Một số công trình của Đàm Thanh Sơn

Đã có nhiều bài viết xuất sắc về Đàm Thanh Sơn - huy chương Dirac ICTP 2018 (trên Tia Sáng và các tạp chí khác), bài viết này sẽ cung cấp thêm một số thông tin về nội dung học thuật trong các công trình của Đàm Thanh Sơn.

Các lỗ đen và độ nhớt của hệ các hạt tương tác mạnh¹

Khái niệm chất lỏng lý tưởng xuất hiện trong nhiều lĩnh vực vật lý. Từ này được áp dụng cho mọi hệ ở trạng thái cân bằng địa phương và có độ nhớt dọc (shear viscosity)² không đáng kể. Trong cuộc sống thường nhật độ nhớt là một tính chất quen thuộc mô tả sự cản trở dòng chảy. Nếu xét từ quan điểm vi mô thì đó là biểu hiện của mức độ tương tác giữa các thành phần của chất lỏng.
Chất lỏng lý tưởng dễ miêu tả song rất ít chất trên Trái đất có được tính lý tưởng. Ngay như chất siêu chảy như helium-3 và helium 4 cũng chưa được gọi là chất lỏng lý tưởng.

A. Hai loại chất lỏng

Các nhà vật lý thực nghiệm tại Phòng thí nghiệm quốc gia Brookhaven làm việc trên máy RHIC (Relativistic Heavy Ion Collider- Máy Va chạm Tương đối tính các Ion nặng) đã công bố kết quả vào năm 2005 về quá trình va chạm các hạt nhân nặng Au (vàng), họ đã tìm thấy một trạng thái lỏng của vật chất tương tác mạnh có một độ nhớt dọc rất thấp không đáng kể. Cùng lúc nhóm các nhà vật lý tại Đại học Duke đã công bố kết quả về hệ tương tác mạnh nguyên tử Lithium, hệ này cũng dẫn đến một trạng thái vật chất gần chất lỏng lý tưởng.

Hai kết quả thu được tại RHIC & Duke, một ở nhiệt độ vượt quá 2 nghìn tỷ độ kelvin, một ở nhiệt độ vài microkelvin trên nhiệt độ không tuyệt đối, đã chứng tỏ các phương pháp tính toán nhiễu loạn không thể áp dụng được.

Hiện tượng thu được ở RHIC đã đưa ra ví dụ về một trạng thái rất mới trong vật lý mà chúng ta cần nghiên cứu. Theo lý thuyết QCD, trạng thái thu được ở RHIC phải là plasma quark-gluon (QGP).
Mục tiêu chính của RHIC trong va chạm các hạt nhân nặng là tìm chứng cứ cho sự tồn tại của QGP, các nhà vật lý tại RHIC hy vọng tìm thấy một chất khí các quark và gluon tương tác yếu với nhau. Song kết quả thực nghiệm lại cho thấy một phân bố hạt hình elip của các hạt sinh ra, nếu là chất khí thì phân bố này phải là đẳng hướng và như thế trạng thái thu đuợc phải là một chất lỏng gần lý tưởng với độ nhớt dọc rất nhỏ. Như vậy cuối cùng các nhà vật lý RHIC phải phát biểu rằng trạng thái thu được trong va chạm RHIC là một hệ tương tác mạnh mà chúng ta chưa có cơ sở lý thuyết.
Một kết luận như thế cũng đúng cho các kết quả thu được ở Duke với các giọt nguyên tử 6Li siêu lạnh. Tại đây hệ nằm trong trạng thái giữa hai vùng  ngưng tụ Bose-Einstein và pha Bardeen-Cooper-Schrieffer. Các số liệu về độ nhớt của hệ thu được tương tự như các số liệu thu được tại RHIC. Đây là một điều đáng ngạc nhiên về sụ hội tụ thực nghiệm của vật lý siêu nóng (ultrahot) và siêu lạnh (ultracold).

Và điều đáng ngạc nhiên hơn nữa là Lý thuyết Dây (String theory) có khả năng mô tả hiện tượng đột sinh này trong vật lý tương tác mạnh thông qua các đặc trưng của lỗ đen xét trong một không thời gian nhiều chiều hơn.

Nguyên lý toàn ảnh dựa trên những kết quả thu được khi các nhà vật lý áp dụng những quy tắc của cơ học lượng tử vào lỗ đen vốn là những đối tượng trong lý thuyết tương đối tổng quát của Einstein (Stephen Hawking&Jacob Bekenstein, 1970) và phát triển vào năm 1990 lý thuyết đầy đủ của hấp dẫn lượng tử thành LTD. Hawking phát hiện lỗ đen bức xạ ở một nhiệt độ nhất định còn Bekenstein chứng minh rằng lỗ đen tuân theo các định luật nhiệt động học và có  entropy. Hai tác giả trên thiết lập công thức³: S = (A/4)(k_B c³/Gh), trong đó k_B,G,h = hằng số Boltzmann, hấp dẫn và Planck còn A = diện tích chân trời sự kiện.

Điều chú ý quan trọng là entropy tỷ lệ với diện tích chứ không phải với thể tích, điều đó nói rằng các bậc tự do (degree of freedom) để mô tả lỗ đen là ít hơn. Nói cách khác lỗ đen là một hologram⁴ của vật lý nằm trong không thời gian giới hạn bởi biên là chân trời sự kiện. Như thế lý thuyết hấp dẫn lượng tử có một mô tả đối ngẫu không phải hấp dẫn – một đối ngẫu toàn ảnh (holographic dual).

Đối ngẫu mạnh-yếu (strong-weak coupling duality) có nghĩa rằng khi một lý thuyết có hằng số tương tác yếu và do đó có thể tính được bằng lý thuyết nhiễu loạn thì mô tả đối ngẫu của nó sẽ ứng với hằng số tương tác mạnh và ngược lại.

B. Ánh xạ AdS / CFT

Một ví dụ tường minh nhất là ánh xạ AdS/CFT (anti-de Sitter / conformal field theory- không gian anti-de Sitter / lý thuyết truờng conform) đưa vào vật lý năm 1990.

Anti-de Sitter là một không thời gian tựa như không – thời gian Minkowski với hằng số vũ trụ âm. Một đặc tính đặc biệt của không – thời gian anti-de Sitter (d+1) – chiều là thể tích của nó có những lát cắt theo chiều r (radial) là không – thời gian Minkowski d-chiều: các trường chuyển động trong hệ hấp dẫn có những trị số kỳ vọng (expectation values) xác định trên biên (boundary) ở tiệm cận vô cực theo chiều r. Những trị số này lại mô tả những trường và các hằng số tương tác của một lý thuyết, gọi là lý thuyết đối ngẫu. Những lý thuyết đối ngẫu này có thể là những lý thuyết chuẩn (gauge theory) của các hạt cơ bản.

Trường hợp nổi tiếng nhất là đối ngẫu giữa hấp dẫn lượng tử trong không thời gian 5 chiều và lý thuyết Yang-Mills 4 chiều với bất biến được gọi là bất biến conform⁵. Ngoài ra lý thuyết Yang-Mills lại có siêu đối xứng. Đối xứng chuẩn của lý thuyết là nhóm SU(N_c). Muốn cho đối ngẫu được hữu dụng trọn vẹn thì N_c = số quark phải là một số lớn. Sự tổ hợp giữa Nc với hằng số tương tác không thứ nguyên Yang-Mills gYM dẫn đến hằng số tương tác ‘t Hooft λ = g²MN N_c mô tả cường độ hiệu dụng tương tác. Các tính toán cho thấy rằng không có sự khác biệt đáng kể giữa lý thuyết QCD (N_c = 3) và lý thuyết Yang-Mills với N_c lớn ở nhiệt độ cao. Như thế lý thuyết siêu đối xứng Yang-Mills là thích hợp để mô tả các kết quả tại RHIC.

Hình 1. Đối ngẫu toàn ảnh ( holographic duality) cho phép thực hiện những tính toán thủy động học trong lý thuyết chuẩn bằng cách biến đổi thành những tính toán tán xạ (scattering calculations) trong một không thời gian nhiều chiều hơn. Mặt phẳng ở bên trái biểu diễn không gian 3 chiều, một lát cắt của không thời gian 4 chỉều, trên đó cư trú lý thuyết chuẩn đối ngẫu. Sự chuyển động thẳng góc với mặt phẳng đó là chuyển động trong chiều thứ năm, hấp dẫn tác động trong không thời gian 5 chiều. Mặt phẳng bên phải là chân trời 3 chiều của lỗ đen. Các phép tính toán khó thực hiện trong lý thuyết chuẩn 4 chỉều lại tương đương với những tính toán dễ dàng  trong đó một graviton khuếch tán từ lỗ đen trong không thời gian 5 chiều.

Để sử dụng AdS/CFT người ta phải làm sáng tỏ liệu những điều gì trong hấp dẫn lượng tử có thể tính toán được bằng phương pháp nhiễu loạn. Cường độ địa phương của hấp dẫn trong không thời gian 5 chiều được mô tả bởi một độ dài ghi là l_c vốn là độ cong (curvature) của không thời gian, l_c càng nhỏ thì độ cong của không thời gian càng lớn. Trong LTD cũng có một độ dài đặc trưng như vậy đó là l₈, độ dài này tỷ lệ ngược với sức căng của dây.

Khi l₈ << l_c (l₈ nhiều lần nhỏ hơn l_c) thì LTD là một công cụ hữu hiệu trong các tính toán hấp dẫn (phân nhiễu loạn theo hằng số không thứ nguyên l₈ / l_c).

Một điểm đáng lưu ý là hằng số λ lại biến thiên nghịch với tỷ số đó và tỷ lệ với (l_c / l₈)⁴. Như vậy chế độ nhiễu loạn ở phía hấp dẫn lại tương ứng với chế độ tương tác mạnh trong lý thuyết đối ngẫu Yang-Mills. Nếu hằng số tương tác dây là nhỏ trong chế độ nhiễu loạn thì hằng số tương tác ‘t Hooft là lớn nếu Nc trong nhóm chuẩn  SU(N_c) là lớn.

Ánh xạ đối ngẫu cho phép các nhà lý thuyết dây chứng minh công thức entropy của một lớp lỗ đen. Như vậy các kỹ thuật nhiễu loạn trong hấp dẫn đang phục vụ hiệu quả vật lý tương tác mạnh không có hấp dẫn.

Như đã nói ở trên độ nhớt dọc η phản ánh cường độ tương tác. Nếu chia độ nhớt này cho mật độ entropy của một hệ thì ta có một đại lượng biểu diễn tương tác giũa các thành phần. Độ nhớt tỷ lệ với thời gian trung bình tự do (mean free time) giữa các va chạm τ và mật độ năng lượng ε của hệ. Mật độ entropy lại tỷ lệ với mật độ số hạt n cho nên tỷ số η/s tỷ lệ với τEk₈ trong đó E là năng lượng trên một hạt. Tích số τE theo nguyên lý bất định của Heisenberg phải cùng cỡ hoặc lớn hơn hằng số Planck h.

Năm 2005, Pavel Kovtun, Đàm Thanh Sơn và Andrei Starinets (viết tắt là nhóm KSS) đã đưa ra giả định quan trọng⁶ về sự tồn tại một giới hạn dưới phổ quát của tỷ số η/s dựa trên nguyên lý Heisenberg. Các tác giả Giuseppe Policastro, Đàm Thanh Sơn và Andrei Starinetstrên⁷ đã dùng nguyên lý đối ngẫu để tính ra trị số phổ quát nhỏ của tỷ số trên cho các lý thuyết chuẩn tương tác mạnh.  

Các tác giả đã biến quá trình tính toán sự lan truyền tác động từ một điểm này sang điểm khác trong lý thuyết trường chuẩn thành quá trình chuyển động của một graviton từ một điểm trên biên vào trong toàn bộ không thời gian và sau tán xạ trên lỗ đen lại trở về một điểm khác trên biên.Tiết diện tán xạ tỷ lệ với diện tích chân trời sự cố và độ nhớt tỷ lệ tiết diện tán xạ. Theo Bekenstein thì entropy tỷ lệ với diện tích chân trời do đó mà trong tỷ số η/s diện tích ước lược cho nhau và cho ta η/s = .
Theo KSS thì đó là giới hạn dưới phổ quát. Đây là một giả định quan trọng.

Các kết quả của RHIC và Duke cho những trị số lớn hơn giới hạn phổ quát KSS.

Các công trình của Sơn khẳng định là AdS/CFT (mà nguồn gốc của nó là lý thuyết dây) có ứng dụng vào các hệ vật lý có thật trong thế giới khách quan.

Các kết quả thu được bởi nhóm KSS càng giúp hiểu rõ mối liên hệ đối ngẫu giữa các hệ tương tác mạnh (lý thuyết chuẩn) với lý thuyết dây (hấp dẫn lượng tử).

Các hạt CF (composite fermion) là những hạt Dirac

Một công trình gần đây của Đàm Thanh Sơn đã nây được sự hưởng ứng của nhiều nhà vật lý là công trình Is the composite fermion a Dirac particle?8. Đây có thể nói đây là phương hướng rất đặc thù của các công trình của Đàm Thanh Sơn: nối liền nhiều lĩnh vực vật lý từ môi trường đông đặc (hệ nhiều hạt) đến LTD (lý thuyết dây), đến vũ trụ học hay tổng quát mà nói là tìm những đối ngẫu giữa các lĩnh vực.

Hiện nay các nhà vật lý chú ý nhiều đến chất cách điện topo (topological insulator-TI) vì chứa nhiều nội dung vật lý gợi mở (generative).

Thoạt nhìn các mặt của TI và mức bán đầy (half-filled level) Landau của khí 2D electron dường như là hai hiện tượng cách xa nhau9.

TI phát sinh từ các hệ liên kết, với bất biến đảo ngược thời gian (time-reversal-invariant).

Còn mức bán đầy Landau ngược lại là nơi gặp mặt cho những pha liên kết mạnh lạ (exotic) biểu hiện  tại các từ trường mạnh.

Nhiều công trình đã nêu lên những cách nhìn sâu sắc về  mối liên quan chặt chẽ giữa hai hiện tượng trên.

Nhờ một trực giác nhạy cảm, Sơn đã đưa ra giả thuyết là các fermion đa hợp CF (composite fermion) trong mức bán đầy Landau (half-filled Landau level) là một hạt Dirac và đưa ra lý thuyết trường cho chất lỏng đa hợp Fermi (composite Fermi liquid):

Luận thuyết của Sơn đã dẫn đến những kết quả gì? Sau đây chỉ xin nêu 2 kết quả quan trọng:

1/Lý thuyết  trường chất lỏng Fermi của 3 tác giả HLR (Halperin, Lee, and Read) không có đối xứng tường minh quan trọng là đối xứng hạt-lỗ trống (particle-hole symmetry) thì lý thuyết của Sơn với hạt Dirac có đối xứng đó (đối xứng hạt–lỗ trống = PT, trong đó  P= x → x, y → -y còn T là phép phản ngược thời gian).

Trong vòng hơn 20 năm, Lý thuyết HLR được cho là lý thuyết đúng đắn cho mức bán đầy (half-filled) Landau. Lý thuyết này có nhiều tiên đoán phù hợp với thực nghiệm.

Các tiên đoán phù hợp với thực nghiệm của lý thuyết HLR đều được lý thuyết Dirac composite fermion⁸ của Sơn giữ lại. Ngoài ra Sơn còn có tiên đoán  tại mức bán đầy thì độ dẫn (conductivity) bằng:         (lý thuyết HLR cho giá trị khác). Một tiên đoán nữa của Sơn là sự tồn tại của trạng thái PH-Pfaffian, có thể là đã được kiểm chứng trong thực nghiệm.

2/ Và điều có lẽ quan trọng nhất là thiết lập được đối ngẫu (duality) giữa các mặt của TI và mức bán đầy (half-filled level) Landau của khí 2D electron (Wang and Senthil, Metlitski and Vishwanath).

Ta có thể học hỏi từ cách hành xử năng lượng thấp của phương trình (1) vốn là một lý thuyết trường tương tác mạnh – bằng cách khai thác đối ngẫu với lý thuyết bề mặt TI. Ở đây, ta có điều  bổ sung (complementary) giữa: Hạt-lỗ trống symmetry (lý thuyết của Sơn) ←→  Time-reversal symmetry (trên bề mặt TI).

Những kết quả trên làm cho giả thuyết của Sơn thực sự đã nối liền lý thuyết TI với lý thuyết các trường chuẩn và mở ra nhiều hướng phát triển mới.

Những công trình của Sơn có một ý nghĩa rất to lớn cho vật lý cơ bản. Huy chương Dirac ICTP (cửa ngỏ đến Nobel) mà Đàm Thanh Sơn đã được trao trong năm 2018 đã nói lên điều đó. Giới khoa học Việt Nam vinh dự vì những thành tựu của Đàm Thanh Sơn.
——–
Tài liệu tham khảo và các chú thích
¹ Clifford V.Johnson (Đại học Nam California, Los Angeles) & Peter Steinberg (Phòng thí nghiệm quốc gia Brookhaven, New-York), What black holes teach about strongly coupled particles,  Physics Today số tháng 5/ 2010
² Độ nhớt dọc=hệ số nhớt khi có ứng lực song song hoặc tiếp tuyến với bề mặt vật liệu
³ Jacob Bekenstein, Scientific American, tháng 8, 2003.
⁴ Hologram= bức ảnh d- chiều của một vật d+1 chiều
⁵ Nhóm conform=nhóm đối xứng gồm các biến đổi kích thước không thời gian+biến đổi Lorentz
⁶  P.K.Kovtun,D.T.Son,A.O.Starinets, Viscosity in strongly Interacting Quantum Field Theories from Black hole Physics, PhysRevLett.94.111601
⁷ G.Policastro, Đ.T.Sơn, A.O.Starinets Phys.Rev.Lett.87,081601
⁸ Dam Thanh Son
Is the composite fermion a Dirac particle? Phys. Rev. X 5, 031027 (2015); arXiv:1502.03446                                                                 
⁹ Jason Alicea Composite fermions meet Dirac
https://www.condmatjclub.org/uploads/2015/09/JCCM_SEP_2015_01.pdf