Liệu có thể phát hiện các chiều dư nhờ ngưng tụ Bose-Einstein?
Theo Lý thuyết dây, vũ trụ ngoài 4 chiều không thời gian thông thường ghi là s còn có thêm 6 chiều dư (extra dimension) ghi là l. Hy vọng phát hiện những chiều dư đó bằng ngưng tụ Bose-Einstein (Bose-Einstein condensate) quả là một vấn đề lý thú vì liên kết được hai lĩnh vực khác nhau là lý thuyết trường với lý thuyết hệ nhiều hạt của môi trường đông đặc [1]. Trong bài viết sau đây, chúng ta sẽ thấy ý tưởng chính là sử dụng bước nhảy (discontituity) của nhiệt dung (specific heat) trong ngưng tụ Bose-Einstein tại nhiệt độ ngưng tụ vốn lại là hàm số của các chiều dư để đối chiếu với thực nghiệm.
Nhập đề
Một khó khăn của vật lý hiện đại là không có phiên bản lượng tử cho hấp dẫn. Như chúng ta biết hiện tồn tại các lý thuyết sau: Lý thuyết dây, Lý thuyết lượng tử vòng (Loop quantum gravity), Hình học không giao hoán (Non commutative geometry)… nhằm đưa lượng tử vào hấp dẫn.
Mặt khác vật lý các chất khí lượng tử siêu lạnh (ultra – cold quantum gases) cũng là một điểm nóng trong vật lý hiện đại với nhiều khả năng (siêu chảy, các hệ có số chiều thấp…).
Các tác giả S. Guti´errez, A. Camacho, và H. R´ıos nghiên cứu khả năng đóng góp của lý thuyết các hệ siêu lạnh vào bài toán hấp dẫn lượng tử.
Như chúng ta biết trong Lý thuyết dây để thỏa mãn những điều kiện toán học cần đưa thêm l – chiều dư ngoài s chiều thông thường của không thời gian. Những chiều dư sẽ compact hóa nghĩa là sẽ cuộn lại.
Các tác giả trên khảo sát xem sự xuất hiện những chiều dư l compact (compact dimensions) trong Lý thuyết dây có ảnh hưởng gì đến các tính chất nhiệt động học của hệ nhiều hạt ở nhiệt độ siêu lạnh (nhiệt dung, năng lượng…).
Ngưng tụ Bose-Einstein
Người ta xét một hệ gồm N hạt ở nhiệt độ siêu lạnh, nhiệt độ của ngưng tụ.
Trong 5 trạng thái (khí, lỏng, rắn, plasma, ngưng tụ Bose-Einstein) của vật chất thì ngưng tụ Bose-Einstein có lẽ là một trạng thái chứa nhiều điều lý thú.
Ngưng tụ Bose-Einstein là trạng thái vật chất của một hệ boson làm lạnh đến nhiệt độ gần không tuyệt đối (0 K hay -273.150C). Ở nhiệt độ đó hầu hết các boson sẽ chiếm trạng thái thấp nhất ở đấy xuất hiện các hiện tượng lượng tử vi mô.
Ngưng tụ Bose – Einstein được phát hiện trong năm 1924 – 1925 bởi Satyendra Nath Bose và Einstein về mặt lý thuyết, mãi đến 1995 mới được Eric A.Cornell và Carl E.Wieman thực hiện trên thí nghiệm (giải Nobel Vật lý 2001).
Ta sử dụng một ngưng tụ Bose – Einstein với sự hiện diện của l – chiều dư compact của Lý thuyết dây với kích thước lP (độ dài Planck). Không thời gian của chúng ta có s – chiều không compact.
Hạt xem như bị giam giữ trong một hộp có thế năng với hình học của hệ là: một hình siêu ellipsoid l – chiều (compact) + một bẫy điều hòa trong không thời gian s – chiều (non compact).
Nhiệt dung có một bước nhảy tại nhiệt độ tới hạn Tc và bước nhảy này lại là hàm của số chiều. Các tác giả chứng minh rằng bước nhảy đó của khí bosonic sẽ là hàm của số nguyên tử có mặt trong chất khí N trong giả định có s = số chiều không compact thông thường và l = số chiều compact (theo Lý thuyết dây).
Vậy xét một hệ bosonic với N hạt, đo nhiệt dụng trên và dưới nhiệt độ ngưng tụ và tính bước nhảy đó.
Thực hiện với nhiều trị số N ta sẽ thu nhận được một đoạn thẳng mô tả bước nhảy chứa thông tin về s và l.
Phần viết sau đây có một số công thức toán chỉ cốt để minh họa vấn đề, tuy rất hữu ích cho các độc giả muốn đi sâu.
Các chiều dư và chất khí boson
Ý tưởng chính là sử dụng bước nhảy của nhiệt dung trong ngưng tụ Bose – Einstein tại nhiệt độ ngưng tụ vốn là hàm số của các chiều dư l để đối chiếu với thực nghiệm.
Gọi Rj kích thước của các chiều compact (kích thước cỡ lP – độ dài Planck – như trong Lý thuyết dây), gọi = tần số của vùng harmonic ứng với các chiều không compact s, i =1,2,…s.
Đây là một bài toán cơ học lượng tử bình thường vậy ta có:
Trong công thức trên ni và qj là các số lượng tử gắn liền với thế năng dao động tử điều hòa trong trường hợp một hạt bị giam giữ trong một hộp kích thước Rj.
Chuyển sang tính nhiệt độ ngưng tụ (condensation temperature) Tc. Các tác giả1 thu được phương trình cho phép tính Tc. Sau đó cần tính năng lượng E của hệ khi T < Tc và T > Tc.
Nhiệt dung được tính theo công thức:
với 
và N = constant.
Trong đó = trung bình hình học của các tần số.
Bước nhảy nhiệt dung được định nghĩa như sau:
Kết quả tính toán trong công trình2 là
ζ hàm zeta Riemann.
Từ công thức trên ta thu được:
A/. Khi s = 3 và l = 0 ta có lại kết quả của BEC trong một bẫy điều hòa không đẳng hướng (anisotropic).
B/. Nếu cho s = 3 và l = 6 (như trong LTD) ta lại có
……………………………*
Trong đó μc = thế hóa học tại điểm tới hạn còn N ~ 103.
Để kiểm nghiệm công thức người ta có thể đo nhiệt dung ví dụ của ngưng tụ rubidium.
Kết luận
Ý tưởng của các tác giả S. Guti´errez, A. Camacho, and H. R´ıos có thể nói là rất sáng tạo mở một đường kiểm tra thực nghiệm cho Lý thuyết dây. Nếu thực nghiệm thu được trị số lý thuyết trên của
thì xem như sự tồn tại các chiều dư compact của Lý thuyết dây (l = 6) được giải nghiệm.
Ý tưởng sử dụng vật lý môi trường đông đặc để kiểm nghiệm một vấn đề lý thú là số chiều dư trong Lý thuyết dây thuộc phạm vi lý thuyết trường đã làm nổi bật mối liên quan bất ngờ giữa hai lĩnh vực đó.
Tài liệu tham khảo
[1] String theory phenomenology and quantum many–body systems
S. Guti´errez, * A. Camacho,† and H. R´ıos‡
Departamento de F´ısica, Universidad Aut´onoma Metropolitana–Iztapalapa
arXiv:1707.07757v1 [gr-qc] 24 Jul 2017
[2] Hamish Johnston, Could extra dimensions be detected by a Bose–Einstein condensate?
http://physicsworld.com/cws/article/news/2017/aug/01/could-extra-dimensions-be-detected-by-a-bose-einstein-condensate
