Hình học không giao hoán: một quan điểm cách mạng về không thời gian

Nếu có một nhà toán học rất nóng lòng chờ đợi ngày khởi động của máy LHC (Large Hadron Colliser – Máy va chạm Hadron lớn) trong năm sau, thì đó là Alain Connes làm việc tại IHES (Institut des Hautes Etudes Scientifiques-Viện Nghiên cứu các Vấn đề Khoa học Cao cấp), Collège de France, Paris và Đại học Vanderbilt.
Alain Connes đặc biệt trông chờ từ LHC các kết quả về sự tồn tại của hạt Higgs, một hạt quan trọng trong Mô hình chuẩn (Standard Model-SM) các hạt cơ bản. Hạt Higgs là một hạt hiện nay còn là bí hiểm nhưng lại quyết định sự đúng đắn của Mô hình chuẩn, một mô hình đã cho nhiều kết quả kiểm chứng được bằng thực nghiệm. Hạt Higgs cần thiết cho việc tạo nên khối lượng các hạt trong SM.
Ý tưởng chủ đạo của Alain Connes: tìm một hình học tinh tế trong đó các hạt như hạt Higgs (và các hạt khác) phải xuất hiện như một hệ quả đương nhiên, chứ không phải được đưa từ ngoài vào lý thuyết như trong Mô hình chuẩn. Hình học tinh tế Alain Connes đề cập ở đây là hình học không giao hoán.

Thế nào là hình học không giao hoán(NCG)?
Chúng ta đều biết 3.4 = 4.3 nói cách khác hai số 3 và 4 giao hoán với nhau. Trong NCG, các tọa độ x và y không giao hoán với nhau, nghĩa là x.y ≠ y.x, đây là điều mới lạ, không quen thuộc và khó hiểu đối với chúng ta. Chúng ta chỉ gặp những tình huống như vậy trong không gian pha của cơ học lượng tử, ví dụ các toán tử tọa độ x và xung lượng pxkhông giao hoán với nhau mà thỏa mãn giao hoán tử {x, p x] = x.p x-p x.x =i £.

Trong NCG người ta thay các tọa độ bằng một đại số A tác động lên không gian Hilbert H, và đưa thêm toán tử Dirac D để định nghĩa vi phân. Vậy một hình học không giao hoán được xác đinh bởi bộ tam (A, H. D). Như thế các tọa độ bây giờ trở thành những toán tử. Tương tự như trong hình học cổ điển, để sử dụng NCG chúng ta phải biết cách tính vi phân, tích phân, độ dài… (xem Chú thích  cuối bài). Khi đã có những công cụ này thì chúng ta có thể giải những bài toán cụ thể trong NCG.
NCG là một sản phẩm toán học thuần túy, tuy bắt nguồn từ việc nghiên cứu không thời gian trong vật lý, và một điều kỳ diệu là Alain Connes đã ứng dụng NCG vào vật lý một cách sâu sắc đầy hiệu quả. Như thế Alain Connes đã mở ra một phương hướng nghiên cứu mới lạ đầy triển vọng khác hoàn toàn với các phương hướng mà các nhà vật lý đang đeo đuổi. Với hình học không giao hoán Alain Connes đã đưa ra một quan niệm có tính cách mạng về không thời gian. Nhiều người so sánh sự đột biến quan niệm không thời gian gây nên bởi hình học không giao hoán với sự đột biến tư tưởng gây nên bởi lý thuyết nhật tâm (heliocentric) của Copernic và Galilée.

 Ý tưởng chính của Alain Connes trong các ứng dụng vào vật lý.
Trong vật lý các hạt cơ bản nhiều lúc người ta cần thiết phải đưa vào lý thuyết nhiều hạt để thỏa mãn những quá trình nào đó, ví dụ trong SM phải đưa vào hạt Higgs (hạt bí hiểm chưa tìm ra) để tạo nên khối lượng cho các hạt khác qua tương tác Yukawa. Nếu sử dụng hình học không giao hoán thì những hạt tương tự hạt Higgs sẽ xuất hiện như những hệ quả tự nhiên của cấu trúc hình học mới.
Vì ý tưởng này người ta còn gọi Alain Connes là nhà hình học của Vật lý các hạt cơ bản (geometer of Particle Physics).Tư tưởng trên quả là một tiếp cận mới đối với không thời gian vượt khỏi phạm vi lý thuyết của Einstein.
Một không gian không giao hoán có thể hình dung cấu thành bởi hai lớp không gian liên tục ví như hai mặt của một tờ giấy và giữa hai lớp đó là một không gian gián đoạn không giao hoán.

Quyển sách Hình học không giao hoán nổi tiếng của Alain Connes, trong đó tác giả trình bày NCG, đại số toán tử, lý thuyết lượng tử và nhiều lĩnh vực của vật lý toán, và  ngoài ra nhiều vấn đề mới lý thú và sâu sắc gây tranh luận.

Mô hình chuẩn
Mô hình chuẩn (SM) là mô hình thống nhất các tương tác yếu, điện từ (và mạnh), trong mô hình này đòi hỏi sự tồn tại của một hạt chưa tìm ra được là hạt Higgs để gây nên khối lượng cho các hạt.
Khi ứng dụng NCG vào mô hình chuẩn, phần không gian gián đoạn sẽ gây ra hạt Higgs, (và không những chỉ hạt Higgs mà cả các hạt trong mô hình chuẩn) trong khi phần liên tục sẽ gây nên các hạt boson chuẩn (gauge boson) như W và Z (là những hạt chuyển tải tương tác yếu).
Alain Connes nhận thấy rằng trong vật lý một mặt chúng ta có không thời gian 4 chiều Einstein với đối xứng cơ bản là nguyên lý tương đương Einstein, mặt khác chúng ta có những hạt được nhúng vào không gian đó và lại có những tính chất đối xứng nội tại độc lập với đối xứng của không thời gian. Alain Connes muốn xây dựng một không gian bao gồm tất cả đối xứng đó một cách hữu cơ.
Sự phát triển hình học không giao hoán bởi Alain Connes cho phép mở rộng lý thuyết các trường chuẩn  nhờ kết hợp các đa tạp khả vi (không thời gian Minkowski, Euclide, Riemann) với các đa tạp gián đoạn.
Trong phần không gian gián đoạn những phép tính vi phân thông thường không còn áp dụng được nữa mà phải sử dụng những công cụ mà chúng ta đã đề cập ở trên. Alain Connes đã xây dựng các công cụ tính toán (lấy tích phân, giải những phương trình vi phân, tính khoảng cách, tính độ cong,… xem Chú thích  cuối bài) cho các không gian gián đoạn này. Nhờ những thành tích này nhiều nhà toán học thân tặng ông danh hiệu kiến trúc sư toán học của NCG.
Sau đây chúng ta sẽ thấy hạt Higgs, vốn là hạt mà các nhà vật lý phải đưa từ ngoài vào lý thuyết thì nay nhờ hình học không giao hoán hạt Higgs xuất hiện một cách tự nhiên từ cấu trúc của đa tạp.
Để hiểu vấn đề, cần vài khái niệm toán học tối thiểu từ hình học vi phân, như đạo hàm hiệp biến. Chúng ta có một đa tạp liên tục là đa tạp Riemann 4 chiều và một đa tạp gián đoạn. Sử dụng các công cụ của NCG người ta tìm thấy rằng đạo hạm hiệp biên gián đoạn Ñ biểu diễn qua một hàm  Ф (x) mà theo cấu trúc chúng ta có thể đồng nhất với hạt Higgs (xem Chú thích  cuối bài).
Như vậy ở đây hạt Higgs  Ф (x) xuất hiện từ cấu trúc gián đoạn của đa tạp, từ hình học không giao hoán của đa tạp.
Có thể nói đây là một kết quả kỳ diệu của hình học không giao hoán.

Alain Connes (bên trái) nhận phần thưởng nghiên cứu Viện toán Clay nhờ NCG và các công trình cơ bản về vật lý lý thuyết (tháng 5 năm 2000)

Tái chuẩn hóa
Một trong những triết lý của Alain Connes là tìm ra các toán học sau những ý tưởng vật lý. Theo Alain Connes toán học và vật lý đang xâm nhập vào nhau, và là suối nguồn ý tưởng cho nhau.
Một vấn đề  quan trong trong vật lý lượng tử là vấn đề tái chuẩn hóa (renornalization) tức vấn đề khử các phân kỳ trong lý thuyết lượng tử.
Như chúng ta biết ví dụ trong QED (Quantum Electrodynamics-Điện động lực học lượng tử) có nhiều sơ đồ dẫn đến phân kỳ. Sơ đồ Feymann mô tả năng lượng riêng của electron sau đây là một sơ đồ như thế. Hạt electron (electron được biểu diễn bằng đường liền) chuyển động từ trái đến điểm A và khi tương tác với chân không sinh ra cặp ảo electron và photon (photon được biểu diễn bằng đường lấm chấm), rồi tại điểm B cặp ảo này lại hủy nhau biến trở lại thành electron.

Muốn khử phần phân kỳ cần phải bóc tách phần khối lượng dm, vốn có trị số vô cùng ra khỏi khối lượng của electron, đại lượng này phát sinh do tương tác với chân không của trường điện từ. Nhiều người cho rằng quá trình tái chuẩn hóa này mang ít nhiều tính chất giả tạo không hữu cơ với một lý thuyết hoàn chỉnh.
Song Alain Connes cho rằng sau những dãy tính toán phức tạp của quá trình tái chuẩn hóa trong lý thuyết trường lượng tử là những thực tại vật lý, và  những thực tại đó là những viên ngọc toán học. Cần phải một kính hiển vi siêu mạnh để thấy được điều đó và kính hiển vi này chính là “hình học không giao hoán”. Những phân kỳ này không phải là những khuyết tật trong lý thuyết, mà  là những vùng đất vô cùng hấp dẫn cho toán học.
Alain Connes đã cùng Dirk Kreimer (IHES) và Matilde Marcolli (Viện Max Planck) đã chứng minh được rằng tái chuẩn hóa trong lý thuyết lượng tử gắn liền với một (bài toán số 21) trong 23 bài toán lớn  Hilbert đề ra năm 1900. Năm 2004 cùng với Matilde Marcolli, Alain Connes đã giải quyết được một vấn đề đã ám ảnh ông suốt những năm 70 thế kỷ vừa qua: đó là sự tồn tại mối liên quan giữa tái chuẩn hóa trong vật lý lượng tử với lý thuyết Galois. Sự phát hiện này là nội dung công trình thứ 155 của Alain Connes.
Họ đã thiết lập mối quan hệ giữa tái chuẩn hóa với hình học không giao hoán, đã tìm ra nguyên nhân sâu xa của các phân kỳ là sự tồn tại của một nhóm phổ quát gọi là nhóm “vũ trụ” Galois (Cosmic Galois Group), một nhóm đối xứng của các hằng số cơ bản của vật lý, và sự xuất hiện những phân kỳ là cần thiết và là hệ quả của các tính chất không giao hoán của không gian.

Thời gian
Cùng với Carlo Rovelli (Đại học Marseille) Alain Connes cũng đã chứng tỏ được rằng thời gian xuất hiện một cách tự nhiên từ tính không giao hoán của các đại lượng quan sát được của hấp dẫn. Không gian đã tạo ra thời gian (l’espace engendre le temps). Thời gian chảy một chiều vì tính bất giao hoán của không gian.
Trong khi các nhà vật lý nghiên cứu sự tiến triển của một hệ bằng cách sử dụng những toán tử tác động vào các trạng thái cân bằng thì Alain Connes ngược lại xuất phát từ những trạng thái cân bằng và sử dụng đại số ứng với chúng để tìm ra những trạng thái cân bằng khác, như vậy làm xuất hiện thời gian. Như vậy thời gian phát sinh từ không gian trong NCG.

TOE (Theory of Everything – Lý thuyết của tất cả)
Chúng ta có hai thực tại cần được thống nhất: hấp dẫn tuân theo đối xứng xác định bởi nguyên lý tương đương của Einstein, và vật chất gồm các hạt tuân theo đối xứng nội tại. Liệu có thể tìm một không gian  X tuân theo một đối xứng U bao cả hai đối xứng trên. Alain Connes chứng tỏ rằng một không gian X như thế phải là một không gian có hình học không giao hoán.
Ý tưởng rất sâu sắc của Alain Connes là muốn thống nhất hấp dẫn với lượng tử cần phải thay đổi cấu trúc của không thời gian và để làm điều đó ông đã sử dụng  hình học không giao hoán.
Như chúng ta biết đối với một lý thuyết quan trọng nhất là hàm tác dụng (action). Để phát triển TOE chúng ta cần có các tích phân phiếm hàm mô tả hàm tác dụng (action) thực hiện “tổng trên các hình học – sum over geometries”. Alain Connes đã cùng Ali H.Chamseddine (ETH Zurich – Eidgenossiche Technische Hochschule Zurich) tính được tích phân phiếm hàm đối với hình học không giao hoán, như thế có được công cụ cơ bản để phát triển  TOE trên cơ sở NCG.
Cách tiếp cận thống nhất hấp dẫn và lượng tử của Connes khác với cách tiệp cận của lý thuyết siêu dây (superstring theory). Lý thuyết siêu dây cần một năng lượng khổng lồ để kiểm nghiệm, lý thuyết của Connes chỉ cần một năng lượng trong tầm tay của các nhà vật lý (khoảng 160 tỷ eV) để kiểm nghiệm vì thế mà Alain Connes đặc biệt chờ ngày khởi động của LHC.
 

Theo Connes sự thống nhất hấp dẫn và lượng tử đòi hỏi một không gian gồm 2 phần: một phần liên tục và một phần gián đoạn không giao hoán.

Kết luận
Hình học không giao hoán của Alain Connes đã đưa vào vật lý một quan niệm hoàn toàn mới mẻ có tính cách mạng về không thời gian. Alain Connes đã đề cập đến một tính chất lạ lùng của không thời gian là tính không giao hoán. Tính không giao hoán của không thời gian có thể là cơ sở cho việc xây dựng một lý thuyết thống nhất hấp dẫn và lượng tử, trong đó mọi hạt đều xuất hiện một cách đương nhiên như là hệ quả của không thời gian không giao hoán và vấn đề tái chuẩn hóa, một vấn đề quan trọng của lý thuyết lượng tử được giải thích một cách chặt chẽ về mặt toán học trong khuôn khổ của NCG.

Chú thích
1/  Trong NCG  không gian  được thay thế bởi một đại số A của tọa độ tác động lên một không gian Hilbert H , ngoài ra nếu xét đến spin của các hạt thì cần thêm toán tử Dirac D để định nghĩa vi phân. Như vậy NCG xác định bởi bộ tam ( (A ,H  ,D).Trong NCG ta cần tính khoảng cách, vi phân và tích phân: a/  Vi phân của một x  ∈ A là df(x) = [D,f(x)], b/ Khoảng cách d(M,N) giữa hai điểm M & N được thay bằng d (M,N) =  sup{ | f(M) – f(N) | ; f ∈A,  ||[ D,f] || ≤1 ], c/ Sử dụng vết của Dixmier  ta có  thể tính được ì f ds  trong đó f  ∈A và ds= (1/D).

Tài liệu tham khảo
[1] Alain Connes, Non commutative geometry, Academic Press,1994
[2] Alain Connes, Non commutative geometry and Physics, ftp://ftp.alainconnes.org/
[3] Alexander Hellemans, Scientific American, tháng 8 năm 2006
[4]  David Larousserie, Sciences et Avenir, tháng 10 năm 2005
[5]  L.O’Raifeartaigh & N.Straumann, Rev.Mod.Phys.,Vol 72, No 1, January 2000
[6]  Thomas Krạewski, Géométrie non commutative et interactions fondamentales