Mô hình Chuẩn của Vật lý Hạt cơ bản: Sắc động lực học lượng tử (Phần III)

Như mào đầu ở phần Nhập đề, định luật diễn tả lực mạnh gắn kết các hạt cơ bản quark được gọi là  Sắc động lực học lượng tử (viết tắt QCD). Thuật ngữ sắc (sắc tích) trong QCD chép mượn chữ điện (điện tích) trong Ðiện động lực học lượng tử (QED).

QED là lý thuyết hoàn hảo duy nhất của ngành vật lý hạt cơ bản được xây dựng những năm 1950 thời “tiền Mô Hình Chuẩn” để diễn tả tương tác điện-từ. QED, mà Feynman gọi là hòn ngọc của lý thuyết trường lượng tử, đạt tới mức chính xác một phần mười tỷ khi so sánh thực nghiệm và tính toán; hai ví dụ là momen-từ lưỡng cực dị thường của electron và các trạng thái năng lượng cực kỳ tinh vi của nguyên tử hydrogen.

Nguyên lý đối xứng đóng vai trò cốt tủy cho sự hoàn tất của QED nói riêng và cho sự khám phá những định luật vận hành và cấu trúc của vật lý hạt cơ bản nói chung. Nó rọi sáng chỉ đường để phát hiện ra hai định luật tương tác cơ bản mới lạ là QCD và Điện-Yếu.

Thật vậy, cả 3 lực: mạnh, điện từ và yếu đều bị chi phối, điều hành bởi một nguyên lý căn bản gọi là  đối xứng chuẩn định xứ (local gauge symmetry), một công cụ nhiệm mầu để phát hiện ra cả 3 định luật cơ bản nói trên. Đối xứng này xác định trước hết là phải tồn tại những boson chuẩn mang spin 1 để truyền tải lực cho quark và lepton tương tác, những boson chuẩn này tuân theo phương trình Maxwell (cho photon của lực điện-từ) và Yang-Mills (cho gluon của lực mạnh và W, Z của lực yếu).

Lịch sử khám phá QED thực ra đã đi con đường ngược lại: electron và dòng điện của nó lấy từ phương trình Dirac chính là nguồn tạo nên trường điện-từ photon (diễn tả bởi phương trình Maxwell); từ đó tổng hợp chúng để hình thành định luật tương tác giữa electron và photon (QED). Khi phân tích cấu trúc toán học của QED thì nguyên lý đối xứng chuẩn định xứ được phát hiện. Đối xứng này từ đó trở thành ngọn hải đăng trong ngành vật lý hạt, khi khai thác và mở rộng nó thì hai định luật của tương tác mạnh và yếu được khám phá; theo thứ tự chúng mang tên QCD và Điện-Yếu. Tóm lại:  

QED ⇒ đối xứng chuẩn ⇒ định luật Yang-Mills: QCD và Điện-Yếu

IIIa- Vài điều về Đối xứng.

Trong tiến trình khám phá các định luật khoa học, nhiều nhà nghiên cứu lấy nguồn cảm hứng trong cái đẹp cân đối hài hoà của thiên nhiên để quan sát, tìm tòi, suy luận, sáng tạo. Cái đẹp đó có thể chủ quan trong nghệ thuật, văn chương, hội họa, âm nhạc nhưng trong khoa học tự nhiên nó khách quan, định lượng và mang tên gọi đối xứng với dụng cụ toán học là  nhóm đối xứng để phân tích, xếp đặt thứ tự các trạng thái, phát hiện phương trình diễn tả quy luật tương tác của hệ thống và tiên đoán những hệ quả kiểm chứng bởi thực nghiệm. Sự tìm kiếm những đối xứng và sự vi phạm tuần tự của nó, cũng như xác định được những gì bất biến trong vật lý là phương pháp chỉ đường phổ biến và hữu hiệu trong công cuộc khám phá.

Đối xứng được định nghĩa theo nhà toán học Hermann Weyl (1885-1955) như sau: một định luật khoa học mang một tính đối xứng nếu nó biểu hiện không hề thay đổi khi ta tác động lên nó bởi một phép biến chuyển. Hình cầu là một minh hoạ rõ rệt của một vật thể đối xứng: phép quay trong không gian ba chiều với bất kỳ một góc nào chung quanh tâm của hình cầu không làm nó thay đổi hình dạng. Nói cách khác, đường kính của hình cầu là một bất biến của phép quay chung quanh tâm của nó.

Có hai định lý vô cùng phong phú – khám phá bởi nhà nữ toán học Emmy Noether năm 1918 – theo đó khi một tính đối xứng chi phối một hệ thống vật lý nào đó thì phải có một định luật bảo toàn kèm theo, và như vậy phải có một đại lượng bất biến tương ứng. Định lý thứ nhất liên đới đến tính đối xứng toàn bộ (global symmetry) hàm nghĩa là phép biến chuyển không phụ thuộc vào từng điểm của không-thời gian, diễn tả bởi tứ-vectơ x^_μ. Định lý thứ hai liên đới đến tính đối xứng định xứ (local symmetry) hàm nghĩa là phép biến chuyển phụ thuộc vào x^_μ, nó phong phú hơn nhiều vì nhờ đó mà phát hiện một trường tương tác mới lạ gọi là boson chuẩn có spin 1 và điều kỳ diệu tiếp theo là khám phá ra phương trình diễn tả sự tương tác của chúng.

Bản thân của mỗi định luật căn bản vật lý nhiều khi tuân thủ một phép đối xứng nào đó mà nhà nghiên cứu cần tìm kiếm ra.

Ví dụ của định lý Noether thứ nhất là luật bảo toàn năng lượng, hệ quả của tính đối xứng toàn bộ bởi sự chuyển đổi tịnh tiến của thời gian (một thí nghiệm thực hiện hôm nay, năm trước hay tuần sau, trong cùng một điều kiện, cũng đều giống hệt nhau). Tính đối xứng bởi sự chuyển đổi tịnh tiến của không gian (thí nghiệm thực hiện trong cùng một điều kiện tại Hà Nội, Paris, Washington đều như nhau) cho ta định luật bảo toàn xung lượng. Hai định luật bảo toàn này, theo thứ tự, diễn tả tính đồng nhất của thời gian (lúc nào cũng thế) và của không gian (đâu cũng vậy). Ngoài ra còn có đối xứng bởi phép quay chung quanh một trục, nó đưa đến định luật bảo toàn xung lượng góc. Định luật này diễn tả tính đẳng hướng của không gian (bất kỳ chiều hướng nào cũng tương đương như nhau). Đồng nhất và Đẳng hướng là hai đối xứng cơ bản của không gian và thời gian.

Một ví dụ của định lý Noether thứ hai là sự bảo toàn điện tích, hệ quả của phép đối xứng chuẩn định xứ trong lực điện-từ. Điện tích chẳng bao giờ mất đi hay sinh ra cả, nó bất biến bởi phép biến chuyển chuẩn (gauge transformation). Danh từ chuẩn, cũng do Hermann Weyl đưa ra, hàm ý là không có một thang chuẩn mực, thước đo tuyệt đối nào trong cách tính toán, đong đếm, đo lường giá trị nội tại của các đại lượng khoa học. Mét hay một năm ánh sáng,  đơn vị nhiệt độ Fahrenheit hay Celsius đều tương đương, đó chỉ là ước lệ của con người. Bất biến bởi đối xứng chuẩn hàm ý là giá trị tự tại của một đại lượng không phụ thuộc vào phương cách, mực thước, đơn vị mà ta dùng để đo lường, tính toán.

Đối xứng chuẩn đóng một vai trò cực kỳ quan trọng trong tiến trình khám phá, khởi đầu trong điện từ và sau đó lan rộng sang nhiều ngành khoa học như vật lý hạt, vật lý chất rắn, vũ trụ thiên văn vô hình trung kèm theo những ứng dụng kỳ diệu trong công nghệ liên đới đến những ngành này¹³ .

Vậy đối xứng chuẩn và biến chuyển chuẩn là gì? Ai trong chúng ta khi làm quen với cơ học lượng tử đều biết rằng bình phương độ lớn của hàm số sóng |Ψ(x)|² của electron cho ta xác suất trạng thái của nó. Ta thấy ngay phép biến chuyển chuẩn Ψ(x) → e^ieα(x) Ψ(x) với bất kỳ một hàm thực α(x) nào đều không làm thay đổi |Ψ(x)|² của electron. Biến chuyển chuẩn (chuyển pha) có hai đặc tính là liên tục (vì α(x) là hàm liên tục của x) và định xứ. Tính từ “định xứ” nhấn mạnh α(x) tuỳ thuộc vào biến số x, chữ viết tắt của tứ-vectơ x^_μ ≡ (ct, x) diễn tả không-thời gian bốn chiều.

Cũng vậy phương trình Maxwell của photon, diễn tả bởi tứ-vectơ điện thế A_μ(x), không thay đổi bởi phép biến chuyển A_μ(x) → A_μ(x) – (1/e) ∂α(x)/∂x^μ, ta thêm vào hay bớt đi đạo hàm ∂α(x)/∂x^μ của bất kỳ hàm α(x) nào trong A_μ(x) cũng không làm thay đổi phương trình Maxwell. Định luật điện-từ bất biến bởi phép biến chuyển Aμ(x) → Aμ(x) – (1/e) ∂α(x)/∂x^μ và Ψ(x) → e^ieα(x) Ψ(x) với bất kỳ hàm thực α(x) nào ¹⁴.

Cụ thể, ta mường tượng đối xứng này như sau: điện thế của trái đất là một triệu volt và hai cực điện trong nhà là 1000000 volt và 1000220 volt, nhưng máy của chúng ta chạy với 220 volt không hề trục trặc mặc dầu hàng triệu volt điện thế của quả đất. Cái quan trọng là hiệu số của điện thế chứ không phải bản thân của điện thế ở mỗi điểm x của không-thời gian. Vì α(x) là bất kỳ hàm gì, có muôn ngàn điện thế tùy tiện khác nhau ở mọi nơi trong hoàn vũ bao la, nhưng định luật chi phối sự vận hành của chúng phải được điều chỉnh ra sao để cho ta một trường điện từ duy nhất, lực điện từ trong máy của chúng ta cũng là lực điện từ trên các thiên thể. Hệ quả của đối xứng định xứ là số lượng điện tích bao giờ cũng được bảo toàn trong các quá trình vật lý, chúng bất biến với thời gian và không gian. Đó là ý nghĩa vật lý của các loại đối xứng định xứ, nó tác động lên cả bốn lực cơ bản: hấp dẫn, mạnh, điện-từ, yếu.

IIIb-Từ đối xứng đến định luật.

  1- Theo thuyết tương đối rộng (luật hấp dẫn), mọi người quan sát bất kể họ chuyển động ra sao đều bình đẳng như nhau, người di chuyển với gia tốc cũng có thể nói họ đứng yên vì họ có thể thay thế lực mà họ bị tác động lên bằng lực hấp dẫn mà họ bị đặt vào. Sự tương đương giữa gia tốc và trọng lực có thể minh họa qua hình ảnh quen thuộc của phi hành gia lơ lửng đứng yên trong hỏa tiễn bay với gia tốc lớn. Nó phản ánh ý tưởng mà Einstein coi như mãn nguyện nhất trong đời ông: “một người rớt từ trên cao xuống không cảm thấy sức nặng của mình”. Theo nghĩa đó, lực hấp dẫn tuân thủ một phép đối xứng định xứ, nó bảo đảm rằng tất cả các  hệ quy chiếu ở mọi điểm của không-thời gian đều tương đương với nhau.

   2- Đối xứng chuẩn định xứ khẳng định tính bất biến của định luật điện-từ bởi những chuyển dời của điện tích từ điểm này đến điểm kia của không-thời gian. Cũng thế, đối với lực mạnh của hạt nhân nguyên tử thì hai hạt proton và neutron đều hoàn toàn bình đẳng, định luật tương tác mạnh của hạt nhân không thay đổi bởi sự hoán chuyển proton ↔ neutron ở bất kỳ điểm nào trong không-thời gian.

Và đây là điểm cốt lõi: Sự tương đương của mọi hệ quy chiếu (bất kỳ chúng chuyển động có hay không có gia tốc) đòi hỏi phải có luật hấp dẫn và xác định được luật hấp dẫn dưới dạng phương trình Einstein của thuyết tương đối rộng ¹⁵.

  3- Định luật tương tác điện-từ giữa electron với photon cũng có thể được phát hiện như vậy. Mở đầu chỉ có một trường electron Ψ(x), với điều kiện là hoán chuyển Ψ(x) → e^ieα(x) Ψ(x) không làm biến đổi dạng của hàm Lagrange ¹⁶ Ψ^–(x)(iћγ^μ∂_μ – mc) Ψ(x) của electron. Đòi hỏi này đưa tới hệ quả là phải hiện hữu một trường tứ-vectơ A_μ(x). Thực vậy, đạo hàm ∂_μ ≡ ∂/∂x^μ áp đặt lên e^ieα(x) Ψ(x) bó buộc một trường A_μ(x) nào đó phải hiện hữu để triệt tiêu hệ số ∂_μα(x) và góp phần cho hàm Lagrange bất biến bởi hoán chuyển Ψ(x) → e^ieα(x) Ψ(x). Hơn nữa, trường A_μ(x) và tenxơ liên đới F_μv ≡ ∂_μA_v (x) – ∂_vA_μ (x) lại tuân thủ phương trình Maxwell, vậy A_μ(x) chính là trường photon. Kết quả cuối cùng để cho hàm Lagrange bất biến là cả hai trường electron Ψ(x) và photon A_μ (x) phải gắn kết dưới dạng eΨ^–(x)γ^_μΨ(x)A_μ(x), mà công thức này chính là định luật tương tác điện-từ (QED), kỳ thú thay!

  4- Cũng theo cách lập luận như trên, ta sẽ đi từ đối xứng giữa proton và neutron trong các quá trình của hạt nhân nguyên tử để phát hiện ra định luật tương tác của chúng, định luật này là phiên bản đầu tiên của lý thuyết chuẩn Yang-Mills. Thực thế neutron giống hệt như proton trong những tác động của chúng ở lãnh vực hạt nhân nguyên tử, vậy phép đối xứng định xứ giữa hai thành phần proton và neutron của nucleon (ở bất kỳ một điểm nào của không-thời gian) đòi hỏi tương tác mạnh phải được diễn tả dưới dạng của một phương trình cụ thể nào đó.

Chen Ning Yang cùng đồng nghiệp Robert Mills bàn luận về tính bất biến của lực mạnh dưới sự hoán chuyển proton ↔ neutron và tìm ra định luật tương tác đáp ứng phép đối xứng này. Công trình cực kỳ phong phú đó gọi là lý thuyết chuẩn Yang-Mills ¹⁷ với nhóm đối xứng SU(2) giữa hai đối tượng là proton và neutron.

Mô phỏng phương pháp này vào trường hợp của quark mang sắc tích bằng cách thay thế nhóm đối xứng SU(2) giữa proton và neutron bởi nhóm đối xứng SU(3)C giữa 3 sắc tích của quark, thuyết Yang-Mills xây dựng với SU(3)C do đó mang tên Sắc động lực học lượng tử và boson chuẩn của nó là gluon.

Đối xứng chuẩn định xứ giữa ba sắc tích của quark diễn tả tính bất biến của QCD bởi những chuyển rời của sắc tích từ một điểm không-thời gian này đến một điểm không-thời gian kia.
 
IIIc- Tự do tiệm cận và nô lệ hồng ngoại.

Về mặt cấu trúc toán học thì sự hoán chuyển của N vật thể bởi nhóm đối xứng SU(N) được biểu diễn với (N² – 1) ma trận N x N, tương ứng với (N² – 1) boson chuẩn nối kết N vật thể với nhau. Với nhóm SU(2) ta có 3 ma trận Pauli, với nhóm SU(3) ta có 8 ma trận Gell-Mann và QCD có 8 boson chuẩn (gluon) nối kết quark; cả gluon lẫn quark đều mang sắc tích. Vì những ma trận của SU(N) phản giao hoán (ab ≠ ba) nên đối xứng chuẩn với nhóm SU(N) mang tên đối xứng chuẩn không giao hoán.

Một hệ quả độc đáo do tính không giao hoán của nhóm SU(N) trong lý thuyết Yang-Mills nói chung (và nhóm SU(3)C trong QCD nói riêng) là các (N² – 1) boson chuẩn phải trực tiếp tác động giữa chúng với nhau, khác với điện-từ không có tương tác trực tiếp này. Thực thế nhóm đối xứng U(1) của QED là e^ieα(x) chỉ có một thông số α(x), tương ứng với một boson chuẩn (photon) nên đương nhiên đối xứng chuẩn U(1) giao hoán. Theo định lý Noether, hệ quả của đối xứng SU(3)C trong QCD là sự bảo toàn sắc tích, cũng như hệ quả của đối xứng U(1) trong QED là sự bảo toàn điện tích.

Tác động trực tiếp với nhau giữa các gluon là gốc nguồn của tính chất “tự do tiệm cận” ¹⁸, theo đó, cường độ của lực mạnh giảm đi khi năng-xung lượng E dùng để thám dò quark tăng lên, hằng số tương tác α_QCD nhỏ dần như 1/Log(E) khi E tăng. Trong vùng năng lượng cao, quark và gluon không liên kết chặt chẽ với nhau nữa và được tự do; ngược lại, ở vùng năng lượng thấp (nhiệt độ bình thường), quark và gluon bị giữ chặt trong các hadron. Tính chất lạ lùng này, mệnh danh “nô lệ hồng ngoại”, có thể coi như hệ quả của sự nối dài liên tục từ E lớn xuống E nhỏ của hàm 1/Log(E), hàm này tăng khi E giảm làm cho α_QCD >> 1. Vì khoảng cách không gian R và năng-xung lượng E tỷ lệ nghịch theo nguyên lý bất định, tính “nô lệ hồng ngoại” khiến cho cường độ α_QCD của lực mạnh gắn quark với nhau lại tăng lên với khoảng cách của hai quark, càng đẩy chúng ra xa để tách rời chúng thì lực gắn kết chúng lại càng mạnh hơn lên để kéo giữ chúng với nhau, trái ngược với lực Coulomb của điện-từ bị giảm theo bình phương của khoảng cách giữa hai điện tích. Quark bị cầm tù trong hadron, ở nhiệt độ bình thuờng chúng không sao thoát ra ngoài để lộ mặt. Tính chất độc đáo “tự do tiệm cận” của QCD đã mang giải Nobel 2004 cho Gross, Politzer và Wilczek.

Khi phân tích chi tiết các số liệu thực nghiệm về phân bố tán xạ, điều ngạc nhiên là ở năng lượng cao (nhiệt độ lớn), các thành phần cơ bản quark và gluon hầu như không chút nào bị gắn kết chặt chẽ trong các hadron. Tính tự do tiệm cận của QCD giải thích điều này vì ở năng lượng cao thì lực mạnh nhỏ dần, quark thoải mái vẫy vùng tự do trong hadron. Cũng vậy trong máy gia tốc có năng lượng cao hay ở các thiên thể bùng phát, đặc tính tự do tiệm cận tiên đoán quark cũng như gluon không còn gắn chặt với nhau nữa mà tập hợp vĩ mô của chúng trở thành lỏng và quánh như mật, một trạng thái mới của vật chất gọi là quark-gluon plasma. Trong những giây phút đầu tiên của Vụ Nổ Lớn với năng lượng, nhiệt độ, áp suất, mật độ cao cùng cực, quark và gluon hoàn toàn tự do không còn chút nào gắn kết, tương tác với nhau, vật lý thời nguyên thủy thực là đơn sơ! Khi vũ trụ nguội dần, entropy tăng trưởng, lực mạnh giữa quark gluon tăng dần, gắn kết chúng để thành hadron và vật chất nói chung trở nên phức tạp.

Đặc điểm cần nhấn mạnh của đối xứng chuẩn định xứ là nó đòi hỏi các boson chuẩn – làm trung gian sứ giả cho những trường vật chất quark và lepton tương tác với nhau – phải không có khối lượng ¹⁹. Photon hay gluon là ví dụ của boson chuẩn không có khối lượng. Đó cũng là điều kiện tiên quyết cho sự tái chuẩn hóa thành công của QED và QCD.

Cuối cùng còn lại lực yếu. Đối xứng chuẩn, một nguyên lý mầu nhiệm, có thể đóng vai trò nào cho lực yếu không? Nhìn bề ngoài thì vô vọng vì khối lượng MW của hạt trung gian truyền tải lực yếu không những khác 0 mà lại rất lớn theo nguyên lý bất định (MW _˜  ћ/RW) mà  độ dài truyền tải của lực yếu RW thì cực kỳ nhỏ vì nó chỉ tác động trong hạt nhân nguyên tử.

Ây vậy mà câu trả lời là có, nhưng phải qua nhiều chặng đường khó khăn mà ngoạn mục mang tên gọi là sự phá vỡ tự phát của đối xứng chuẩn định xứ, điều liên đới đến boson Higgs đề cập sau ở Phần IV về thuyết Điện-Yếu.

  

        Chú thích Phần III

¹³ Tạm kể mấy thành quả kỳ diệu của công nghệ mang đến cho đời sống hàng ngày:

    (i)- Mạng lưới toàn cầu (www) được sáng tạo và dùng đầu tiên bởi các nhà vật lý ở CERN. Vì hàng ngàn nhà vật lý ngành năng lượng cao này đều sinh hoạt ở nhiều quốc gia tản mát khắp địa cầu không phải lúc nào cũng có thể thường xuyên làm việc bên CERN, để dễ dàng cộng tác và trao đổi rất nhiều dữ liệu, cùng nhau phân tích tổng hợp nhanh chóng các kết quả nghiên cứu, khoảng năm 1990 đã xuất hiện mạng lưới toàn cầu. Chưa đầy mười năm sau, internet đã nhanh chóng tràn ngập thị trường thông-truyền-tin quốc tế mà điển hình là động cơ truy cập Google.

    (ii)- Cuộc cách mạng số trong những phương tiện truyền thanh, truyền hình, quay phim, điện thoại v.v. được phát triển nhờ những khám phá về laser và chất bán dẫn mà đại diện là các linh kiện vi tính, vi điện tử, quang điện tử.

    (iii)- Hệ thống GPS (Global Positioning System) để xác định tức khắc các địa điểm trên toàn cầu trang bị các phương tiện vận tải, thông truyền tin. Hệ thống đó tùy thuộc căn bản vào máy đo thời gian vô cùng chính xác (đồng hồ nguyên tử khai thác sự dao động tuần hoàn của các nguyên tử vi mô) được dùng đầu tiên với mục tiêu khoa học thuần túy để kiểm chứng thuyết tương đối rộng trong vũ trụ học và thiên văn. Theo thuyết này nhịp độ của đồng hồ thay đổi với sức hút của quả đất, trọng lực giảm trên các vệ tinh GPS thì tần số dao động cũng giảm theo, hay thời gian trôi nhanh lên.

   (iv)- Công nghệ liên quan đến y tế dùng máy gia tốc của các hạt proton hay electron, laser trong giải phẫu, trị bệnh, máy chụp hình nổi như MRI (magnetic resonance imaging), PET (positron emission tomography) trong đó hạt positron (tức phản electron) được tận dụng để rõi theo sự biến chuyển của tế bào.

   (v)- Hiện tượng siêu dẫn điện-từ ở nhiệt độ thấp (từ sát 0K đến 165 K) là một đặc trưng của vật lý lượng tử. Vật liệu siêu dẫn không có điện trở, điện không bị thất tán nếu truyền tải bằng dây siêu dẫn. Hơn thế nữa, một thanh nam châm để gần một vật liệu siêu dẫn sẽ bị nâng bật ra ngoài, khác với điện từ ở điều kiện bình thường. Với những đặc tính trên và từ trường cực kỳ mạnh duới trạng thái siêu dẫn, có nhiều triển vọng cho công nghiệp của thế kỷ 21, đặc biệt trong sự sản xuất, tích trữ và chuyển vận năng lượng. Một ví dụ là khả năng điều khiển được sự tổng hợp nhiệt hạch với lò phản ứng nhiệt hạch quốc tế ITER xây dựng ở Cadarache miền nam nước Pháp. Ngoài ra còn phải kể đến khả năng chủ yếu của siêu dẫn trong các ngành liên quan đến điện tử (với máy tính và dữ kiện dùng vật liệu siêu dẫn), đến sinh học (với thiết bị sensor cực kỳ nhậy bén), đến vận tải (với tàu hỏa tốc hành nâng lên bởi từ trường siêu dẫn, không chạm đường ray nên tàu chạy rất nhanh lại an toàn), đến vật liệu carbon như fullerene C₆₀, vật dẫn điện hữu cơ, đất hiếm.

¹⁴ Trong phương trình Maxwell thực ra có 6 đại lượng vật lý gồm vectơ điện E và vectơ từ B (mỗi vectơ có 3 thành phần), nhưng E và B có thể suy tính ra từ một tứ vectơ điện thế A_μ với 4 thành phần. Tứ vectơ A_μ này được coi như công cụ để thao tác tính toán dễ dàng, nó không thể trực tiếp quan sát đo lường được, khác với E và B. Có muôn vàn điện thế A_μ (x) khác nhau ở mỗi điểm của không-thời gian (vì có thể thêm bớt vào A_μ (x) bất kỳ một đạo hàm ∂α(x)/∂x^μ), nhưng chúng cho ra duy nhất chỉ có một E và một B thôi, minh họa tính bất biến của các đại lượng vật lý bởi phép biến chuyển chuẩn. Cái tùy tiện của điện thế A_μ tuy vậy không phải là một trở ngại, trái lại là khác vì ta có thể lợi dụng điều kiện đó để, tùy trường hợp, thay thế chuẩn mực này bởi chuẩn mực khác để dễ dàng tính toán, miễn là cuối cùng phải kiểm soát kết quả tính toán không tùy thuộc vào bất kỳ một chuẩn nào cả.

Nôm na như đo lường khoảng cách thời gian trôi không phụ thuộc vào loại đồng hồ và đơn vị thời gian.

¹⁵Trong phương trình Einstein R_μν – (½)R g_μν = (8πG/c⁴)T_μν, hệ số (½)Rg_μν (mà riêng ông đã tìm ra và đặt thêm vào ngày 25/11/1915) đóng vai trò tối cần thiết để đáp ứng luật bảo toàn năng-xung lượng ∂_μT_μν = ∂_vT_μv = 0. Trước đó năm 1913, Grossmann và Einstein cộng tác đã đi gần tới đích với tenxơ Ricci: R_μν = (8πG/c⁴)T_μν, nhưng vế trái ∂_μ R_μν và ∂_vR_μν đều ≠ 0 trong khi vế phải ∂μTμν = ∂_νT_μν = 0 nên hệ số (½)Rg_μν phải thêm vào vế trái phương trình để đạo hàm của R_μν và (½)Rg_μν triệt tiêu nhau và tuân thủ định luật bảo toàn năng-xung lượng.

¹⁶Hiệu số giữa động năng và thế năng của một vật, hàm Lagrange đóng vai trò cực kỳ quan trọng trong cơ học cổ điển cũng như trong cơ học và trường lượng tử, nó cho ta phương trình vận chuyển và quỹ đạo của vật.

¹⁷ Thuyết Yang-Mills mở rộng thuyết điện-từ bởi sự thay thế electron bằng 2 thành phần của  nucleon là proton và neutron, nhóm đối xứng U(1) của điện-từ được thay thế bởi nhóm SU(2) của Yang-Mills. Đại thể như sau:

  (i)- Hoán chuyển giữa 2 vật thể proton ⇔ neutron được thực hiện bởi nhóm đối xứng SU(2) với 3 ma trận 2 x 2 của Pauli τ⁺, τ^–, τ³ viết tắt là vectơ ma trận τ . τ⁺ chuyển n thành p, τ^– chuyển p thành n, τ³ giữ nguyên vẹn p và n. Đồng hành với vectơ ma trận τ là hàm vectơ α(x) cũng có 3 thành phần α+(x), α-(x), α₃(x) để cho tích số τ.α(x) của hai vectơ τ và  α(x) là một lượng vô hướng. Lượng τ.α(x) và e^iτ.α(x) thay thế, theo thứ tự, α(x) và e^ie_α(x) của phép hoán chuyển chuẩn Ψ(x) → e^ie_α(x) Ψ(x) trong điện-từ. Với nhóm SU(2), ta có 3 ma trận Pauli nói riêng và với nhóm SU(N) ta có (N² – 1) ma trận nói chung.

  (ii)- Mở đầu là trường nucleon Ψ₂(x) (có 2 thành phần proton và neutron) với điều kiện là phép hoán chuyển chuẩn Ψ₂(x) → e^iτ.α(x) Ψ₂(x) không làm biến đổi dạng của hàm Lagrange Ψ^–₂(x)(iћγ^μ∂_μ – mc) Ψ₂(x) của nucleon. Đòi hỏi này đưa tới hệ quả là phải hiện hữu 3 tứ-vectơ A_μ (x), viết gọn là  A_μ (x), đó là 3 boson chuẩn của nhóm SU(2). Tính toán ma trận cho ta tenxơ F_μv = ∂_μA_v – ∂_v A_μ + A_μ x A_v thay thế tenxơ F_μv = ∂_μA_v –  ∂_v A_μ của điện-từ. Chính sự hiện hữu của tích số vectơ A_μ x A_v, đặc trưng của lý thuyết Yang-Mills, là do tính không giao hoán của các ma trận Pauli.

  (iii)- Từ nhóm SU(2) nguyên thủy, ta mở rộng sang các nhóm đối xứng SU(N) khác. Boson chuẩn của điện từ (photon) được thay thế bởi (N² – 1) boson chuẩn mở rộng A_μ. Các boson chuẩn Yang-Mills trực tiếp tác động với nhau qua số hạng được mở rộng A_μ x A_v với (N² – 1) thành phần.

QCD là thuyết Yang-Mills với nhóm đối xứng SU(3)C giữa 3 sắc tích của quark, và boson chuẩn của QCD là 8 gluon. Ronald Shaw môn đệ ở đại học Cambridge của Abdus Salam cũng có ý tưởng tương tự, trong luận án tiến sĩ của Shaw năm 1954, ông cũng tìm thấy phương trình (nay mang tên Yang-Mills) mặc dầu không hề biết đến công trình của Yang-Mills lúc ấy chưa in trên Physical Review 96, 191 (1954). Ngày nay thông tin khoa học được nhanh chóng cập nhật với hệ thống arXiv.

¹⁸Tính chất độc đáo của QCD (do A_μ x A_v) là boson chuẩn gluon phải trực tiếp tác động giữa chúng với nhau (Hình e), khác với boson chuẩn của điện-từ (photon) không có tương tác trực tiếp này. Chính sự gắn bó giữa ba gluon là gốc nguồn của tính chất “tự do tiệm cận” và mang giải Nobel 2004 cho ba tác giả David J. Gross, H. David Politzer và Frank Wilczek đã chứng minh được tính chất này. Để được giải Nobel này, tất cả chỉ là một dấu trừ, như Politzer vui vẻ bình luận trong diễn văn nhận giải.

Thực thế, do tác động của các hạt ảo (hạt mà năng lượng E, xung lượng k và khối lượng m của nó không tuân thủ đẳng thức Einstein E² – k²c² = m²c⁴ của hạt thực) tràn ngập chân không lượng tử nên các hằng số tương tác không cố định mà thay đổi với năng lượng, một đặc trưng chung cho các lý thuyết trường lượng tử tái chuẩn hóa. Đặc tính này gọi là hằng số di động (running coupling constant); đạo hàm (đối với năng lượng) của hằng số di động gọi là hàm bêta, vậy tùy theo hàm bêta dương hay âm mà hằng số di động tăng hay giảm. Trong QED, hàm bêta dương, thực nghiệm cho α_em(E = 0) _˜  1/137 và α_em(E = 100 GeV) _˜ 1/129.

Tại sao hằng số lại thay đổi tuy chỉ nhẹ nhàng như hàm Logarithm? Lý do là electron trần trụi lúc nào cũng bị vây quanh, trước hết bởi những positron bị electron hút gần vào (do lực Coulomb), rồi những positron ấy lại bị nhiều electron khác kèm thành cặp, cứ thế liên hồi chúng ngăn chặn làm khó khăn cho photon thăm dò electron trần trụi. Muốn càng gần electron để đo lường điện tích của nó thì photon phải có năng lượng E càng lớn để vượt qua rào cản của các cặp fermion ảo e^–e⁺ vây quanh electron trần trụi, và hằng số tương tác điện-từ α_em như vậy tăng lên với E, minh họa bởi Hình d.

Hình d: electron trần trụi ở trung tâm bị rào cản bởi muôn vàn cặp ảo electron-positron (hình bầu dục xanh vàng)

  Ngược lại, hàm bêta của QCD có dấu âm, khi E → ∞ thì hằng số di động của tương tác mạnh nhỏ dần như 1/Log(E) → 0. Lý do là gluon khi thăm dò quark lại được vài gluon bạn (Hình e) kèm theo trợ giúp (điều mà photon không có) nên gluon dễ dàng tiến gần vào quark, mặc dầu cũng bị rào cản bởi các cặp ảo quark-phản quark giống như trường hợp photon bị rào cản bởi các cặp e^–e⁺ trong QED. Nhưng được nâng đỡ bởi các gluon bạn nên rốt cuộc các gluon bạn thắng được sự rào cản của các cặp ảo quark-phản quark. Chính xác ra hàm bêta của QCD  _˜  2N_F  – 11N_C , N_F là số hương vị và N_C = 3 là số sắc tích của quark. Vì N_F = 6 (chỉ có 6 loại quark u, d, c, s, t, b như ta biết ở năng lượng dưới 200 GeV) nên hàm bêta của QCD có dấu âm và QCD có tính tự do tiệm cận. Ngược lại, nếu trong thiên nhiên số lượng hưong vị của quark N_F ≥ 17 thì hàm bêta của QCD có dấu dương như QED.

Hình e: 3 và 4 gluon gắn kết tương tác với nhau.

  Cái khó khăn trong kỹ thuật tính toán hàm bêta của QCD là có 3 và 4 boson chuẩn (gluon) của QCD trực tiếp tác động và trợ giúp nhau (Hình e), điều mà QED thiếu.Tính toán nhọc nhằn được hàm bêta của QCD là cả một kỳ công, dấu cộng hay trừ ở đây quyết định tất cả. Khi Politzer (mới 24 tuổi) trình bày dấu trừ cho thầy hướng dẫn luận án của ông là Sidney Coleman, một chuyên gia hàng đầu về lý thuyết trường lượng tử ở Đại học Harvard, Coleman cho rằng trò mình lầm và bắt làm lại. Wilzeck (mới 22 tuổi) cùng Gross, thày hướng dẫn luận án ở Đại học Princeton, cộng tác mật thiết trong việc tìm ra dấu trừ cho hàm bêta của QCD.

Ngược với tự do tiệm cận (ở năng lượng cao) là “nô lệ hồng ngoại’’ hàm ý là ở năng lượng thấp (ánh sáng hồng ngoại) thì quark bị cầm tù trong hadron, ở năng lượng cao thì quark được tự do. Viện toán học Clay (Clay Mathematics Institute) treo giải một triệu dollars cho người nào chứng minh chính xác được tính nô lệ hồng ngoại của QCD. Nói theo ngôn từ vật lý thì “nô lệ hồng ngoại’’ hàm ý sự hiện hữu của khe năng lượng ∆ ≠ 0 tựa như trong hiện tượng siêu dẫn điện-từ. Cũng viện Clay này năm 2004 đã vinh tặng hai G.S. Gérard Laumon và Ngô Bảo Châu giải được một phần của bổ đề Langlands với nhóm unita.

¹⁹ Thực thế nếu boson chuẩn  A_μ có khối lượng M ≠ 0, thì hệ số M²A_μ A_^μ làm cho hàm Lagrange không còn bất biến bởi hoán chuyển chuẩn A_μ(x) → A_μ(x) – ∂_α(x)/∂x_^μ.