Nhóm E10: Nhóm lớn nhất vô hạn chiều ?
Với hy vọng thống nhất hạt cơ bản với hấp dẫn, trong công trình mới trên Physical Review Letters ((2018), DOI: 10.1103/PhysRevLett.121.091601), hai giáo sư Krzysztof Meissner và Hermann Nicolai đã đưa ra một sơ đồ mới tổng quát tích hợp Mô hình chuẩn (Standard Model SM) vào Siêu hấp dẫn (Supergravity SUGRA). Nỗ lực này đã đem lại sự ra đời của nhóm E10 vô hạn chiều và hyperbolic - một nhóm đối xứng mới trong vật lý các hạt cơ bản [1a,b &2].
Thí nghiệm KATRIN ở Đức – một trong ba thí nghiệm đang được tiến hành với mục tiêu sửa chữa lại Mô hình chuẩn. Nguồn: Sciencenew.com
Ở đây ta có 2 lý thuyết là SM và SUGRA cần xét đến.
1. SM (Mô hình chuẩn)
Trong mô hình chuẩn các hạt cơ bản được xếp như trong hình 1.
Nếu chỉ chú ý đến các fermion và phản fermion ta có số bậc tự do là 12x2x2 = (12 hạt+12 phản hạt)x 2 hình chiếu spin = 48.
Hình 1. Các hạt sơ cấp trong Mô hình chuẩn (SM).
2. Siêu hấp dẫn là gì?
Trong vật lý lý thuyết, siêu hấp dẫn là lý thuyết kết hợp siêu đối xứng và tương đối tổng quát (General Relativity-GR).
Đưa siêu đối xứng vào GR là một hướng phát triển tự nhiên của hấp dẫn.
Ta biết nếu nhóm chuẩn là nhóm Poincaré thì ta sẽ có trường chuẩn là trường graviton. Muốn có siêu đối xứng ta phải đưa thêm vào các toán tử Qα có khả năng biến boson thành fermion.Liên thông của không gian (phân thớ) bây giờ chứa cả thành phần boson ứng với hạt graviton có spin 2 lẫn thành phần fermion ứng với hạt gravitino có spin 3/2.
Các tác giả Salam & Strathdee (1974) đưa vào toán tử Q1α (i = chỉ số internal = 1,2,3,…N, α = chỉ số spin = 1,2,3,4). Lúc N>1 ngoài graviton và gravitino lý thuyết chứa thêm những hạt khác.
Dưới đây là bảng nội dung các hạt trong trường hợp N =1,2,…8 (và d = 4).
Chú ý số gravitino = N (như vậy ta có N siêu đối xứng – supersymmetry).
Với N>8 sẽ có nhiều hạt với spin cao như 5/2.
Ta thấy ở cột spin ½ với N = 8 có số 56 = 48 +8. Chúng ta tập trung vào sector fermion của N = 8 SUGRA gồm 8 gravitinos Ψiμvà trispinor χijk biến đổi trong biểu diễn 56 của SU(8), trispinor hoàn toàn phản đối xứng theo các chỉ số i, j, k SU(8) =1,2,3,…8. Hãy tính số thành phần của trispinor, ở đây ta có chập 8 chỉ số theo cặp 3, vì phản đối xứng nên cặp 3 phải khác số nhau. Vậy ta có:
Ngoài ra trispinor χijk, SUGRA lại cho 48 spin ½ của SM + 8 Goldstino.
3. Thống nhất SM và SUGRA
Ý tưởng chung của sơ đồ thống nhất là đưa SM vào trong SUGRA N = 8. Nếu ta làm được điều đó thì ta đã đưa được SM vào với hấp dẫn vì SUGRA chứa hấp dẫn.
Vậy vấn đề là làm sao ứng các hàm Ψiμvà với các hạt χijk trong SM. Điều này đã được các tác giả thực hiện trong các công trình [1] & [2].
Trước đây có bài viết của K. A. Meissner and H. Nicolai, Phys. Rev. D 91, 065029 (2015), các tác giả trên đã hoàn chỉnh ý tưởng của M.Gell-Mann khi muốn đồng nhất 48 spin ½ fermion của N = 8 SUGRA với 48 quark và lepton của SM. Các tác giả đã thêm vào sơ đồ SU(3)c× SU(2)w× U(1)Y nhóm SU(3)f (f = family).
Bảng sau đây nêu lên sự trùng hợp kỳ lạ giữa SUGRA và SM: (SO(8) → SU(3)×U(1) và nhóm family).
Trong quá trình này xảy ra điện tích các hạt không khớp và bị vênh một đại lượng là q = 1/6. Vậy cần một toán tử để điều chỉnh, toán tử này lại không nằm lọt trong SUGRA mà nằm trong K(E10).
Để giải quyết vấn đề sai lệch điện tích các tác giả phải nhúng SUGRA vào nhóm con cực đại K(E10) của nhóm E10. Nhóm E10 có khả năng trong tương lai là nhóm cần thiết cho sự tiến triển thống nhất hấp dẫn và lượng tử.
Sự đưa vào đối xứng vô hạn chiều Kac-Moody loại hyperbolic là cần thiết để đưa SM vào SUGRA ở thang Plank.
Đại số Lie & đại số Kac-Moody
Ta đã biết các đại số Lie với số chiều hữu hạn đã được Cartan & Killing xếp hạng. Trong bảng xếp hạng đó, các đại số e6, e7, e8 (cùng với f4 & g2) được xem là các đại số đặc biệt (exceptional algebra). Hiện nay người ta muốn mở rộng các đại số trên để chứa các đại số vô hạn chiều Kac-Moody).
Các đại số Lie hữu hạn cũng như đại số Kac-Moody đều được xây dựng trên cơ sở ma trận Cartan. Nếu loại bớt một điều kiện đối với ma trận Cartan, ta có thể thu được một đại số mở rộng là đại số Kac-Moody. Như chúng ta biết trong các điều kiện cho đại số Lie là đơn giản và hữu hạn chiều, có nhiều điều kiện cho ma trận A trong đó có điều kiện: ma trận A là có thể đối xứng hóa và ma trận đối xứng hóa là xác định dương (the Cartan matrix is symmetrizable, and the symmetrized matrix is positive-de finite).
Nếu loại bỏ điều kiện đó ta sẽ có đại số Kac-Moody.
Đại số Kac-Moody (theo tên hai nhà toán học Victor Kac và Robert Moody đã tạo ra) là một đại số Lie mở rộng, thường là vô hạn chiều có thể định nghĩa qua các vi tử và các mối quan hệ nhờ một ma trận Cartan mở rộng. Đại số này là một tổng quát hóa đại số Lie hữu hạn chiều và có nhiều đặc trưng như hệ thống căn (root) của đại số Lie.
Ma trận Cartan
Như ta biết từ lý thuyết nhóm ma trận Cartan A có Aii=2, Aij ≤ 0, i ≠ j.
Người ta phân biệt các trường hợp sau của ma trận Cartan: det A > 0 (finite); det A 0 (affine); det A < 0 (indefinite); trường hợp det A 0 thì đại số Kac-Moody có thể có số chiều vô hạn.
Giản đồ Dynkin
Song song với ma trận Cartan, người ta dùng giản đồ Dynkin nhờ mối tương ứng sau đây:
A là hyperbolic nếu detA < 0 và nếu việc loại một nút của giản đồ Dynkin sẽ cho ta những giản đồ affine hay finite.
Nhóm E10
Nhắc lại SUGRA N=8. Như ta biết SUGRA N = 8 có nội dung như sau (xem phần siêu hấp dẫn):
Chúng ta cũng đã biết đến một sự phù hợp kỳ diệu giữa SUGRA N = 8 và SM (với đối xứng family), điều này là rất quan trọng. Tuy nhiên có một sự vênh về điện tích là 1/6. Để cứu chữa sự vênh này cần một toán tử, toán tử này lại nằm ngoài SUGRA mà lại nằm trong nhóm K(E10), nhóm con của E10. Điều này được chứng minh trong tài liệu [3].
Vậy ta phải kéo dài dãy nhóm sau đây:
Chú ý rằng các nhóm E6, 7, 8 là hữu hạn chiều còn E9, E10 là vô hạn chiều.
E10 là nhóm Kac – Moody hyperbolic.
E10 có giản đồ Dynkin và ma trận Cartan như sau:
Hãy so sánh giản đồ căn số của E8 (số chiều hữu hạn) và E10 (số chiều vô hạn) theo hình 2.
Hình 2. Giản đồ căn số E8 (bên trái) và E10 (bên phải) khi chiếu thẳng góc xuống một không gian 2 chiều.
E10 là cần thiết trong quá trình thống nhất SUGRA và SM.
Theo tài liệu [3] ta có giản đồ sau đây mô tả tính tổng quát của nhóm E10 để sử dụng vào một sơ đồ thống nhất (hình 3).
Hình 3. Tính tổng quát của E10.
Như ta thấy trên hình 3 nhóm E10 chứa nhiều nội dung mô tả bởi các nhóm khác nhau (ví dụ ở giản đồ cuối cùng nếu lấy đi nút đỏ vào thì ta có tổng trực tiếp 
E10 là nhóm tổng quát hơn cả (hơn E9) để mô tả lý thuyết thống nhất SUGRA và SM.
Kết luận
Lý thuyết E10 đang hình thành. Nhóm con tối đa côm-pắc 
là cần thiết (cho các fermions) để chỉnh sửa điện tích giữa SUGRA và SM. Có thể E10 là nhóm lớn nhất vô hạn chiều mà vật lý các hạt cơ bản cần đến. Quy mô của E10 đủ lớn để kết nạp mọi chiều hướng phát triển.
——–
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1a] Krzysztof A. Meissner et al, Standard Model Fermions and Infinite-Dimensional R Symmetries, Physical Review Letters (2018). DOI: 10.1103/PhysRevLett.121.091601
[1b] M¨unchen Hermann Nicolai MPI f¨ur Gravitationsphysik, Potsdam (Albert Einstein Institut)
Quantum Gravity, Unification and E10 100 Jahre Max-Planck-Institut 12 October 2017, https://indico.mpp.mpg.de/event/4708/session/2/contribution/15/material/slides/0.pdf
[2] Infinite-dimensional symmetry opens up possibility of a new physics—and new particles
https://phys.org/news/2018-11-infinite-dimensional-symmetry-possibility-physicsand-particles.html?fbclid=IwAR3FB8YLIEhROJnT_EebbbIqdoE71BEq_v0nYX2mfuSov8K100bUEMXCD7c
November 16, 2018, University of Warsaw
[3] Hermann Nicolai Albert-SchlottererWerner,Lie and Kac-Moody algebras
[4] Ella Jamsin and Jakob Palmkvist
http://www.ulb.ac.be/sciences/ptm/pmif/Rencontres/ModaveV/ModavelecturesFinalElla.pdf
[5] Hermann Nicolai Albert-SchlottererWerner,Infinite Dimensional Symmetries
https://pdfs.semanticscholar.org/d4ad/4718ffaf29ea303d34b0040c6e2fea8915f0.pdf
[6] Jakob Palmkvist,Exceptional Lie algebras and M-theory
arXiv:0912.1612v1 [hep-th] 8 Dec 2009
[7] Cao Chi, Vật lý hiện đại (tập 2), NXB Tri Thức, 2015
https://indico.mpp.mpg.de/event/4708/session/2/contribution/15/material/slides/0.pdf
