David Hilbert- Nhà Toán học thông thái cuối cùng của thế kỷ 20

David Hilbert là nhà Toán học lớn nhất của nhân loại trong nửa đầu thế kỷ 20. Hermann Weyl*.

David Hilbert (1862 – 1943) (Archives of P. Roquette, Heidelberg).

Dấu hiệu đầu tiên của nhà Toán học tương lai

David Hilbert sinh ngày 23 tháng 1 năm 1862 tại Wehlau, gần thành phố Königsberg, thủ đô của Đông Phổ.Cha của David là một luật gia làm việc tại tòa hành chánh thành phố này. Ở trường, David học tiếng La tinh, tiếng Hy Lạp, toán học, và nhiều kiến thức xã hội nhưng không hứng thú mấy với hai môn ngoại ngữ bởi vì phải nhớ nhiều và không có chỗ cho suy nghĩ độc lập. Chỉ có môn toán là chàng thích nhất vì nó không đòi phải học thuộc lòng và “dễ học và không cần cố gắng mấy.” Trong khi “mẹ chàng giúp chàng làm bài luận văn đem về nhà, thì tại lớp học, David giúp thầy giáo giảng giải những bài toán khó.” Các thầy giáo nhận xét “David ham thích toán học và tỏ ra có hiểu biết rất sâu sắc về bộ môn này” . Đây là dấu hiệu đầu tiên của một nhà toán học tương lai.

Mùa Thu năm 1880, David Hilbert vào ĐH Königsberg, trường khá tốt về các ngành khoa học của Đức thời bấy giờ. Đối với David Hilbert, điều tốt nhất trong thời gian ở đây là được gặp gỡ, kết thân với hai nhà Toán học trẻ tài năng Hermann Minkowski (1864 – 1909) và Adolf Hurwitz (1859 – 1919).

Mùa Xuân năm 1882, một chàng trai 17 tuổi rụt rè nhút nhát tên là Hermann Minkowski chuyển về trường ĐH Königsberg sau khi học xong năm thứ nhất tại ĐH Berlin.  Mặc dù còn ít tuổi, nhưng Minkowski đã có một giải thưởng về Toán tại ĐH Berlin và có một số thành quả trong nghiên cứu Lý thuyết số. Vừa mới về Königsberg, Minkowski lại được công bố thắng giải thưởng lớn của Hàn lâm Viện khoa học Paris năm 1883 (cùng chia giải thưởng với nhà Toán học người Anh Henry Smith). Tin tức về Minkowski làm chấn động Königsberg. Tài năng toán học của Hilbert cũng vừa ló dạng tại đây, lại xấp xỉ tuổi nhau (Hilbert lớn hơn Minkowski hai tuổi), cho nên hai chàng trai dễ dàng thân thiết, mặc dù cha Hilbert khuyên “không nên quá gần gũi người nổi tiếng.”

Mùa Xuân năm 1884, một giảng viên 25 tuổi tên là Adolf Hurwitz mới được tuyển vào trường. Vừa mới gặp gỡ, Hilbert nhìn thấy ở thầy giáo trẻ này sự khiêm tốn dễ mến và một sự thông minh không lẫn được qua cặp mắt xanh xám long lanh. Hai chàng sinh viên Hilbert và Minkowski mau chóng làm quen với Hurwitz, rồi cả ba trở nên thân thiết. Họ trao đổi, bàn luận gần như đủ khắp các ngõ ngách của toán học.

Cuối Đông năm 1885, Hilbert tốt nghiệp tiến sĩ với luận án về Lý thuyết hàm bất biến. Hurwitz gợi ý Hilbert nên về trường ĐH Leipzig làm việc dưới sự hướng dẫn của nhà Toán học nổi tiếng Felix Klein (1849 – 1925). Sau này Klein kể lại: “Chỉ nghe chàng trai trẻ này giảng bài cho sinh viên là tôi nhận ra ngay đây chính là con người mà toán học đang mong đợi.”

Phương pháp có tính cách mạng

Paul Gordan (1837 – 1912), nhà Toán học Đức, từng được mệnh danh là “vua các bất biến” đã chứng minh được định lý về tính hữu hạn của các bộ sinh cho các dạng tuyến tính (the finiteness of generators for linear forms), nhưng ông không thể mở rộng bài toán của mình cho những hàm có hơn hai biến. Người ta gọi đây là bài toán Gordan.

Hilbert bắt tay vào nghiên cứu bài toán nổi tiếng này và tháng 12 năm 1888 công bố đầy đủ lời giải. Phương pháp mà Hibert sử dụng hoàn toàn xa lạ, không theo con đường thông thường nên ngay sau đó có nhiều người cho rằng phương pháp “kỳ cục”, “thảm họa”, nhưng sau họ từ từ nhận ra rằng chứng minh của Hilbert không những đúng mà còn có tính cách mạng.

Trong hai năm sau đó, Hilbert tiếp tục làm việc trên Lý thuyết bất biến. Năm 1892, những đóng góp của ông có thể xem như kết thúc cho việc nghiên cứu lý thuyết này. Ông viết cho Minkowski – khi ấy đang giảng dạy tại ĐH Bonn: “Tôi tin rằng những vấn đề lớn của lý thuyết trường hàm sinh ra bởi những bất biến đã giải quyết xong. Từ nay tôi sẽ từ giã lĩnh vực này.” Nhà toán học trẻ tuổi của chúng ta vừa mới hoàn tất một chủ đề của Toán học mà đã có ngay một vị trí trong cộng đồng toán học Đức và của cả châu Âu. Mục tiêu kế tiếp của ông sẽ là Lý thuyết số đại số (Algebraic number theory).

Ba năm tiếp theo có một số thay đổi quan trọng trong cuộc đời của Hilbert. Năm 1892, ông lập gia đình nhưng bất hạnh là đứa con duy nhất bị thiểu năng trí tuệ từ nhỏ. Adolf Hurwitz, người thầy và cũng là người bạn thân của Hilbert rời khỏi ĐH Königsberg để nhận chức giáo sư thực thụ tại Viện Kỹ thuật Liên bang Thụy Sĩ (ETH), bỏ trống ghế giáo sư thực thụ tại ĐH Königsberg. Hermann Minkowski cũng rời Königsberg để trở thành giáo sư thực thụ tại ĐH Bonn. Bỗng nhiên chỉ còn một mình Hilbert trong bộ ba thân thiết ở lại.

Năm 1893, Hội Toán học Đức (DMV = Deutsche Mathematiker-Vereinigung) giao cho Hilbert và Minkowski viết một báo cáo về Lý thuyết số, công việc phải hoàn tất trong hai năm. Hilbert rất sung sướng nhận công việc này vì đây là cơ hội để ông đặt lại nền tảng cho Lý thuyết số mà tới thời gian ấy vẫn còn một số vấn đề tồn đọng trong cách sử dụng ký hiệu cũng như trong một số chứng minh. Hơn thế, Hilbert còn thấy củng cố Lý thuyết số sẽ là tiền đề để phát triển Lý thuyết số đại số một cách sâu rộng hơn.
 

Tòa nhà giảng đường Maximum ở Göttingen, nơi Hilbert làm việc. (xây trong khoảng 1826- 1865).

Thời gian ấy, nhà toán học 31 tuổi của chúng ta được phong giáo sư thực thụ. ĐH Königsberg mặc dù có truyền thống nghiên cứu khoa học rất tốt nhưng vẫn còn nằm ngoài các trung tâm nghiên cứu khoa học thuộc dòng chính của Đức. Hilbert vẫn chờ cơ hội.

Mùa Thu năm 1894, tiếng gọi từ Göttingen đã vọng về tới Hilbert. Giáo sư Heinrich Weber (1842 – 1913) sẽ rời Göttingen để đến Strasburg. Giáo sư Felix Klein, đứng đầu khoa toán tại Göttingen đề nghị cho Hilbert về thế chỗ này.  Klein gửi thư cho Hilbert: “Tôi tin anh sẽ đem về thêm sức mạnh vốn có sẵn tại Göttingen này. Toán học ở đây từ trước tới giờ vẫn phát triển, nhưng nó sẽ phát triển nhanh và rộng thêm nữa khi có anh về.” Giấc mơ của Hilbert nay đã thành sự thực.

Một bước dài trong lý thuyết toán học

Trường ĐH Göttingen, một trong số ít trung tâm toán học của thế giới của thế giới cuối thế kỷ 19 đầu thế kỷ 20 đón chào David Hilbert vào mùa Xuân năm 1895.

Ta còn nhớ năm 1893, Hội Toán học Đức (DMV) giao cho Hilbert và Minkowski viết một báo cáo về Lý thuyết số.  Công việc của Minkowski có vẻ như bị chậm lại vì một lí do nào đó, trong khi Hilbert đã hoàn tất phần việc của mình và DMV công bố phần Hilbert đã viết xong vào năm 1897.  Đó chính là cuốn sách danh tiếng Die Theorie der algebraischen Zahlkörper (Lý thuyết trường các số đại số).  Hermann Weyl viết về tác phẩm này như sau: “Đây là một hạt ngọc trong tài liệu sách vở toán học. Thậm chí cho tới ngày nay, sau hơn nửa thế kỷ, việc nghiên cứu cuốn sách này vẫn cần thiết cho những ai muốn thấu hiểu lý thuyết về các số đại số.”

David Hilbert (ngoài cùng bên phải) bên gia đình và bạn bè.

Suốt trong hai năm kế tiếp, Hilbert chỉ nói và viết về các trường số. Bài báo cuối cùng và cũng là bài báo quan trọng nhất của Hilbert về lĩnh vực này công bố năm 1899 nói về lý thuyết mở rộng Abel của các trường số, nền tảng của lớp trường (class fields). Nếu như trước đây Hilbert nói kết thúc việc nghiên cứu Lý thuyết bất biến (đóng vấn đề lại), thì nay với việc nghiên cứu Lý thuyết trường các số đại số, Hilbert đã mở tung cánh cửa này ra.

Thời gian từ 1898 đến 1902, Hilbert chuyển sang nghiên cứu nền tảng của hình học.  Ông bị thu hút bởi ý tưởng tiên đề hóa. Với cách tiếp cận tiên đề hóa, hình học trở thành một hệ thống suy diễn giả định (hypothetico-deductive system).  Không cần thiết phải biết điểm, đường thẳng và mặt phẳng là gì. Những gì cần là thiết lập một hệ thống tiên đề thỏa mãn những điều kiện phi mâu thuẫn (consistency), độc lập (independence) và đầy đủ (completeness). Rồi từ đó người ta có thể lý luận thuần túy hình thức, dẫn ra được những định lý và chứng minh được chúng, chúng có thể áp dụng cho tập hợp những cái ghế, những cái bàn, những hàm số,… Dùng hệ thống lý luận như thế, Hilbert cho thấy Hình học phi Euclid cũng chặt chẽ như Hình học Euclid và cũng chặt chẽ như Lý thuyết số vậy.

Năm 1899, Hilbert xuất bản cuốn Grundlagen der Geometrie (Nền tảng của Hình học). Tác phẩm nhanh chóng nổi tiếng. Henri Poincaré bình luận: “Hilbert đã bước một bước dài trong lĩnh vực lý luận Toán học.” Thật vậy, không những Hilbert đóng góp lý luận chặt chẽ qua phương pháp tiên đề vào lĩnh vực hình học, mà phương pháp tiên đề hóa này và tính chặt chẽ của nó có ảnh hưởng trên nhiều lĩnh vực khác của toán học sau này nữa: Đại số (Nhóm, Vành, Trường), Giải tích (Không gian Hilbert, Không gian Banach),…

Cuối năm 1899, Hilbert mở lớp về phép tính biến phân (Calculus of variations). Nhà Toán học 37 tuổi của chúng ta lúc này thật chín chắn nhưng vẫn còn tràn đầy sinh động như thời ở Königsberg. Ông đã để lại nhiều ấn tượng và sự ngưỡng mộ của học viên. Max von Laue (1879 – 1960), một nhà Vật lý Đức, giải Nobel năm 1914, học trò của Hilbert thời gian này, nói: “Trong tâm trí tôi, con người này là một thiên tài vĩ đại nhất mà tôi từng biết.”

Tương lai của Toán học

Một trong những danh dự lớn nhất của một nhà Toán học trong suốt cuộc đời là được mời đọc bài diễn văn chính thức trong Đại hội Các nhà Toán học thế giới (ICM) mỗi bốn năm họp một lần.  Đại hội đầu tiên (1896) danh dự ấy dành cho Henri Poincaré.  Đại hội lần thứ hai (1900), danh dự ấy thuộc về David Hilbert, đây là cách mà thế giới công nhận những thành tựu to lớn trong lĩnh vực toán học của David Hilbert. Bài diễn văn của Hibert nổi tiếng trong lịch sử toán học như là một lời tiên tri và khắc họa những gì các nhà toán học sẽ phải làm trong tương lai.

“Lịch sử đã cho ta thấy sự phát triển của khoa học là liên tục. Chúng ta biết rằng mỗi thời kỳ có những bài toán mà thời kỳ kế tiếp phải giải, hoặc là để chúng qua một bên, thay thế bằng những bài toán khác. Nếu chúng ta muốn hình dung sự phát triển của toán học trong tương lai gần, chúng ta phải bỏ qua những bài toán còn tồn đọng trong trí và chú ý vào những bài toán mà toán học hôm nay đặt ra cho tương lai phải giải.

Chúng ta đang bước vào thế kỷ 20, đúng là lúc chúng ta phải nhìn ra những bài toán này. Thật vậy, sự phân chia thế kỷ không những cho phép chúng ta nhìn lại quá khứ mà còn đưa tư tưởng chúng ta vào tương lai.

Vai trò to lớn của các bài toán đối với sự phát triển của toán học và ảnh hưởng của một số bài trên sự nghiên cứu của các nhà toán học là không thể chối cãi được.  Khi mà một ngành toán học nào đó nảy sinh ra nhiều vấn đề thì rõ ràng là ngành toán học đó đang phát triển phong phú.  Ngược lại, ngành toán học nào thiếu vấn đề mới thì, hoặc là nó phát triển chậm, hoặc là nó đang dừng lại (chết). Cũng như trong cuộc sống, con người cần phải có mục đích để theo đuổi, các nhà toán học cũng cần phải có những bài toán để giải. Sức mạnh của nhà toán học thể hiện qua việc nghiên cứu tìm ra lời giải. Rồi sẽ phải có những phương pháp mới, những cách nhìn mới, và các nhà toán học sẽ tìm ra những chân trời mới.”

“Các nhà toán học chúng tôi thường đo lường sự tiến bộ của mình bằng cách đối chiếu những gì mình đã làm được với những vấn đề Hilbert đã đặt ra” – Hermann Weyl.

Hai mươi ba bài toán được Hilbert nêu ra trong dịp này, nay thường gọi là hai mươi ba bài toán Hilbert có một vai trò quan trọng –  là những khúc quanh có tính chất bản lề cho sự phát triển toán hiện đại. “Các nhà toán học chúng tôi thường đo lường sự tiến bộ của mình bằng cách xem xét những gì mình đã làm được đối chiếu với những vấn đề Hilbert đã đặt ra”  – Hermann Weyl.  Danh sách các nhà Toán học đóng góp công sức tìm cách giải các bài toán này hầu hết là những nhà toán học hàng đầu.

Đầu thế kỷ 20, Hilbert giảng dạy về phương trình tích phân và lý thuyết thế vị (potential theory).  Bây giờ ông nổi tiếng đến nỗi sinh viên từ nhiều nơi trên thế giới, kể cả Mỹ, nhiều nhà toán học đã và sẽ thành danh, tìm về Göttingen nghe ông giảng.  Tạp chí Bulletin of the American Mathematical Society (tạp chí của Hội Toán học Mỹ) vừa mới thành lập, thường xuyên đăng bài giảng mới nhất của Hilbert.  Một số Hàn lâm Viện có tiếng bầu ông vào làm thành viên.

Năm 1902, do sự vận động của Hilbert, Minkowski từ Zurich chuyển về Göttingen.  Theo gợi ý của Minkowski, Hilbert bắt đầu chuyển sang nghiên cứu Toán-Vật lý, bộ môn ông cũng rất thích thú và có nhiều khả năng, chỉ sau Lý thuyết số. Riêng Minkowski, từ ngày sang Zurich giảng dạy, ông đã chuyển hẳn sang bộ môn này, và chính Minkowski là người đã đưa thêm chiều thời gian vào không gian ba chiều thông thường của chúng ta thành không-thời-gian (space time) (bốn chiều), làm bệ phóng cho người học trò tên là Albert Einstein, vài năm sau bay vút lên bằng Lý thuyết tương đối (rộng) của mình.

Trong thời gian Thế chiến thứ nhất, Hilbert tiếp tục nghiên cứu về Toán-Vật lý.

Sau Thế chiến thứ nhất, Hilbert chuyển sang nghiên cứu về Nền tảng của toán học (The foundations of Mathematics). Nhưng sức khỏe của Hilbert xấu dần giữa những năm 1920. Từ năm 1928 trở đi, hoạt động nghiên cứu của Hilbert coi như chấm dứt.

Hilbert bắt đầu cuộc sống cô đơn. Trí nhớ của ông kém dần. Khi có khách tới thăm, ông lắng nghe một cách chăm chú, lịch sự, nhưng trả lời vô hồn, không dính dáng gì tới câu hỏi.  Mùa Xuân năm 1943, Hilbert qua đời, thọ tuổi 81.

Ánh sáng đã tỏa sáng từ ĐH Göttingen suốt trong gần nửa thế kỷ, nay đã tắt, và Göttingen chìm trong bầu trời đen tối của Đức Quốc xã.  □

———-

^*Hermann Weyl (1885 – 1955), nhà Toán học Mỹ gốc Đức, một trong những người sáng lập nên Viện Nghiên cứu Cao cấp Princeton (IAS).

Độc giả có thể đọc thêm bài viết chi tiết về Hilbert tại trang của TS Lê Quang Ánh: Rosetta.vn/lequanganh.