29 08 2016

Mối liên quan kỳ diệu giữa Lý thuyết dây, đại số và Lý thuyết số

Sự phát hiện ra mối liên quan giữa LTD (Lý thuyết dây), đại số (gắn liền với các đa tạp Calabi-Yao, K3) và lý thuyết số là một thành tựu nổi bật của các nhà toán học và vật lý đề cập đến một vấn đề rất thời sự và chứa nhiều yếu tố mới lạ gây ấn tượng mạnh lên trí tưởng tượng.

Mối liên quan này giúp các nhà vật lý LTD và các nhà toán học dễ dàng hiểu nhau và giúp họ tìm những ý tưởng tương đồng trong quá trình nghiên cứu.
Bài viết này nhằm trình bày ý tưởng chính của vấn đề vốn rất đơn giản. Trong phần tài liệu tham khảo có các đường link đến các kiến thức toán học cần thiết.

Năm 1978 nhà toán học John McKay đã nhận xét một điều tưởng chừng như một sự trùng hợp lạ lùng¹. McKay nghiên cứu cấu trúc của một thực thể toán học được gọi là siêu nhóm (monster group)²mà các nhà toán học nghĩ rằng nhóm này trình bày một đối xứng mới. Họ tin rằng nếu siêu nhóm tồn tại thì nó hoạt động trong những chiều đặc biệt, hai chiều đầu tiên là 1 và 196.883.

McKay cũng đề cập đến một lĩnh vực hoàn toàn khác liên quan đến j – hàm số³, một trong các đối tượng cơ bản của lý thuyết số. Một điều lạ lùng là hệ số đầu tiên của hàm này là 196.884, McKay hiểu ngay rằng 196.884 = 1+196.883 là tổng của hai chiều đặc biệt trong siêu nhóm.

Đa số các nhà toán học nghi ngờ về mối quan hệ giữa siêu nhóm và j – hàm số. Song John Thompson, giải Field (Đại học Florida ) lại tìm ra hệ số thứ hai của j – hàm số là 21.493.760 = 1 + 196,883 + 21,296,876 = tổng ba chiều đặc biệt của siêu nhóm. Như vậy không còn nghi ngờ gì về mối liên quan giữa j-hàm số và cấu trúc của siêu nhóm.

Năm 1979, John Conway (Đại học Princeton) & Simon Norton cho rằng có mối liên quan thực sự giữa siêu nhóm và j – hàm số và gọi mối liên quan đó là Siêu Ánh trăng (Montrous Moonshine)⁴.

Từ Ánh trăng được dùng để chỉ đến sự liên quan của hai đối tượng rất cách xa nhau, tưởng chừng như không có điều gì là chung cả .Từ này được John Conway & Simon P.Norton đưa vào năm 1979.

Như chúng ta biết đối xứng của một hình sẽ ứng với một nhóm đại số. Trong suốt thế kỷ 20, các nhà toán học đã xây dựng lý thuyết nhóm và xếp hạng chúng.

Nhóm có kích thước lớn nhất là siêu nhóm được phát hiện cuối cùng. Siêu nhóm (Monster group) có số yếu tố là 1053, số này lớn hơn số nguyên tử trong một ngàn Trái đất. Theo Borcherds, cái cầu nối giữa 2 lĩnh vực đó chính là LTD (Lý thuyết dây – String theory). Hàm j mô tả các dao động của dây trong một mô hình của LTD còn siêu nhóm mô tả đối xứng của không thời gian (có đa tạp Calabi – Yau) trong đó dây cư trú.

Sự phát hiện của Borcherds dẫn đến một lĩnh vực mới đó là đại số Kac-Moody. Tiếc thay đối với các nhà LTD điều này dường như dẫn đến một vũng nước tù, vì rằng LTD 24 – chiều nối liền j – hàm số với siêu nhóm đã bị bỏ rơi khỏi các mô hình LTD.

Song Ánh trăng giờ đây lại có một thời phục hưng.

Năm 2012, các nhà khoa học đưa ra giả thuyết Umbral Moonshine (Bóng Ánh trăng), theo giả thuyết này ngoài Siêu Ánh trăng (Montruous Mooshine) còn có 23 Ánh trăng khác: tồn tại mối liên quan nói chung giữa số chiều của một nhóm đối xứng và hệ số của một hàm đặc biệt.

23 ánh trăng mới bắt nguồn từ một cấu trúc quan trọng trong LTD: đó là các mặt K35,⁶. Mối liên quan đó gắn liền với đối xứng ẩn của các mặt K3 đó, theo phát biểu của Miranda Cheng (Đại học Amsterdam).

Trong mỗi trường hợp trong số 23 trường hợp sẽ tồn tại một mô hình LTD.

Như chúng ta biết LTD tồn tại trong không-thời gian 10-chiều, 6 chiều dư bị côm-pắc hóa nghĩa là bị cuộn lại. Số khả năng côm-pắc hóa vào khoảng 10500 và khó lòng nói được phương án côm-pắc hóa nào ứng với thực tại. Chúng ta không thể nghiên cứu hết mọi khả năng côm-pắc hóa. Chúng ta cần một giải pháp đơn giản hóa. Phương án K3 là phương án không quá đơn giản mà cũng không quá phức tạp. K3 có các tính chất của đa tạp Calabi-Yau của LTD mà chúng ta đã quen thuộc. K3 cũng là một đa tạp Kahler (variétés kählériennes) như Calabi-Yau.

Hàm modular^{7, 8}

Như đã nói McKay phát hiện mối liên quan giữa siêu nhóm và j-hàm. Các j-hàm thuộc về một lớp hàm mà biểu đồ của chúng là những hình lặp lại giống như trong bức tranh của họa sĩ M.C.Escher, các hình nhỏ dần khi đến gần biên.

Hình 2. Các hàm modular có biểu đồ lặp lại giống như trong bức tranh trên

Các hàm modular đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết số ví dụ trong phép chứng minh của Andrew Wiles năm 1994 định lý Fermat cuối cùng.Nhà toán học Kachru phát biểu: mỗi lần chúng ta nghe nói đến một thành tựu xuất sắc nào đó trong lý thuyết số là y như rằng điều đó có liên quan đến các dạng modular.

Giống như trong âm học j – hàm có thể phân tách thành các giọng và các hệ số của j-hàm môt tả độ trầm bổng của mỗi giọng. Chính nhờ các hệ số này mà McKay phát hiện được mối liên quan đến siêu nhóm (monster group). Năm 1990 Borcherds chứng minh rằng tồn tại một mô hình LTD trong đó hệ số j – hàm mô tả sự dao động của dây tại mỗi mức năng lượng còn siêu nhóm mô tả đối xứng của các mức năng lượng đó.

Nhờ đó mà các nhà toán học có thể nghiên cứu được siêu nhóm bằng cách sử dụng j-hàm vì hệ số j-hàm là dễ tính hơn.Như vậy các nhà toán học có thể nghiên cứu một lĩnh vực bằng cách nghiên cứu một lĩnh vực dễ tiếp cận hơn.

Những Ánh trăng mới

Trong khi các nhà toán học đi sâu vào Siêu Ánh trăng thì các nhà vật lý LTD quan tâm đến vấn đề: nghiên cứu hình học của những chiều không thời gian nhỏ trong các mô hình LTD. Với các hình học khác nhau thì dây sẽ dao động khác nhau tương tự độ căng của mặt trống sẽ làm thay đổi dao động âm của trống. Nhiều thập kỷ các nhà vật lý đi tìm hình học tạo nên các hệ quả vật lý của thế giới thực tại.

Một yếu tố quan trọng là ứng viên cho một hình học như thế là mặt K3 (theo chữ đầu của tên ba nhà toán học Kummer, K¨ ahler, and Kodaira).

Năm 2010, ba nhà vật lý LTD Tohru Eguchi ( Kyoto University), Hirosi Ooguri ( California Institute of Technology) và Yuji Tachikawa (University of Tokyo) tìm ra các hàm mô tả dao động trong LTD và hệ số các hàm đó ứng với các chiều của nhóm M24 (Mathieu 24) chứa 250 triệu yếu tố. Như vậy ba nhà LTD trên đã tìm ra một Ánh trăng mới. Các nhà toán học và vật lý đều sửng sốt trước kết quả này. Nhà toán học Zagier phát biểu: tôi tham dự nhiều hội thảo, tại hội thảo nào người ta cũng bàn đến M24, Ánh trăng Mathieu.

Bản thân nhà toán học Zagier cũng đang nghiên cứu những dạng gọi là “giả modular – mock modular” ^7,8 gắn liền với các hàm modular. Các dạng giả modular có lớp chứa các j – hàm.

Zagier đặt câu hỏi liệu các hàm modular này có liên quan đến một nhóm nào không? Theo Duncan thì nhóm đó là M12, ngoài nhóm M24. Như vậy có thể có nhiều Ánh trăng.

Năm 1913. nhà toán học Anh G.H.Hardy nhận được một bức thư từ một tu sĩ ở Madras, Ấn Độ viết về một số công thức mà tu sĩ đã tìm ra. Hardy vội mời tu sĩ đến Anh để cùng đàm luận.

Hình 3. Thư của tu sĩ Ramanujan gửi nhà toán học Hardy

Ramanujan nói rằng các công thức ông tìm ra là nhờ thần Namagiri đã mách bảo trong ý thức của ông. Đường đời của Ramanujan quá ngắn ông mất lúc 32 tuổi năm 1920. Ông đã viết cho Hardy rằng ông đã tìm ra những hàm gọi là “giả theta-mock theta”. Ramanujan đưa ra 17 ví dụ về các hàm đó. Chỉ sau 8 thập kỷ, vào năm 2002, nhà toán học Sander Zwegers (Đại học Cologne, Đức) chúng minh rằng các hàm đó chính là các dạng giả modular (mock modular form).

Tại hội thảo Ánh trăng Zurich, các nhà vật lý Cheng, Duncan và Harvey chứng minh rằng M24 chỉ là một trong 23 Ánh trăng khác, mỗi Ánh trăng đó có liên quan đến các chiều đặc biệt của một nhóm và những hệ số của một dạng giả modular, hoàn toàn tương tự như Siêu Ánh trăng đặt mối liên quan giữa siêu nhóm và j-hàm.

Với mỗi Ánh trăng đó, các nhà khoa học đã đoán nhận sự tồn tại của một mô hình LTD trong đó dạng giả modular mô tả các trạng thái của dây còn nhóm mô tả hình học của mô hình.

Mỗi dạng giả modular gắn liền với một hàm modular gọi là bóng (shadow, tiếng Latin Umbra). Theo giả thuyết Umbra Moonshine tồn tại 23 ánh trăng, giả thuyết này được Duncan và cộng sự đưa ra năm 2012. Nhiều dạng giả modular trong giả thuyết đó thuộc về 17 ví dụ mà Ramanujan nói trong bức thư tiên tri của ông.

Đi tìm quái vật

Những tìm tòi mới dẫn đến kết quả: LTD nối liền những nhóm với những dạng giả modular. Harvey cho rằng các nhà khoa học đã đi đúng đường.

Cheng cho rằng tồn tại một đối xứng đặc biệt tác động lên vật lý của các mặt K3. Các nhà vật lý nghiên cứu K3 hiện chưa phát hiện được đối xứng này.

Các nhà vật lý cũng rất quan tâm đến giả thuyết về mối liên quan giữa Ánh trăng và hấp dẫn lượng tử. Năm 2007, Edward Witten (giải Fields) cho rằng LTD trong Siêu Ánh trăng (monstruous moonshine) có thể giúp xây dựng một lý thuyết hấp dẫn lượng tử 3-chiều trong đó 104 phân loại (categories) của các yếu tố sẽ ứng với 194 lớp các lỗ đen.

Giả thuyết Umbral Moonshine có thể dẫn các nhà vật lý đến kết quả như vậy đồng thời cung cấp những gợi ý khác cho lý thuyết hấp dẫn lượng tử. Tình huống giống như khi truy tìm một quái vật trên sao Hỏa chúng ta đã thấy được các vết chân của con thú, bây giờ công việc còn lại là phải tìm ra nó.

Kết luận

Sự phát hiện ra mối quan hệ giữa LTD, đại số (nhóm) và lý thuyết số không những giúp các nhà vật lý LTD tìm ra được nhiều nhiều phương án côm-pắc hóa các chiều dư mà còn giúp ngược lại các nhà toán học phát hiện thêm nhiều Ánh trăng.

Có thể nói mối liên quan này đã mở ra một trang mới cho LTD, đại số và lý thuyết số.

Tài liệu tham khảo

1. a /Erica Klarreich, Mathematicians Chase Moonshine’s Shadow- Các nhà toán học đi tìm Bóng Ánh trăng, ScientificAmerican.com.

HTTP://WWW.QUANTAMAGAZINE.ORG/20150312-MATHEMATICIANS-CHASE-MOONSHINES-SHADOW/

b / Wolchover, The physicist-mathematician Miranda Cheng is working to harness a mysterious connection between string theory, algebra and number theory.

HTTP://WWW.QUANTAMAGAZINE.ORG/20160804-MIRANDA-CHENG-MOONSHINE-STRING-THEORY/

2. WIKI, Monster group

https://en.wikipedia.org/wiki/Monster_group

3. Wolfram, j-Function

http://mathworld.wolfram.com/j-Function.html

4. WIKI, Montrous Moonshine

https://en.wikipedia.org/wiki/Monstrous_moonshine

5. WIKI, K3 surfaces

https://en.wikipedia.org/wiki/K3_surface

6. Andrew J. Hanson, Ji-Ping Sha, Visualizing the K3 Surface

ftp://ftp.cs.indiana.edu/pub/hanson/forSha/AK3/old/K3-pix.pdf

7. Amanda Folsom: What is a Mock Modular Form?