Gôdel và bản tính của chân lý toán học

Như nhà chủ nghĩa thực chứng lí luận quan niệm, phần lớn sự kinh hoàng đưa đến hậu quả trong Đại chiến là do sự suy nghĩ lộn xộn mà ra. Người ta tuyên xưng là biết những điều không có cách nào họ khả dĩ biết được. Những quan tâm chính trị đã đem lại sự hăng say cho vận động kia. Nếu chúng ta khiêm tốn hơn trong những tuyên xưng về tri thức của chúng ta, có lẽ chúng ta sẽ tránh được phần nào cái bi kịch mà loài người chúng ta có hướng ngả theo. Nhiều người trong bọn họ – chắc chắn có Neurath và Carnap – cũng có chính trị thiên tả nữa. Họ dịu giọng khi sang Hoa Kì. Nhưng ở Vienna, khi Gôdel còn ở đó, có một sự hăng say trong cố gắng nghĩ lại ngôn ngữ và những giới hạn của điều gì ta có thể nói.
Wittgenstein có một ảnh hưởng cực lớn lên Nhóm Vienna gồm những nhà thực chứng lí luận. Ông đã viết cuốn Tractatus Logico-Philosophicus [Luận về triết học Luận lí] trong những chiến hào của Thế chiến 1. Trong sách đó, xuất bản năm 1922, ông cố gắng phác thảo những phạm vi riềm ngoài của ngôn ngữ và chứng tỏ rằng ngôn ngữ có một biên giới quanh nó. Có những quy luật cho phép chúng ta nói điều gì nói được, và có rất nhiều thứ nằm bên kia biên giới. Ông ghi nhận là phần lớn những điều quan trọng không thể nói được.

Nhưng ở đó ông bất đồng ý kiến với những người thực chứng lí luận. Những người thực chứng chiến đấu về phía bên kia đường phân ranh; ngoài cái nói được chẳng có gì hết cả. Xa hơn cái chúng ta có thể nói không có gì cả. Nhưng Wittgenstein thực sự tin rằng chiều quan trọng nhất, cái mà ông tham chiếu như là “điều huyền nhiệm” (the mystical) chỉ là không nói được mà thôi, không hề có nghĩa là nó không tồn tại. Nếu chúng ta cố nói nó, chúng ta sẽ thốt ra cái vô nghĩa. Nhưng nó là cái vô nghĩa quan trọng. Vậy nên, Wittgenstein không thực sự là một nhà thực chứng. Nhưng Nhóm Vienna lại cứ hiểu ông là một nhà thực chứng và họ thán phục ông quá chừng. Họ ra công học tập cuốn Tractatus và họ học nó suốt một năm ròng. Và nó là một cuốn sách mỏng! Họ gặp nhau mỗi tối thứ năm và học từng câu một trong cuốn Tractatus. Cuốn sách có bề ngoài rất sáng tỏ, nhưng thực ra nó khá tối tăm. Nó hoàn toàn đẹp, hoàn toàn mang tính thơ, nhiều chất nghệ thuật hơn là khoa học, như thực tế nhà lí luận học Frege đã viết cho Wittgenstein, ở một trong những bức thư dường như tán tụng kia mà một tác giả có lẽ không nên nhận được thì hơn. Mặc dù những nhà thực chứng khởi hứng từ Wittgenstein, ông này có một thái độ lưỡng lự đối với họ. Ông ta chỉ nói chuyện với một ít người: Schlick và Friedrich Waissman, một đệ tử sùng bái Wittgenstein. Wittgenstein là một người có cá tính mạnh mẽ, một người có mị lực rất lớn.

Wittgenstein lúc đó mới khoảng bước qua tứ tuần. Ông đã sang học ban cử nhân ở Đại học Cambridge trước chiến tranh và đã khiến Bertrand Russell bị kích động. Russell, cùng với Alfred North Whitehead, đã viết bộ sách Principia Mathematica [Những nguyên lí toán học], ra sức giảm trừ số học vào lí luận và lí thuyết tập hợp (set theory). Một vấn đề trùm lấp là làm sao bảo vệ hệ thống luận lí và lí thuyết tập hợp của bạn tách khỏi những tập hợp nghịch lí. Bản thân Russell đã từng khám phá ra một trong những tắc ách này của lí tính tiên nghiệm: tập hợp của mọi tập hợp vốn không phải là thành phần của chính chúng. Điều này dẫn tới một nghịch lí – bạn thấy điều này khi bạn hỏi phải chăng tập hợp này là một thành phần của chính nó: nếu nó là thì ắt nó không là, và nếu nó không là thì ắt nó là. Nói cách khác, không thể có một tập hợp như thế bởi vì nó dẫn tới nghịch lí. Vì vậy, hệ thống hình thức của bạn phải chặn sự hình thành loại tập hợp này, và những cái khác khi chúng dẫn tới những nghịch lí. Tác phẩm Những nguyên lí toán học của Russell và Whitehead có một tập hợp những quy luật đặc biệt – họ gọi nó là lí thuyết về kiểu mẫu (the theory of types) – chúng sẽ canh để gạt ra ngoài lí thuyết tập hợp những tập hợp vấn nạn nhất định – loại tập hợp mang lại nghịch lí. Nhưng điều này hoàn toàn tùy tiện. Họ không có một lí thuyết về những gì đang diễn tiến ở đó, và họ phát ra một lời mời các nhà toán học và các nhà luận lí đưa ra một giải thích tốt hơn – một lí thuyết về việc khi nào thì ngôn ngữ sạch và thuần, và khi nào thì nó nhiễm nghịch lí. Làm sao chúng ta có thể thanh tẩy ngôn ngữ luận lí toán học của chúng ta để nó không hình thành những nghịch lí. Điều đó đã cù rủ Wittgenstein tới Cambridge.

Wittgenstein có một ảnh hưởng to lớn lên Russell. Thoạt tiên Russell nghĩ là Wittgenstein có một loại mẫn cảm mới. Ông cho Russell cái cảm quan rằng ông thực sự biết một điều gì không thể truyền thông, rằng có một điều gì ông đang cố gắng nắm bắt mà Russell nhìn không ra. Kết quả của những tương tác này là Russell bỏ hẳn luôn môn luận lí toán học. Wittgenstein làm cho Russell vững tin rằng những lề lối làm việc cũ kĩ của mình là sai. Russell nói rằng ông không thể hoàn toàn hiểu những gì Wittgenstein nói, nhưng ông cảm thấy tận trong xương tủy là anh ta phải đúng. Đó là thứ tác động mà Wittgenstein có trên người anh ta.

Khi đi vào chiến hào ông viết cuốn Tractatus. Nó có một tác động to lớn lên những nhà tư tưởng ở Vienna đang cố nghĩ lại những cơ sở của mọi tri thức và mọi ngôn ngữ. Và như tôi đã nhắc, ông luôn chối bỏ họ, ông nói rằng bọn họ không hề hiểu ông. Một trong những cách để thực sự hiểu điều này là cái mệnh đề cuối cùng trong cuốn Tractatus: “Về điều gì chúng ta không thể nói lên, về điều đó chúng ta phải im lặng”. (Of what we cannot speak thereof we must be silent). Nó có lưỡng nghĩa. Nó có thể có nghĩa là mọi sự hiện diện đều có thể nói và chúng ta có thể nói rành mạch, hoặc nó có thể có nghĩa là có những sự kiện ở ngoài kia, nhưng ngôn ngữ của chúng ta không đầy đủ để biểu hiện chúng; rằng ngôn ngữ của chúng ta chừa ra những khoanh của thực tại. Nếu chúng ta cố biểu hiện cái bất khả ngôn trong ngôn ngữ, chúng ta sẽ vi phạm những quy luật của ngôn ngữ và mắc vào sự vô nghĩa.
Wittgenstein dường như muốn nói cách sau; rằng có những khía cạnh của thực tại vượt ngoài khả năng của chúng ta để biểu hiện chúng.

 Những nhà thực chứng hiểu cách, cách trước, rằng tiêu chuẩn cho sự có nghĩa làm cạn kiệt mọi sự kiện. Mọi thứ có thể nói đều có thể nói rành mạch, và không có gì khác ngoài kia.
Chẳng thú vị sao, là trên đời lại có những triết gia bị ám ảnh với cố gắng nói sự vật một cách chính xác, với sự ban ra những quy luật của mọi sự chính xác, và những gì họ nói hoài về sự chính xác thì lại không đủ chính xác cho họ hiểu nhau. Bạn có thể hiểu câu nói của Gôdel, như ông ta được viện dẫn là đã nói với nhà toán học Menger một đêm kia khi họ cùng thả bộ về nhà sau một trong những buổi gặp gỡ của nhóm thực chứng lí luận, đại khái là: “Tôi càng suy nghĩ về ngôn ngữ thì dường như đối với tôi lại càng khó có thể cho chúng ta rằng bao giờ người ta hiểu được nhau”.
Tôi tin rằng Gôdel khi ấy đo lường các bậc trưởng thượng. Quan điểm của ông về toán học, về sự có nghĩa, về những gì chúng ta có thể biết, về tầm quan trọng của ngôn ngữ trong sự tạo dáng cho thực tại, đều lỗi nhịp với quan điểm của các nhà thực chứng.

Khi tôi là một sinh viên cao học về triết, vẫn còn một vài giáo sư, những triết gia đại học Cambridge, đã từng thuộc vòng trong Wittgenstein, và đôi khi họ sang giảng ở đại học Princeton. Và tôi cố đi nghe họ. Họ vẫn còn bảo lưu một vài bộ tịch của Wittgenstein. Ông ta có nhiều tật máy giật; ông ta nhăn mặt khỉ và còn phát ra những tiếng gừ gừ trong lúc suy nghĩ, và mấy vị giáo sư kia cũng nhăn mặt và gừ nữa. Wittgenstein có tác động thôi miên trên người khác. Nhưng đối với Gôdel thì không.

Đây là những gì tôi nghĩ. Gôdel bực mình vì Wittgenstein. Ông không chỉ giữ những quan điểm siêu toán học so le một cách sâu xa với những quan điểm của Wittgenstein – và mặc dù Wittgenstein không phải là một nhà thực chứng, quan điểm của ông về cơ cở toán học, đặc biệt trong cuốn Tractatus, nằm trong mạch của chủ nghĩa thực chứng – nhưng tôi nghĩ ông ta còn bực mình nữa bởi sự rùm beng mà những người chung quanh, đám thực chứng thuộc Nhóm Vienna, cổ võ về Wittgenstein. Chúng ta chỉ miễn trừ trò đó cho những ai chúng ta nghĩ là xứng đáng. Và dưới ánh sáng của Gôdel, Wittgenstein không xứng.
Dù sao đi nữa, những cuộc đàm thoại bị Wittgenstein chế ngự này là những thảo luận mà Gôdel thường lui tới khi ông ta đang ôm ấp những ý tưởng của riêng mình về những cơ sở của toán học; không chỉ ôm ấp mà như tất cả chúng ta đều biết, mà còn thực sự triển khai những trực giác sẽ dẫn tới những định lí về bất toàn của ông.

Gôdel là một con người kín tiếng, một con người mờ đục. Ông ta không cho ta nhiều để cố tưởng tượng ra con người nội tâm. Một con người viết tiểu thuyết được đào luyện về nghệ thuật nhập vào các nhân vật, cả thực sự lẫn được tưởng tượng ra. Phần lớn tài khéo của một tiểu thuyết gia nằm ở chỗ tự thân luồn lách vào đời sống nội tâm của kẻ khác. Gôdel là người khó mà xâm nhập. Tôi khá tin tưởng rằng có một mối xúc cảm mạnh mẽ nào đó gắn liền với Wittgenstein; tôi có thể dựng lên một câu chuyện khá thuyết phục để gây hiệu ứng này. Nhưng rốt cuộc đó có thể là một câu chuyện dàn dựng. Nó mang tính cưỡng hành đối với tôi, hay dở cũng đành, và nó có ý nghĩa, về mặt tâm lí. Lại còn có cả bằng chứng ít nhiều, trong văn tự.

Về cuối đời Gôdel có những điều gay gắt để nói về Wittgenstein. Dĩ nhiên, không phải mặt giáp mặt, thường khi cũng chẳng phải nói với người khác, nhưng qua thư từ. Phần lớn những thư này ông không gửi đi bao giờ, và tôi gặp được chúng trong thư viện Firestone, nằm giữa những di cảo, Nachlass, của Gôdel. Wittgenstein không bao giờ chấp nhận kết quả của Gôdel; ông nói trong tác phẩm The Foundations of Mathematics [Những cơ sở của toán học], xuất bản sau khi ông qua đời, rằng nhiệm vụ của ông không phải là thảo luận với Gôdel, mà là vòng qua Gôdel. Ông cũng gọi những kết quả của Gôdel là những mánh lới của một nhà ảo thuật về luận lí, những trò tiểu xảo luận lí (logical artifices/Kunststucken). Có người bảo với Gôdel về điều này, và đó chính là lúc ông phát tác phần nào nỗi bực dọc của ông về Wittgenstein, nỗi bực dọc mà nếu những suy đoán về tâm lí của tôi là đúng, đã hàng nhiều thập niên, đã ủ kín rất lâu về trước khi Gôdel lắng nghe những nhà thực chứng ca tụng những quan điểm của Wittgenstein, mà hiểu rằng Wittgenstein bênh vực việc họ kết án mọi quan điểm siêu hình, gồm cả chủ nghĩa Platon. 

Dĩ nhiên, không phải chỉ riêng Wittgenstein là bác bỏ những định lí của Gôdel. Có những nhà toán học hiện nay còn đang tranh luận với những kết quả về bất toàn, đôi khi trên cơ sở của chủ nghĩa kiến thiết (constructivist), tức là những dè dặt nghiêm ngặt về những gì có thể, và quan trọng hơn, không thể cầu viện trong chứng cứ. Rồi lại có những kẻ chấp nhận rằng về mặt toán học Gôdel đã chứng minh được kết quả của ông về sự bất toàn, nhưng họ lại bác bỏ quan điểm siêu toán học, tức chủ nghĩa hiện thực toán học (mathematical realism) mà Gôdel nghĩ rằng được các kết quả của ông mạnh mẽ gợi ra. Chắc chắn có những nhà luận lí toán học là những người theo chủ nghĩa hình thức, ngay cả trong ánh sáng của những định lí bất toàn. Chủ nghĩa Platon của Gôdel về mặt tâm lí có thể đã là động cơ thúc đẩy công việc tìm kiếm sự bất toàn của ông, để giúp ông đóng một thứ ông coi như cây nêm giữ những khái niệm về chân lí toán học và khả tính chứng minh (provability); nhưng điều đó không có nghĩa là những định lí của ông về mặt luận lí đã phản chứng chủ nghĩa hình thức (formalism). Trái tim theo chủ nghĩa Palton của Gôdel có thể đã hân hoan với những kết quả của ông, bởi chúng dường như đã bênh vực cho niềm tin của ông rằng thực tại toán học hiện hữu độc lập với những hệ thống hình thức. Nhưng chủ nghĩa Platon không hàm ngụ trong những kết quả về bất toàn. Chủ nghĩa Platon không là một định lí toán học chút nào.
Dĩ nhiên, Gôdel đã làm cho người ta khó có thể không là một người theo chủ nghĩa Platon. Ông chứng minh rằng có những mệnh đề về số học đúng nhưng không thể chứng minh được. Điều đó nghe ra gần với tuyên xưng rằng những chân lí số học độc lập với bất cứ hoạt động nào của con người. Những triết gia về toán học chắc chắn có thể tránh kết luận theo chủ nghĩa Platon, nhưng, chừng nào họ không chỉ “vòng qua Gôdel”, họ bắt buộc phải nhảy múa đặc dị. Ngay cả Wittgenstein, người nói rằng nhiệm vụ của mình không phải là đề đạt những định lí của Gôdel, cũng không thể tránh được việc cứ phải vòng đi vòng lại với chúng. Ông tranh luận về chúng trong lớp của mình với Alan Turine. Và dĩ nhiên tác phẩm của chính Turing, việc ông chứng minh rằng chúng ta không thể giải được vấn đề ngưng chạy (the halting problem) – đại khái, biết rằng một chương trình điện toán cho sẵn sẽ tạo ra một kết quả khi có một nhập liệu cho sẵn hoặc sẽ kéo lê mãi cho đến kiệt quệ, tự thân kế thừa định luật thứ nhất của Gôdel về bất toàn.
Có những nhà toán học nói rằng những gì Gôdel đã làm thì chẳng liên quan gì đến công việc trong đời làm toán của họ; rằng họ không bao giờ phải nghĩ về sự bất toàn, cho đến nổi chẳng biết rành rẽ bất toàn là cái gì. Vậy là bạn có thể làm toán và ở ngoài cuộc thảo luận siêu toán học. Đây có lẽ là một thái độ khá chung trong số những nhà toán học. Và trong một nghĩa nào đó, nó là một thái độ tự nhiên. Khi bạn đang làm việc trong ngành, bạn làm những gì có thể làm trong đó. Loài cá không cần phải là chuyên viên về bản tính của nước.

Điều đó cũng đúng trong địa hạt khác nữa, chẳng hạn như vật lí. Các nhà vật lí bất đồng ý kiến một cách triệt để về sự thông giải các lí thuyết vật lí – một số nghĩ là họ chỉ mô tả một thực tại vật thể khách quan; một số khác lại nghĩ lí thuyết chỉ là những công cụ để tiên đoán – vẫn có thể cộng tác với tư cách nhà vật lí, có thể dùng chung những lí thuyết vật lí để đạt những kết quả khoa học, hoặc về mặt lí thuyết, hoặc về mặt ứng dụng. Công việc ngày lại ngày của bạn như một nhà vật lí không nhất thiết sẽ phải thay đổi cách này hoặc cách khác bởi quan điểm siêu tính của bạn về bản chất vật lí. Và công việc ngày lại ngày của bạn như một nhà toán học không nhất thiết sẽ phải thay đổi bởi quan điểm siêu tính của bạn về bản chất của toán học. Bạn cũng chẳng cần phải có một siêu quan điểm. Những định lí của Gôdel chỉ quan trọng nếu bạn quan tâm đến những câu hỏi siêu tính kia và làm một nhà toán học bạn không nhất thiết phải quan tâm đến những câu hỏi đó.

Bà liên kết mối quan tâm này về những cơ sở triết học của toán học và vật lí với tình bạn nổi tiếng Gôdel và Einstein, phải không ạ?

Lắm người trong số những kẻ ngắm đôi bạn đó thong dong thả bộ mỗi ngày về nhà từ Viện Nghiên cứu Cao cấp, đắm mình trong trò chuyện – những người trong số quen biết bọ bảo tôi rằng họ chỉ ưa nói với nhau – thắc mắc là sao hai con người khác nhau đến thế lại có thể gắn bó tới mức đó. Nhưng cái gắn bó họ là, trước nhất, họ quan tâm rất sâu sắc về những câu hỏi siêu tính của những địa hạt riêng từng người, những câu hỏi không phải về việc những địa hạt này thực sự đang làm là gì và làm sao chúng xoay xở để làm được điều đó.

Cả hai ông đều nhìn việc làm của mình trong một khung cảnh triết học nhất định. Cả hai đều là những người theo chủ nghĩa hiện thực kiên định, Einstein trong vật lí, và hiển nhiên Gôdel trong toán học. Viễn kiến triết học đó đặt để họ so le với nhiều nhà khoa học cùng tầm vóc với họ. Vậy nên điều lí thú là hai khuôn mặt này rất lẫy lừng nhưng tự cảm thấy bị gạt bên lề, và bị gạt bên lề trong những cung cách tương tự. Điều này có thể giải thích phần nào sự gắn bó cách khác làm ngỡ ngàng những ai quen biết họ. Và thêm nữa cả hai còn nối liền với nhau trong cùng sự éo le mà tôi nêu ra khi mở đầu câu chuyện, là công trình của họ bị cuốn vào cuộc tấn kích chung vào tính khách quan và tính thuần lí. Một lần nữa tôi nhớ lại mùa hè năm đó, trước khi tôi bước vào đại học và đọc trong sách là cả thuyết tương đối và sự bất toàn đã chứng tỏ, với toàn thể quyền uy của vật lí và toán học, là không có những tiêu chuẩn khách quan nào cho chân lí và lí tính. Cả hai đều phải lưu vong khỏi Châu Âu đã Quốc xã hóa, nhưng lạ thay họ cũng là những lưu vong trí tuệ, và điều đó làm đa số sững sờ, xét vì công trình của họ thường được coi là nặng tầm vóc trung tâm.

Họ, cả hai đều đã tác động đến những cuộc cách mạng trong những địa hạt riêng của từng người, nhưng cách họ nhìn công trình của chính mình, ánh sáng triết học mà họ nghĩ công trình của họ tỏa ra, không thể so le hơn với hầu hết những người đồng thời.

Einstein và Gôdel là những đồng minh chân chính, và sau khi Einstein qua đời, sự cô đơn tự nhiên của Gôdel càng khắc sâu, cùng với nhưng khuynh hướng hoang tưởng của ông. Ông đi đến một kết cục buồn thảm. Sự nghi ngại của ông đối với ngôn ngữ, trong một nghĩa, được minh chứng. Nghi ngại ngôn ngữ, ông đã nỗ lực làm cho toán học của ông nói lên những xác tín siêu toán học của mình, nhưng những kẻ khác lại thường thông giải những định lí của ông là nói ngay cái đối nghịch với những gì ông muốn chúng nói. Ai lại không trở nên càng nghi hoặc hơn về sự truyền thông của con người? Ai lại không càng rút lui vào cô đơn? Dĩ nhiên tôi không đang biện minh cho sự hoang tưởng của ông. Nhưng có chút bóng dáng nào đó của một sự đáp ứng thuần lí trong sự phi thuần lí (irrationality) nữa.
Tôi chạnh buồn cho cảm quan cô đơn của ông, nó phải sâu thẳm biết chừng nào. Tôi buốt lòng khi ngẫm đến việc ông cảm thấy thế giới quá đổi thù nghịch đến nỗi ông tin rằng thức ăn của mình bị đầu độc và vì thế ngưng ăn và chết trong đói khát. Tôi đã trải qua một thời gian dài để tưởng tượng ra một người như thế phải cảm xúc như thế nào. Và tôi đặt tương phản giữa nơi chốn thâm u và lạnh lẽo mà ông sống bao năm dài, và ở đó, ông kết liễu đời mình với cái cảm nhận ngạc nhiên bừng sáng mà tôi trải qua mùa hè đó trước khi bước vào cao học, khi tôi lần đầu tiên hiểu được tuyệt tác về lí trí của Gôdel. Ông ban kinh nghiệm đó cho vô số người, và chúng ta biết ơn.

Nguyễn Tiến Văn dịch và giới thiệu
Nguồn: http://www.edge.org/3rd_culture/goldstein05/goldstein05_index.html