Lý thuyết tai biến và phức hợp

1 .  Khoa học phức hợp (Complexity science- viết tắt KHPH)
Sau đây KHPH được trình bày tóm tắt, chi tiết xin xem tài liệu [1]). KHPH nghiên cứu các hệ phức hợp là những hệ chứa nhiều thành phần con tương tác với nhau và nếu hệ thống đó lại biểu hiện những tính chất, những lối hành xử (behavior) mà chúng ta không thể suy ra một cách hiển nhiên từ tương tác của những thành phần cấu thành nó. Đặc trưng quan trọng nhất của hệ thống phức hợp là hiện tượng đột sinh (emergence). Hiện tượng đột sinh là hiện tượng xuất hiện những quy luật, những hình thái, những trật tự mới từ  hiệu ứng tập thể của  các tương tác giữa các thành phần của hệ thống.
Các hệ phức hợp nằm  ở ranh giới giữa hỗn độn và trật tự (balanced on the edge of chaos –not too orderly, not too  disordered). Cho nên việc nghiên cứu phức hợp gắn liền với lý thuyết hỗn độn (chaos theory).
Phần của không gian pha (ví dụ không gian tọa độ-xung lượng trong cơ học) ứng với một hành xử nhất định của hệ phức hợp làm thành tập hút (attracting set) gồm điểm hút và quỹ đạo hút (attractor).
Lý thuyết hỗn độn dẫn đến 3 loại tập hút (attractor) mô tả trạng thái của hệ theo thời gian: điểm hút (mô tả trạng thái cân bằng-equilibrium), quỹ đạo hút giới hạn (mô tả dao động), quỹ đạo hút lạ (mô tả hỗn độn).
Quá trình rẽ (bifurcation) là quá trình biến đổi định tính cấu trúc tập hút, khi các thông số điều khiển thay đổi: một điểm hút mô tả trạng thái cân bằng có thể chuyển sang một quỹ đạo hút chu kỳ mô tả một dao động và một tập hút chu kỳ có thể chuyển sang một tập hút lạ (strange attractor) mô tả trạng thái hỗn độn.
Tập các điều kiện ban đầu dẫn đến một tập hút cho trước gọi là thung lũng hút (basin).

2 . Lý thuyết tai biến
Lý thuyết tai biến (catastrophe theory) viết tắt là LTTB được René Thom phát triển vào những năm đầu thập kỷ 70 trước [2],[3],[4],[5]. LTTB nghiên cứu những quá trình đột biến của một hệ và xếp loại các đột biến đó.
Nhiều người cho rằng sau lý thuyết tương đối của Einstein, lý thuyết tai biến của René Thom là một trong những lý thuyết đẹp đẽ nhất mà con người có thể sáng tạo ra. René Thom là nhà toán học người Pháp được giải thưởng Fields (tương đương giải thưởng Nobel trong toán học) năm 1958 về những công trình xuất sắc trong tôpô. René Thom chết lặng lẽ trong một thành phố nhỏ gần Paris năm 2002. Lý thuyết tai biến cung cấp cho chúng ta một cách nhìn và mô tả thế giới có khả năng làm xuất hiện những điểm dị đồng giữa những hiện tượng và hình thái rất xa lạ của tự nhiên.
Trong [2] René Thom đưa ra những khái niệm sau:
1. Mỗi đối tượng hay nói cách khác mỗi hình thái vật lý được mô tả bởi một tập hút trong không gian trạng thái các biến số trong.
2. Đối tượng như thế ổn định do đó nhận biết được chỉ trong trường hợp tập hút tương ứng là ổn định cấu trúc.
3. Mọi tạo sinh hoặc hủy biến của hình thái (morphogenesis) có thể mô tả bởi sự biến mất của tập hút trong dạng thái ban đầu để được thay thế bởi tập hút mới trong dạng thái cuối cùng. Quá trình này gọi là tai biến và được mô tả trong không gian các biến số ngoài.

Hình 2. Các mốc lịch sử của khoa học phức hợp

LTTB là lý thuyết toán học nghiên cứu các đột biến gián đoạn. LTTB được xem như bộ phận của lý thuyết hỗn độn (chaos theory).
LTTB  phù hợp với của khoa học phức hợp hiện đại. Sau một thời gian ít nhiều bị quên lãng LTTB  hội nhập vào KHPH như một mốc phát triển quan trọng và một công cụ hữu hiệu không thể vắng mặt trong khoa học phức hợp cùng với các lý thuyết khác như fractal, lý thuyết về hỗn độn (chaos theory) (xem hình 2).
3 . Bảy tai biến cơ bản
Người ta sẵn sàng tin vào truyền thuyết cho rằng René Thom tìm ra LTTB khi ông quan sát các tia sáng mặt trời phản chiếu từ một cốc càfê. Chính René Thom đã phát biểu những ý sau đây. Chung quanh chúng ta có biết bao nhiêu hiện tượng quen thuộc chưa được một lý thuyết nào làm sáng tỏ, ví dụ những vết nứt trên một bức tường cổ, hình dáng của một đám mây, một lá vàng rụng bên giếng, bọt trong một vại bia, ánh sáng phản chiếu từ một cốc cà phê. Biết đâu những suy nghĩ toán học sâu hơn về những hiện tượng nhỏ như thế không dẫn đến một lý thuyết quan trọng?
Những hiện tượng nhỏ mà René Thom nêu ra đều chứa những điểm khác thường nào đó. Ví dụ như lúc quan sát tia ánh sáng mặt trời phản chiếu từ một cốc càfê, ta thấy có những vùng đặc biệt mà ở đấy cường độ ánh sáng rất lớn. Những vùng đó chính là những mặt tụ quang, mặt này tiếp tuyến với các tia sáng phản chiếu. Nói cách khác, những hiện tượng dễ đập vào giác quan chúng ta, chính là tập những điểm kỳ dị mà trong vật lý học người ta gọi là những điểm tới hạn. Có thể lấy một ví dụ khác về những điểm tới hạn quen thuộc hơn trong vật lý học: đó là những điểm tới hạn trong lý thuyết chuyển pha. Tại những điểm đó trạng thái của hệ đột biến, nói cách khác, hệ nhảy từ trạng thái này sang trạng thái khác một cách gián đoạn, ví dụ từ trạng thái lỏng sang trạng thái rắn. Những hiện tượng đột biến có tên là tai biến (catastrophe) trong LTTB của René Thom. Chữ tai biến mà René Thom sử dụng chỉ có ý nghĩa toán học.
Một điều quan trọng đáng chú ý là ta luôn quan sát được các mặt tụ quang với những hình dáng nhất định khi nhìn vào một cốc càfê để dưới ánh nắng mặt trời. Điều đó có nghĩa rằng hiện tượng ấy ổn định, mặc dầu lần quan sát thứ hai khác lần quan sát thứ nhất bởi muôn nghìn nhiễu loạn nhỏ mà ta không thể nào điều khiển được. Trong LTTB người ta đưa vào khái niệm ổn định cấu trúc để diễn tả tính ổn định của hình thái các tai biến dưới tác động của những nhiễu loạn không điều khiển được.
Các tai biến có thể là những đột biến trong tâm lý một người bạn gái, có thể là tai nạn sập cầu, hoặc những khủng hoảng trong nền kinh tế một quốc gia,… Các tai biến đó có thể là những điểm kỳ dị Landau của giản đồ Feyman trong lý thuyết trường [6].
Các hiện tượng và hình thái của thiên nhiên rất đa dạng đến mức ta khó lòng nắm được mối liên quan giữa chúng. Có điểm gì giống nhau giữa các hiện tượng quang học và một hiện tượng tâm lý? Câu hỏi tưởng chừng như vô nghĩa, nhưng bạn đọc sẽ thấy LTTB cung cấp cho chúng ta một cách mô tả làm nổi lên những điểm dị đồng giữa nhiều hiện tượng và hình thái.
René Thom tìm ra được 7 tai biến cơ bản (hình 3), theo đó có thể xếp hạng nhiều hiện tượng và hình thái trong thiên nhiên, và như vậy cho chúng ta thấy được mối liên quan ví dụ giữa một hiện tượng tâm lý với một hiện tượng quang học. Có thể nói LTTB là một bài thơ thất ngôn tuyệt đẹp về nhiều hiện tượng và hình thái của thiên nhiên.

4 . Hai biến số trong N & bốn biến số ngoài C
Những phương pháp tính toán do Leibnitz và Newton đề ra chỉ ứng dụng được cho những hiện tượng liên tục. Những hiện tượng đột biến đòi hỏi những lý thuyết mới. Người ta đã nghiên cứu các hiện tượng có tính gián đoạn trong 300 năm qua, và theo một số nhà toán học có lẽ còn sẽ nghiên cứu chúng trong 300 năm tới?
Khi nghiên cứu một hệ trong môi trường người ta thấy có hai trường hợp. Trong trường hợp thứ nhất sự tương tác của hệ với môi trường được mô tả bởi một hàm thế V của các biến số trong X,Y,Z,… chỉ trạng thái của hệ và các biến số ngoài a, b, c,… chỉ môi trường. Ngoài ra ta có một hệ phương trình vi phân cho V. Hệ sẽ ở vào những trạng thái ứng với các cực tiểu địa phương, nghĩa là những điểm ở đấy V nhỏ nhất so với vùng lân cận. Những điểm đó thuộc về những điểm tới hạn của hàm V. LTTB với giả thiết có tồn tại một hàm thế có thể gọi là LTTB hẹp.
Trong trường hợp thứ hai ta không có một hàm thế như trên và phải sử dụng nhiều công cụ toán học tổng quát hơn lý thuyết phương trình vi phân. LTTB không hàm thế gọi là LTTB rộng.
Trong LTTB hẹp người ta công nhận sự tồn tại một hàm thế và một hệ phương trình vi phân song không đặt vấn đề giải hệ phương trình vi phân ấy vì đó là một việc làm quá khó khăn lúc số biến số quá lớn. Vậy LTTB sử dụng cách tiếp cận nào và dẫn đến những kết luận gì?

Đối với một hàm có kỳ dị ta có thể tìm được một hệ tọa độ trong đó ta có thể phân hàm thành hai phần Q và G: Q là một dạng toàn phương không suy biến, còn G chứa số biến số còn lại. Hàm G gọi là kỳ dị thặng dư và số biến số trong G gọi là đối hạng của kỳ dị. Chỉ hàm G mới quan trọng về mặt tôpô và ứng với những hàm G khác nhau ta có những loại kỳ dị khác nhau. Hàm G chưa ổn định. Đem nhiễu loạn hàm G ta có những hàm mới chứa thêm các biến số ngoài a, b, c,… Các hàm này có tính ổn định cấu trúc, có nghĩa là khi chúng bị nhiễu loạn, hình học của hiện tượng vẫn không thay đổi. Các hàm có tính ổn định với số biến số ngoài nhỏ nhất đóng vai trò hàm thế nói trên. Như vậy mỗi mầm hàm có hai đặc trưng quan trọng là:
–   đối hạng N tức số biến số trong còn lại trong kỳ dị thặng dư và
–   đối chiều C tức số biến số ngoài đưa vào với mục đích thu được một hàm ổn định dưới các nhiễu loạn.
Chiếu tập những điểm tới hạn của hàm V xuống không gian các biến số ngoài a, b, c,… ta có các hình thái đặc trưng cho các tai biến (xem hình 3).
Hạn chế N # 2  và C # 4, René Thom tìm ra được 7 tai biến cơ bản. Các tai biến đó có ký hiệu (N,C):
1/  nếp xếp (1,1) – fold catastrophe
2/  nếp gấp lùi  (1,2) – cusp catastrophe
3/  đuôi én (1,3) – swallowtail catastrophe
4/  bướm (1,4)- butterfly catastrophe
5/  rốn hyperbolic (2,3)- hyperbolic catastrophe
6/  rốn elliptic (2,3)- elliptic catastrophe
7/  rốn parabolic (2,4)- parabolic catastrophe
Hai hình vẽ cuối cùng ở hình 3 là hình chiếu của tai biến có C = 4 xuống không gian 3 chiều. Chú ý số chiều của không gian ta sống bằng 4: ba chiều thời gian và một chiều thời gian, liệu có mối liên quan với hạn chế C = 4 trong LTTB của René Thom?
Khi xét một hệ trong thực tế, chúng ta thường phải đưa vào một số biến số trong rất lớn. Trong LTTB của René Thom ta thấy N # 2, điều đó có nghĩa rằng về mặt tai biến chỉ có 2 trong số biến số trong mô tả trạng thái của hệ là quan trọng.
Như thế LTTB cho ta hiểu sự phát triển của hệ mà không cần giải một hệ phương trình vi phân với số biến số quá lớn, nói cách khác LTTB công nhận một tất định luận (determinism) ẩn mà không đặt mục đích tìm ra tường minh tất định luận đó.
Có thể nói việc tìm ra 7 tai biến cơ bản có điều gì tương đương với việc tìm  6 hạt quark trong vật lý các hạt cơ bản. Các hạt được cấu thành từ 6 hạt quark trong khi các đột biến trong thiên nhiên sẽ là tổ hợp của 7 tai biến cơ bản.

5 . Làm thế nào để tìm ra tai biến của một hiện tượng?
Đọc đến đây có thể chúng ta vẫn chưa hình dung được rõ vấn đề.
Hãy xét một ví dụ để thấy thế nào là biến số trong, biến số ngoài, hàm thế, điểm tới hạn,và cách tìm ra tai biến trong một hiện tượng.
Các khái niệm sẽ được làm rõ trong máy tai biến của Zeeman  trình bày sau đây.
Lấy  một đĩa tròn có thể quay được chung quanh tâm O (xem hình 4). Tại điểm R của đĩa tròn ta buộc hai dây cao su RP và RQ với điểm P di động trong mặt phẳng của đĩa và điểm Q nằm cố định. Thí nghiệm cho thấy rằng tồn tại một vùng hình sao bốn cạnh ABCD: nếu điểm P nằm ngoài vùng đó thì đĩa có một trạng thái cân bằng ổn định, nếu điểm P lọt vào vùng ABCD thì đĩa có hai trạng thái cân bằng ổn định. Khi điểm P di chuyển từ trong ra ngoài ABCD theo đường UV thì ở biên CB  đĩa rời bỏ trạng thái cân bằng cũ một cách đột ngột để nhảy sang trạng thái cân bằng mới. Trong máy này góc quay x đóng vai trò biến số trong còn tọa độ a, b của nút di động P là các biến số ngoài.
Dùng định lý Hook có thể viết được thế năng V của đĩa. Tập các điểm tới hạn của V, tại đó đạo hàm của V theo x bằng không cho ta trạng thái cân bằng của đĩa. Các điểm này nằm trên một mặt cong K có dạng nếp nhăn của một miếng vải. Chiếu K xuống mặt phẳng a, b ta có tai biến nếp gấp lùi (tai biến thứ hai bên trái ở hình 3).

Hình 4. Máy tai biến Zeeman

Như vậy động học của máy tai biến Zeeman ứng với một tai biến – tai biến nếp gấp lùi  (1,2) trong LTTB của René Thom. Tại những điểm của tai biến đó, góc x có thể nhảy từ trị số này sang trị số khác. Bước nhảy này được mô tả bởi mũi tên MN (xem phía trái hình 4).
Tóm lại: Muốn biết một hiện tượng thuộc loại tai biến nào, chỉ cần tìm hàm V, xong tìm các điểm tới hạn của V theo các biến trong, rồi chiếu chúng xuống không gian các biến ngoài thì thu được tai biến của hiện tượng.

Một số ví dụ khác:
a. Sóng biển chạy vào bờ và vỡ tan: tai biến rốn hyperbolic (N=2, C=3)
b. Các cấu hình tạo nên bởi ánh sáng trong môi trường nước và thủy tinh: 5 tai biến đầu trên hình vẽ số 3. LTTB cho phép các nhà quang học tính được cấu trúc tinh vi của các mặt tụ quang (xem hình số 5) mà trước đây người ta chưa hiểu được. Những hiện tượng trong quang học là những hiện tượng chung cho vật lý sóng, cho nên có thể nghĩ đến những tai biến như thế trong âm học, trong cơ học lượng tử.

c. Các kỳ dị Landau của giản đồ Feynman có tai biến đuôi én.
d. Một ví dụ lý thú trong tâm lý học do Zeeman đưa ra (xem hình 6): khi một thanh niên tìm cách tiếp cận một thiếu nữ  (quỹ đạo 1), thường người thiếu nữ lúc đầu e lệ có ý tránh xa (quỹ đạo 2). Song dần dần thiếu nữ chịu làm quen, còn nhiệt tình của người thanh niên có giảm đi một chút ít. Đến một lúc đột nhiên giữa hai người nảy sinh một mối cảm tình mạnh mẽ (quỹ đạo 3). Mặt cong K biểu diễn tình cảm giữa hai người nam nữ. Các biến số ngoài biểu diễn khoảng cách xa gần giữa hai đối tượng. Thái độ ban đầu của thiếu nữ ứng với phần gấp dưới của mặt K. Khi có đột biến về mặt tình cảm thì sẽ có bước nhảy từ phần gấp dưới lên phần gấp trên. Đây là tai biến nếp gấp lùi (N=1,C=2).
Ta thấy 3 hiện tượng rất khác nhau về bản chất: máy tai biến Zeeman ở hình 4 (cơ học), mặt tụ quang ở hình 5 (quang học) và hiện tượng tâm lý ở hình 6 (tâm lý học) lại thuộc cùng một tai biến nếp gấp lùi của René Thom.

7 . Những phản biện
Từ khi cuốn sách “ ổn định cấu trúc và nguồn gốc các hình thái – Structural Stability and Morphogenesis” [2], của René Thom ra đời đến nay LTTB đã được sử dụng rộng rãi trong vật lý học, hóa học,sinh học, kinh tế, tâm lý và ngôn ngữ.
LTTB đã từ những tạp chí khoa học bước vào những tạp chí có tính phổ biến và thu hút thị hiếu của công chúng. Nhiều ứng dụng của LTTB có lẽ đã vượt ra ngoài khuôn khổ cách tiếp cận vấn đề của René Thom. Thậm chí nhiều nhà tâm lý học người Anh đã dùng lý thuyết này để đưa ra những lời khuyên nhằm giúp chính quyền Anh ngăn ngừa những vụ nổi loạn trong nhà tù. Họa sĩ nổi tiếng Salvador Dali (hình 7) cũng có tác phẩm lấy cảm hứng từ LTTB của René Thom.

Qua một thời gian, số mô hình tai biến (nhất là các mô hình trong khoa học xã hội có giảm đi) song người ta đã bắt đầu thu được một số kết quả nhờ LTTB, như các kết quả trong quang học, trong lý thuyết chuyển pha (tương đương với lý thuyết Landau). Đối với những nhà vật lý, LTTB đã cung cấp một cách tiếp cận mới mẻ vấn đề phá vỡ đối xứng (broken symmetry) trong cơ sở khái niệm ổn định cấu trúc.

Nhiều nhà toán học đã xét lại vấn đề và cho rằng nhiều mô hình tai biến không đúng với thực tế. Song họ không công kích những cơ sở toán học của René Thom mà chỉ vạch ra những mô hình tai biến không có tính thuyết phục do nhiều tác giả đưa ra.
Bản thân René Thom cũng thiên về ý nghĩ LTTB chủ yếu được áp dụng cho vật lý học.
Năm 1978 các nhà toán học Hector Sussmann và Raphael Zahler đã viết một bài trong tạp chí triết học Synthèse công kích mạnh mẽ các tác giả ít nhiều tùy tiện áp dụng LTTB vào các khoa học xã hội và sinh học. Theo hai tác giả trên LTTB chỉ có thể áp dụng vào vật lý và kỹ thuật.
Trước sự cuồng nhiệt quá mức với LTTB của nhiều tác giả, bản thân René Thom cũng thốt lên rằng “ LTTB đã chết” vào năm 1997. Ông cũng nghĩ rằng LTTB không thể cho chúng ta những kết quả định lượng được (tuy thế trái với ý kiến của bản thân René Thom nhiều tác giả đã thu được kết quả định lượng khi ứng dụng LTTB vào vật lý và kỹ thuật[6]).
      

8 . LTTB trở lại hội nhập khoa học phức hợp?
Một thời gian LTTB có phần lắng xuống vì lẽ lúc bấy giờ LTTB dường như cô độc trong một cách tiếp cận vấn đề phức hợp (complexity). Song giờ đây khi khoa học phức hợp (complexity science) [1] trở thành một ngành khoa học chủ yếu (essential) của thế kỷ 21 thì LTTB trở thành một phạm trù, một công cụ, một mốc phát triển quan trọng của  khoa học phức hợp.
Như trên đã thấy LTTB cho ta một cách nhìn thống nhất đối với nhiều hiện tượng khác nhau. LTTB trở thành một bộ phận của lý thuyết hỗn độn và do đó của khoa học phức hợp – khoa học của thế kỷ 21.
Các nhà vật lý lý thuyết cho rằng không có lý thuyết nào đẹp đẽ và tổng quát như LTTB trong lúc nghiên cứu các kỳ dị trong các giản đồ Feynman, trong các hiện tượng chuyển pha. Và nếu nói đến một văn hóa trong nhận thức luận nói chung của nhân loại thì LTTB là một tiếp cận vấn đề phức hợp  độc đáo và sáng tạo[6].
                                                                                             
————
Tài liệu tham khảo
[1] CC, Khoa học phức hợp  – khoa học của thế kỷ 21,Tia Sáng, số 16-20/08/2007.
[2] René Thom, ổn định cấu trúc và nguồn gốc các hình thái, Structural Stability and Morphogenesis –  Benjamin-Cummings Publishing, Reading, Massachusetts, 1975.
[3] Christopher Zeeman,  Lý thuyết tai biến in 1977.
[4] Ivan Ekeland, Lý thuyết tai biến, La Recherche, số 81, 1977
[5] Tạ Quang Bửu, Vài điều giới thiệu về các bài giảng của GS Chenciner.
GS Tạ Quang Bửu đã tổ chức một seminar lý thú về LTTB tại Hà nội có nhiều nhà vật lý và toán học tham gia vào những năm 70 trước.
[6] Tim Poston, Ian Stewart, Lý thuyết tai biến và ứng dụng.
———————-

ảnh: René Thom (02/tháng 07/1923 – 25/tháng10/2002) là  nhà toán học Pháp. Ông nghiên cứu tôpô, lý thuyết kỳ dị (singularity theory) và trở thành nổi tiếng nhờ sáng tạo lý thuyết tai biến (catastrophe theory). Ông nhận giải  Fields năm 1958.