Nikolas Bourbaki, câu chuyện bí ẩn
Đầu những năm 1930, trong làng Toán xuất hiện cái tên Nikolas Bourbaki, khiến cả làng Toán ngỡ ngàng. Một cái tên viết lại hầu hết lý thuyết Toán học đương đại, và vào các kí hiệu tập rỗng Ø, ký hiệu =>, các khái niệm song ánh, toàn ánh, đơn ánh...
Cuốn sách đầu tiên trong bộ ”Éléments de mathématique”a
1. Câu chuyện bí ẩn?
Năm 1939, tập đầu tiên trong bộ sách đồ sộ “Éléments de mathématique” (Cơ sở toán học) gồm hơn 40 quyển được xuất bản. Tập đầu do nhà xuất bản Hermann & Cie, số 6 phố Sorbonne- Paris ấn hành. Sách bìa màu vàng, in từng tập mỏng.Tác giả là một nhà toán học có cái tên lạ hoắc Nikolas Bourbaki. Nội dung của bộ sách trình bày một cách hệ thống gần như toàn bộ các lĩnh vực của toán học hiện đại.
Tại thời điểm đó, tất cả mọi người đều không biết Nikolas Bourbaki là ai. Chỉ tựa đề “Éléments” gợi các nhà Toán học nhớ về 2000 năm trước, khoảng năm 306 trước Công Nguyên, ở thành phố Alexandria phía Bắc Ai Cập. Dưới sự cai quản của Hy Lạp, một học viện danh tiếng được thiết lập để truyền bá văn minh. Vị danh sư lỗi lạc nhất của học viện được những thế hệ sau biết tới dưới tên là Euclid. Công trình của ông thật vĩ đại, nhưng ngoài cái tên ngắn gọn, không ai biết gì thêm về đời sống riêng tư của ông, từ ngày tháng và năm sinh cho tới ngày mất. Người đương thời chỉ truyền lại rằng ông được mời từ Hy Lạp sang để giảng dạy về toán học. Căn cứ vào sách vở ông để lại, thì người ta dự đoán Euclid trước kia được học tập tại Akademeia do Plato sáng lập vào thế kỷ trước. Vậy Euclid là môn sinh đời thứ ba của trường phái Plato. Công trình của Euclid đã hệ thống lại toàn bộ kiến thức về hình học của thời đó và soạn thành tập sách nay được biết đến với cái tên “Eléments” (được gọi là bộ cơ sở của toán học).
Và rồi 2000 năm sau, người ta lại thấy xuất hiện một bộ “Eléments”, có người cho rằng Bourbaki muốn làm công việc của Euclid trong Thế kỷ XX. Khi một số tập sách mỏng được in ra cũng là lúc các cuộc tranh luận về nội dung của các cuốn sách bắt đầu. Rồi sau đó suốt thập niên 40 Bourbaki không xuất hiện, nhưng ông tiếp tục sắp xếp lại những kiến thức toán học thành một hệ thống tổng quát và đơn giản hơn xưa. Không chỉ giới toán học ở Pháp, mà cả thế giới bắt đầu chú ý đến công trình của Bourbaki và lưu tâm tìm cho ra con người bí ẩn này.
Một điều lạ khác là trong bộ sách sử dụng chữ “mathématique” mà không sử dụng chữ “mathématiques” (có lẽ với ý là Toán học được thống nhất chứ không phải là sự phối hợp đơn lẻ từ các cấu phần).
Các cuốn sách của Bourbaki:
1. Set theory (Théorie des Tạm dịch “Gia đình Cantor, Hilbert, Noether;
2. Algebra (Algèbre) Đại số
3. Topology (Topologie générale) TôPô đại cương
4. Functions of one real variable (Fonctions d’une variable réelle) Hàm một biến thực
5. Topological vector spaces (Espaces vectoriels topologiques) Không gian vector tôpô
6. Integration (Intégration) Tích phân
7. Commutative algebra (Algèbre commutative) Đại số giao hoán
8. Lie theory (Groupes et algèbres de Lie) Lý thuyết Lie
9. Spectral theory (Théories spectrales) Lý thuyết phổ
10. Algebraic topology (Topologie Algébrique) Tôpô Đại số
Cuốn sách Variétés différentielles et analytiques là một tập sách nhỏ, tóm tắt các kết quả trong lý thuyết đa tạp. Cuốn sách Spectral theory ra đời năm 1983 và khi ấy gần như được mặc định là dự án xuất bản sẽ dừng lại nhưng sau đó vẫn còn tiếp tục. Năm 1998 với một tập sách nhỏ về đại số giao hoán và 2012 ra đời phần mở rộng của đại số Lie.
Cộng đồng toán học rất tò mò về nhân vật Bourbaki này, thế nhưng họ vẫn mãi tò mò vì nhân vật này không xuất hiện tại các hội thảo hay các buổi sinh hoạt dù đã được mời chính thức qua các kênh truyền thông. Một sự kiện đặc biệt – Đại hội Toán học thế giới năm 1966 ở Nga, ban tổ chức đã gửi giấy mời Bourbaki tham dự và Bourbaki được cho là sẽ đến. Tin đã nhanh chóng lan truyền và rất nhiều nhà toán học không ngại đường sá xa xôi đến Moscow bằng được chỉ để gặp con người này! Rốt cuộc, họ đã thất vọng vì Bourbaki không đến. Sau đó hai năm, có một thông báo về “cái chết” của Bourbaki được đưa ra, mà nội dung rất hài hước.
Gia đình Cartan, Chevailey, Dieudonné, Weil;
Gia đình Bruhat, Dixmier, Godement, Samuel, Schwartz;
Gia đình Cartier, Grothendiek; Malgrange, Serre;
Gia đình Demazure; Douady; Giraud và Verdier;
Gia đình “Lọc” và “Đẳng cấu”;
Bà Adèle và Idèle (Tên hai đối tượng cơ bản trong Hình học đại số)
Vô cùng thương tiếc báo tin chồng, cha, ông chúng tôi…
Nicolas Bourbaki
Đã từ trần ngày 11 tháng 11 năm 1968 (ngày chiến thắng vĩ đại) tại nhà riêng ở Nancago
Việc an táng được diễn ra tại nghĩa trang Hàm Ngẫu Nhiên (ga tàu Markov và Godel) vào hồi 3h chiều ngày thứ Bảy 23 tháng 01 năm 1968.”
Lễ viếng tại quầy “tích trực tiếp” khu giao lộ “Giải xạ ảnh”…ensembles) Lý thuyết tập hợp.
Ngoài thông cáo về cái chết ra còn thông cáo từ Bourbaki đó là thông cáo về lễ cưới của con gái Betti Bourbaki với Herto Pétard năm 1937.
Bourbaki là một nhân vật bí ẩn, với những chi tiết và những câu chuyện mà người đọc tưởng chừng đó chỉ có thể xuất hiện trong mơ! Và mọi người luôn đặt câu hỏi ông là ai.
2. Khai sinh Bourbaki
Thực chất, Buorbaki chỉ là một bút danh của một nhóm các nhà toán học trẻ tài năng của Pháp, với mục tiêu viết lại các giáo trình toán cơ bản đang được sử dụng trong các trường học ở Pháp và lấy lại vị thế của Pháp trong làng toán tại thời điểm đó khi tỏ ra yếu thế so với Đức.
Năm 1934, hai nhà Toán học trẻ người Pháp, Henri Cartan và André Weil, trao đổi về việc giảng dạy Tích phân và cả hai cùng thấy không thoải mái với cuốn giáo trình đang có, họ cùng thống nhất phải có một cuốn giáo trình mới. Từ đó họ thường xuyên tới Paris, thứ Hai hàng tuần tham gia seminar toán tại viện Henri-Poincaré. Việc này mang tới cho họ cơ hội ghé thăm các nhà sách, các thư viện và gặp gỡ các học viên và những người thầy tại École Normale Supérieur. Họ thường xuyên gặp và ăn trưa cùng bạn bè tại Café Capoulade ở đại lộ Saint-Michel gần Vườn Luxembourg. Tại đây, Weil đã rất hào hứng chia sẻ về câu chuyện một cuốn sách mới về tích phân với các nhà toán học Claude Chevalley, Jean Delsarte, Jean Dieudonné, René de Possel… Họ nói về cách viết một bộ sách 1000 trang sẽ được công bố trong vòng sáu tháng, và họ nhất trí thường xuyên gặp gỡ tại Capoulade để thảo luận về chủ đề của các cuốn sách sẽ ra đời. Ban chuyên khảo về Tích phân ra đời đầu tiên. Sau đó các nhóm được liên tục thành lập để phủ hết các chủ điểm trong Toán: Đại số, giải tích hàm, lý thuyết tích phân, chuỗi Fourier, lý thuyết biểu diễn và sau cùng là Topo.
Mùa hè năm 1935, nhóm đã quyết định rằng họ sẽ viết dưới cái tên Nicolas Bourbaki. Điều kì lạ là không một thành viên nào biết chính xác cái tên đó đến từ đâu? Có thể nó được gợi ý từ Charles Soter Bourbaki một vị tướng người Pháp, trong chiến tranh Pháp – Phổ (1870-1871).
Bắt đầu năm học 1935, Weil được trao nhiệm vụ nổ phát súng đầu tiên dưới cái tên Bourbaki trong một bài giảng khuyến khích mọi sinh viên đều nên tham gia. Tại đó ông đeo một bộ râu giả, nói một giọng nước ngoài nặng như búa tạ trình bày một loạt các định lý sai và vô lý, cuối ông kết thúc bằng “định lý Bourbaki”.
Tháng 7 năm 1935, đại hội Bourbaki đầu tiên được tổ chức tại Besse-en-Chandesse. Từ đó thông thường mỗi năm đại hội diễn ra ba lần, mỗi lần kéo dài trong vòng một tuần, có một số lần diễn ra hai tuần. Dieudonné nói về kỳ đại hội đầu tiên:
“Bất kỳ ai tham gia kỳ đại hội này”, đều nghĩ đây là cuộc tụ họp của một nhóm người điên, thi thoảng lại có một hoặc vài người hét lên khi phát hiện ra một điều gì đó. Nhưng sau cùng nó lại lắng xuống”. Còn Weil cho biết: “Trong khi thảo luận, bất kỳ ai muốn nói cũng có quyền cắt lời phát biểu của người khác và tạo nên các cuộc thảo luận toán loạn. Thế nhưng cuối cùng các ý tưởng vẫn được triển khai”.
Tuy nhiên có những quy tắc đã được thống nhất, tất cả các lý thuyết đều được trình bày bằng phương pháp tiên đề. Henri Cartan nói: “Bourbaki quyết định sử dụng phương pháp tiên đề xuyên suốt quá trình thực hiện. Nó chứng minh không thể giữ lại các bộ phận cổ điển trong lý thuyết tích phân, giải tích vi phân, hình học, đại số, lý thuyết số… Tại đây, các khái niệm cấu trúc được sử dụng, việc định nghĩa khái niệm đẳng cấu và phân loại các phân môn cơ bản trong Toán học”. Các thành viên của Bourbaki coi trách nhiệm của họ là xây dựng nên một công cụ đặt vào tay các nhà Toán học thế hệ sau để họ dễ dàng sử dụng và có thể tiến xa hơn.”
3. Thế hệ thứ 3 của Bourbaki và con đường đi mới
Chiến tranh Thế giới thứ II làm gián đoạn hoạt động của Bourbaki đôi chút, nhưng ngay khi chiến tranh kết thúc dự án được khởi động lại với sự gia nhập các nhà toán học trẻ Roger Godement, Pierre Samuel, Jacques Dixmier và Jean-Pierre Serre tham gia Bourbaki (vào cuối những năm 1940 và đầu những năm 1950 là Samuel Eilenberg, Jean-Louis Koszul, và Laurent Schwartz. Tiếp đến là Armand Borel, François Bruhat, Pierre Cartier, Alexander Grothendieck, Serge Lang, và John Tate những người thuộc thế hệ thứ ba có những cách nhìn rất khác với thế hệ trước. “Các thế hệ trước nghĩ rằng nên dạy học theo những cuốn sách đã có, nhưng các cuốn sách đó lại là bách khoa toàn thư Toán học chứ không phải là một cuốn sách giáo khoa”. Và họ tiếp tục đề xuất viết tiếp các phần chuyên sâu hơn của Toán học. Năm 1957, Grothendiek đề xuất xây dựng Đại số đồng điều, cơ sở Topo, Đa tạp. Một vấn đề khác liên tục làm ảnh hưởng tới Bourbaki đó là việc tạo ra các tài liệu giúp sinh viên cập nhật các kiến thức mới mà Toán học lại là một môn phát triển rất nhanh.
Bourbaki cơ cấu lại mục tiêu xuất bản và họ có dự kiến viết lại sáu cuốn sách đã ra mắt và viết các phần mở rộng. Mặc dù có những thành tựu sau năm 1960, dự án đã bắt đầu chững lại trong những năm 1970. Cartier cho biết: “Bourbaki đấu tranh trong những năm bảy mươi và thập niên tám mươi để xây dựng phương hướng mới. Tuy thất bại trong hàm biến phức, nhưng đổi lại là những bước tiến trong lý thuyết đồng luân, lý thuyết phổ… nhưng không ai trong số họ làm cho chúng vượt qua mức sơ khởi. Bourbaki không thể tìm thấy một lối thoát mới, bởi vì họ đã có một quan điểm giáo điều của toán học: tất cả mọi thứ nên được đặt bên trong một khuôn khổ an toàn.”
Bourbaki hoàn toàn xứng đáng ở trên đỉnh cao nhất của Toán học đương đại, nhưng điều đặc biệt là không hề có một giải thưởng nào dành cho ngài. Nhưng điều đặc biệt là các cá nhân trong đó đều là các cá nhân kiệt xuất cả làng toán. Một số người đạt giải Fields:
Laurent Schwartz giải thưởng Fields năm 1950.
Jean-Pierre Serre giải thưởng Fields năm 1966.
Alexander Grothendieck giải Fields năm 1966.
Phần còn lại của nhóm đều góp công sức đặt nền móng cho hầu hết các chuyên ngành hẹp của toán học đương đại.
