học tại MIT, sử dụng để thiết kế mạch điện nhị phân, từ đó đặt nền móng cho máy tính hiện đại. Ngày nay, từ các bộ vi xử lý cho tới trí tuệ nhân tạo, mọi hoạt động máy tính đều dựa trên logic Boole – thứ từng bị xem là “lý thuyết chơi chữ”.
Thật khó ngờ rằng: “tư duy logic trừu tượng” lại trở thành trái tim của máy tính. Thực dụng ngắn hạn thường làm lu mờ tầm nhìn dài hạn. Khoa học luôn cần không gian cho ý tưởng táo bạo và tự do sáng tạo – kể cả khi chưa rõ ngay giá trị thực tiễn. Lịch sử khoa học không ít lần chứng minh: chính những điều bị coi là ngớ ngẩn hôm nay, lại có thể trở thành chân lý nền tảng của ngày mai – miễn là chúng được sinh ra từ một trí tuệ tự do, dám đi trước thời đại.
Định lượng vô hạn – cái giá phải trả: Nếu lý thuyết nhóm và Đại số Boole từng bị xem là vô dụng: “không áp dụng được”, thì lý thuyết tập hợp của Cantor còn bi đát hơn: không chỉ bị gạt bỏ, mà còn bị kết án là phi logic và vô nghĩa. Một lần nữa, chủ nghĩa thực dụng trong toán học tỏ ra thiển cận trước những tư tưởng mới lạ, khó hiểu vào thời điểm chúng xuất hiện.
Georg Cantor (1845 – 1918) khai sinh ra lý thuyết tập hợp và là người đầu tiên phân biệt các loại vô hạn. Bằng việc đưa ra khái niệm bản số hay lực lượng của một tập hợp – một mở rộng rất bản chất của khái niệm số lượng trong các tập hợp hữu hạn phần tử – ông chỉ ra rằng có lực lượng của tập hợp vô hạn này lớn hơn lực lượng của tập hợp vô hạn kia. Và đặc biệt hơn nữa: tập hợp các điểm của đoạn thẳng, đường thẳng, mặt phẳng hay toàn bộ không gian – tất cả đều có cùng một lực lượng. Một kết quả khiến giới toán học thời bấy giờ sửng sốt, bởi nó vượt xa trực giác và cả khuôn khổ tư duy truyền thống.
Cantor bị chính các đồng nghiệp chế giễu, cho là “đưa thần học vào toán học”. Thậm chí, Leopold Kronecker – một nhà toán học đương thời – công khai phản đối, với phát biểu đầy ẩn ý: “Số nguyên là do Thượng đế tạo ra, còn mọi thứ khác là do con người bịa ra.” Cantor chịu áp lực nặng nề, đến mức rơi vào trầm cảm và phải điều trị trong viện tâm thần. Phải chăng, âu cũng là cái giá mà ông đã phải trả, để giúp nhân loại biết định lượng cái vô hạn – giống như loài người thuở xưa từng phải vượt qua mông muội để nhận thức được số lượng!?
Dòng chảy toán học cho thấy rằng nhiều bước tiến vĩ đại trong toán học được bắt đầu từ sự trừu tượng, thậm chí mơ hồ, hoặc tưởng chừng vô nghĩa.
“Không phải tôi điên – mà chính sự thù địch đã khiến tôi hóa điên” – Georg Cantor. Buồn thay, không phải ai cũng hiểu được nhà cách mạng khi họ còn sống. Nhưng nếu thiếu những “kẻ điên như Cantor”, nhân loại có lẽ vẫn chưa định nghĩa nổi những con số. Lịch sử khoa học không chỉ được viết bằng công thức và định lý, mà còn bằng nỗi cô đơn của những trí tuệ vượt thời đại. Giống như chính vô hạn mà ông theo đuổi, di sản của Cantor là một minh chứng sống: chỉ khi con người dám nghĩ vượt khỏi cái hữu hạn, thì khoa học mới có thể chạm đến cái tuyệt đối.
Ngày nay, ngôn ngữ lý thuyết tập hợp của Cantor đã thấm vào từ những trang sách của trò tiểu học đến những công trình khoa học đỉnh cao. Và thử hỏi, nếu không có lý thuyết tập hợp, thì toán học đương đại sẽ ra sao? Thế kỷ XX chứng kiến sự phục hưng của lý thuyết này, biến nó thành nền tảng cho toán học hiện đại, cơ sở cho logic hình thức, lý thuyết máy tính, và lý thuyết vật lý.
Một câu hỏi lớn: Ba lý thuyết – ba số phận – cùng chung một bi kịch: bị coi thường, bị phủ nhận, thậm chí bị kết án… Lịch sử khoa học dường như còn là lịch sử của những cuộc chiến, không chỉ với tư tưởng thực dụng, mà còn với định kiến và lòng đố kỵ. Đành rằng thời gian sẽ phán xét tất cả, nhưng biết lấy gì để bù đắp cho những con người kiệt xuất kia?
Dòng chảy toán học cho thấy, nhiều bước tiến vĩ đại trong toán học được bắt đầu từ sự trừu tượng, thậm chí mơ hồ, hoặc tưởng chừng vô nghĩa. Khoa học không chỉ là sự thật đã được kiểm chứng – mà còn là lòng can đảm bước vào vùng bóng mờ của tư duy, nơi trực giác còn chưa thể thấy. Toán học – ngỡ như lạnh lùng và phi nhân tính – thực ra lại là chiếc la bàn tinh nhạy nhất của trí tuệ con người, dẫn dắt nhân loại thoát khỏi lối mòn của cái “thực dụng” tầm thường, để mở ra những chân trời mới. Dẫu vậy, vẫn còn đó lời cảnh tỉnh – thấm đẫm thất vọng – của Alexander Grothendieck, người đã từ bỏ đỉnh cao vinh quang, đoạn tuyệt với thế giới học thuật, và sống ẩn dật nơi rừng núi suốt gần hai thập niên cuối đời: “Toán học – nếu là cuộc truy cầu chân lý – thì phải rút lui, khi xã hội không còn đi tìm chân lý nữa.”□
Bài đăng Tia Sáng số 14/2025
