Qui luật và ngẫu nhiên
Như các ngành khoa học khác, một trong những vấn đề trung tâm trong Toán học là đi tìm một hoặc một vài tính chất chung trong số vô vàn những đối tượng có vẻ rất khác nhau. Chẳng hạn, có vô số vòng tròn lớn nhỏ. Ngoài chuyện hình dáng trông giống giống nhau, có vẻ chúng chẳng có gì chung. Ấy thế mà từ lâu loài người đã đoán định rằng tỷ số giữa chu vi và đường kính là như nhau ở tất cả các đường tròn. Mãi đến khi khái niệm giới hạn xuất hiện ở thế kỷ thứ 16 thì điều đoán định đó mới được chứng minh chặt chẽ, và tên gọi số pi cũng như ký hiệu π mới xuất hiện. Việc tìm ra số π chính là đã khám phá ra một qui luật.
Oái ăm thay, tỷ số π này lại là một số không thể tính chính xác được! Cho đến hiện nay, người ta cũng không biết được các chữ số thập phân của π có xuất hiện theo một qui luật nào không, hay hoàn toàn ngẫu nhiên (theo nghĩa ta không đoán trước được cho đến khi tìm ra nó)?
Qua ví dụ tưởng như đơn giản là số π, ta có thể hiểu được, việc tìm ra qui luật nhiều khi khó khăn và tốn thời gian như thế nào!
Một ví dụ cao cấp hơn là việc giải hệ phương trình đa thức (với hệ số trên một trường). Trong trường hợp một biến, sinh viên Toán năm thứ nhất dễ dàng chứng tỏ được dù hệ có rất nhiều, thậm chí vô số phương trình, thì cũng có thể quy về giải một phương trình mà thôi. Điều đó không còn đúng khi số biến từ 2 trở lên. Tuy nhiên, vào cuối thế kỉ 19, nhà toán học người Đức D. Hilbert – một nhà toán học nổi tiếng nhất của thế kỷ 20 – đã phát hiện ra một qui luật (và tất nhiên đã chứng minh) là mọi hệ vô hạn đều có thể quy về một hệ gồm hữu hạn phương trình. Chứng minh của ông thời đó rất độc đáo và mới lạ, đến nỗi có người bảo đó không phải là chứng minh toán học, mà là thần học! Nhưng số phương trình ít nhất thì lại có thể rất lớn, tùy thuộc vào hệ cụ thể. Hay nói cách khác, số phương trình tối tiểu của một hệ phương trình đa thức là một số ngẫu nhiên.
Lĩnh vực nghiên cứu của giáo sư Ngô Việt Trung là Đại số, trong đó có hai khái niệm vành và idean đóng vai trò cơ bản. Chính nhờ sử dụng khái niệm khá trừu tượng là idean mà Hilbert đã chứng minh được kết quả có thể diễn đạt tương đối sơ cấp nêu trên. Vành được xem xét trong kết quả của Hilbert là một vành đa thức trên trường.
Khi có vành đa thức R và một idean I của nó, ta có một vành mới R/I – được gọi là vành thương. Để cho đơn giản, ta hạn chế xét trường hợp được gọi là idean thuần nhất. Một trong những cách nhận biết cấu trúc của vành R/I là thông qua các bất biến bằng số. Một bất biến vào loại quan trọng nhất của vành R/I là độ sâu depth(R/I). Độ sâu càng lớn thì vành đó càng đẹp!
Lũy thừa thứ n của I, được ký hiệu là In, là một khái niệm mở rộng khái niệm lũy thừa an thông thường của một số. Người ta nhận thấy, khi cố định I, độ sâu depth(R/In) có vẻ rất ngẫu nhiên, theo nghĩa phụ thuộc vào việc n. Vì vậy, kết quả của một nhà toán học Thụy Sĩ tên là M. Brodmann đưa ra năm 1979 nói rằng khi n đủ lớn, độ sâu depth(R/In) là một hằng số (không phụ thuộc n), đã tạo ra một sự ngạc nhiên trong giới chuyên môn. Tính chất này được gọi là tính ổn định tiệm cận. Không những thế, chứng minh qui luật này khá đơn giản, nhưng bản thân kết quả lại có nhiều ứng dụng. Vì vậy, bài báo chứa kết quả tuy đơn giản đó đã có 170 trích dẫn trên google scholar, tính đến thời điểm bài viết này – một số trích dẫn khá lớn trong Toán lý thuyết. Tuy nhiên người ta không hình dung được trước khi ổn định thì dãy số depth(R/I), depth(R/I2),… có dáng điệu như thế nào? Một giả thuyết phát biểu năm 2005 của hai nhà toán học Đức và Nhật nói rằng dãy đó có thể tùy ý, miễn nó ổn định tiệm cận. Nói cách khác, khoảng đầu của dãy này hoàn toàn ngẫu nhiên. Cách đây năm năm, giáo sư Ngô Việt Trung cùng ba đồng nghiệp Việt Nam khác đã giải quyết được giả thuyết đó, và công trình mới được công bố chính thức năm 2021. Khoảng thời gian từ khi phát hiện ra qui luật của độ sâu cho tới khi chứng minh được tính ngẫu nhiên khoảng đầu của dãy số độ sâu là hơn 40 năm!
Đối tượng mà giáo sư Ngô Việt Trung nghiên cứu cùng tiến sĩ Nguyễn Đăng Hợp trong công trình “Depth functions of symbolic powers of homogeneous ideals” (Các hàm độ sâu của lũy thừa hình thức của idean thuần nhất) phức tạp hơn nhiều so với lũy thừa In. Đó là lũy thừa hình thức I(n) – có liên quan chặt chẽ với lũy thừa thông thường, nhưng lại rất khác. Đây là một khái niệm xuất phát từ Hình học đại số. Nó được chú ý đặc biệt từ khi đóng vai trò quan trọng trong việc xây dựng phản ví dụ cho Bài toán Hilbert thứ 14 nổi tiếng do Nagata xây dựng năm 1958. Thế nhưng, trái với In, việc tính cũng như nghiên cứu I(n) rất khó khăn. Có nhiều câu hỏi có vẻ đơn giản, nhưng vẫn còn mở liên quan đến lũy thừa hình thức. Cho đến cách đây ít năm, cho dù phỏng đoán là không, nhưng người ta vẫn không biết chắc chắn là depth(R/I(n)) không ổn định tiệm cận. Trong trường hợp đặc biệt, khi I là idean đơn thức – một loại idean đặc biệt – thì từ một kết quả của giáo sư Ngô Việt Trung và hai đồng nghiệp nước ngoài công bố năm 2007, có thể suy ra khi n đủ lớn, dãy depth(R/I(n)) ổn định tuần hoàn – tức rất gần với kết quả của Brodmann. Tuy gần, nhưng vẫn khác xa. Nếu đúng là khác thì thật thú vị. Nhưng biết đâu trên thực tế, với idean đơn thức, depth(R/I(n)) vẫn ổn định tiệm cận? Chẳng hạn, nếu I là idean đơn thức đặc biệt, gọi là idean không chứa bình phương, năm 2010, tôi cùng với tiến sĩ Trần Nam Trung đã chứng minh được đúng là depth(R/I(n)) ổn định tiệm cận. Từ đó, ý nghi ngờ cho rằng với idean đơn thức, depth(R/I(n)) vẫn ổn định tiệm cận, lại tăng lên.
Việc xây dựng được idean I thích hợp đòi hỏi những ý tưởng sâu sắc tổng hợp từ nhiều chuyên ngành khác nhau: Đại số giao hoán, Hình học đại số và tổ hợp. Kỹ thuật chứng minh cần những kiến thức sâu sắc trong Đại số giao hoán và sự kết hợp tài tình với những tính toán tổ hợp phức tạp, cũng như vận dụng thành thạo qui hoạch nguyên – một chuyên ngành có vẻ khá xa Đại số giao hoán.
Công việc tìm ra qui luật hay khẳng định tính ngẫu nhiên rất gian truân, nhiều khi là đứng giữa ranh giới giữa có và không. Chẳng hạn cũng là vấn đề ổn định tiệm cận của độ sâu nêu trên, nếu chỉ xét lớp idean đơn thức không chứa bình phương vừa nói, thì cùng với phó giáo sư Nguyễn Công Minh ở ĐH Sư phạm Hà Nội, giáo sư Ngô Việt Trung năm 2011 đã chứng minh rằng nếu depth(R/I(3)) đạt giá trị lớn nhất, thì depth(R/I(n)) cũng đạt giá trị lớn nhất với mọi n > 3. Dựa trên công trình đó, năm 2012, cùng với nhà toán học Nhật Bản N. Terai, ông đã chứng minh kết quả tương tự cho độ sâu với lũy thừa thông thường. Cả hai công trình đó đã được đăng trên tạp chí Advances in Mathematics – một tạp chí có thứ hạng rất cao, thường xuyên có mặt trong top 20. Như vậy, với việc thêm điều kiện, tính ngẫu nhiên bị biến mất. Thay vào đó là một qui luật mới được phát hiện.
Trong công trình “Depth functions of symbolic powers of homogeneous ideals”, một số lớp idean đơn thức mới có depth(R/I(n)) ổn định tiệm cận đã được tìm ra. Đó là những kết quả hay, và với chỉ mình chúng cũng có thể đăng được ở tạp chí tốt, nhưng không thể đăng được ở tạp chí đỉnh cao.
Kết quả chính có ý nghĩa quan trọng nhất và thú vị nhất của công trình này là đã chứng minh được mọi dãy số tuần hoàn ổn định tiệm cận đều có thể là dãy depth(R/I), depth(R/I(2)), depth(R/I(3), …. của một idean đơn thức I nào đó. Dãy số vô hạn a1, a2,… được gọi là tuần hoàn ổn định tiệm cận chu kì t, nếu khi n đủ lớn thì an = an+t = an+2t = …. Nếu lấy chu kì tuần hoàn từ 2 trở lên, hệ quả trực tiếp của kết quả này nói rằng độ sâu depth(R/I(n)) không thoả mãn qui luật ổn định tiệm cận như Brodmann đã chỉ ra với lũy thừa thông thường. Đó là một điều được giới chuyên môn dự đoán từ lâu, nhưng bây giờ mới được kiểm chứng! Nhưng phần khó khăn hơn rất nhiều và khó tưởng tượng hơn rất nhiều là công trình này đã chứng minh được tính ngẫu nhiên hoàn toàn của dãy depth(R/I), depth(R/I(2)), depth(R/I(3),…. Bản thân công trình cũng đặt ra vấn đề mới: Hãy chứng tỏ (hay phủ nhận) rằng tồn tại idean I có depth(R/I(n)) không tuần hoàn ổn định tiệm cận. Chắc chắn đây là một bài toán rất khó – và chưa hiểu cách tiếp cận sẽ như thế thế nào.
Việc xây dựng được idean I thích hợp đòi hỏi những ý tưởng sâu sắc tổng hợp từ nhiều chuyên ngành khác nhau: Đại số giao hoán, Hình học đại số và tổ hợp. Kỹ thuật chứng minh cần những kiến thức sâu sắc trong Đại số giao hoán và sự kết hợp tài tình với những tính toán tổ hợp phức tạp, cũng như vận dụng thành thạo qui hoạch nguyên – một chuyên ngành có vẻ khá xa Đại số giao hoán. Chính vì vậy mà công trình đã được nhận đăng trong tạp chí Inventiones Mathematicae. Đây là một trong 2-3 tạp chí có uy tín nhất trong Toán học. Đây cũng là lần đầu tiên có một công trình thuần Việt được đăng trong một tạp chí lớn như vậy. Hoàn toàn thuần Việt theo nghĩa: cả hai tác giả đều là người Việt Nam và từ khi hình thành đến khi kết thúc, hoàn toàn được thực hiện trong nước. Nó còn đặc biệt ở chỗ, hiếm lắm mới có bài báo chuyên ngành Đại số giao hoán được đăng trên tạp chí Annals of Mathematics hay tạp chí Inventiones Mathematicae nêu trên.
Đi tìm qui luật là một trong những sở trường của giáo sư Ngô Việt Trung. Ngay từ khi còn là sinh viên đại học cách đây gần 50 năm, cùng với bạn học Nguyễn Tự Cường – bây giờ là giáo sư – và một tiến sĩ trẻ người Đức, ông đã phát hiện ra một lớp vành mà hiệu của hai bất biến có thể thay đổi khá tuỳ tiện đối với họ tuy vô hạn, nhưng chiếm một lượng nhỏ (theo một nghĩa nào đó), nhưng lại là hằng số với số còn lại. Đó là lớp vành được biết đến dưới tên gọi Cohen-Macaulay suy rộng. Mãi tới năm 1978, bài báo đó mới được đăng, và đã kích hoạt nghiên cứu của hàng trăm bài báo của nhiều nhà toán học trên thế giới (299 trích dẫn trên google scholar). Một ví dụ khác là nghiên cứu chỉ số chính qui Castelnuovo-Mumford, một bất biến khác khó hơn nhiều so với độ sâu. Vào năm 2020, cùng với hai đồng nghiệp người Mỹ và Đức, ông đã chứng minh được khi n đủ lớn, bất biến đó của In là một hàm tuyến tính. Đương nhiên bài này đã được đăng trên một tạp chí rất uy tín và được trích dẫn nhiều (248 trích dẫn trên google scholar).
Đó chỉ là vài trong số nhiều kết quả khác của ông được nhiều nhà toán học quan tâm. Tuy nhiên, trước khi có bài báo ở tạp chí đỉnh cao, không có gì chắc chắn để khẳng định trước sau ông cũng sẽ có bài đăng ở đó. Xét về góc độ này thì việc có được bài đăng ở đấy như là một sự ngẫu nhiên, hay chí ít là một sự gặp may. Nhưng nếu xét từ cả quá trình làm việc và công bố đồ sộ của ông thì lại có dáng dấp như một qui luật. Chí ít thì có thể khẳng định: trong số người nghiên cứu Đại số ở Việt Nam, nếu có ai đó đăng được bài ở một trong hai tạp chỉ đỉnh cao nói trên, thì người đầu tiên phải là ông! (Trước ông, năm 1976 có giáo sư Nguyễn Hữu Anh có bài đăng ở Annals of Mathematics, khi làm việc ở Mỹ).
Giáo sư Ngô Việt Trung là nhà toán học hàng đầu của Việt Nam, đã được trao tặng nhiều giải thưởng lớn. Ông được bầu làm viện sĩ Viện Hàn lâm Khoa học các nước thế giới thứ 3 (TWAS) năm 2000 khi mới 47 tuổi. Năm 2009, Giải thưởng Nhân tài Đất Việt lần đầu tiên được mở rộng sang lĩnh vực khoa học tự nhiên, và ông là người được trao Giải thưởng trong lĩnh vực Toán học. Đặc biệt, năm 2017, ông được trao giải thưởng Hồ Chí Minh đợt V về khoa học và công nghệ với tư cách là chủ trì nhóm nghiên cứu gồm ba thành viên.
Ông đã giữ nhiều chức trách trong ngành Toán: Tổng biên tập tạp chí Acta Mathematica Vietnamica (16 năm, từ 1991 – 2007), Viện trưởng Viện Toán học (2007 – 2013), Chủ tịch Hội đồng ngành Toán của Quỹ NAFOSTED (nhiều năm), Chủ tịch Hội Toán học Việt Nam (từ 2018). Tuy rất bận bịu với những công việc hành chính hay các hoạt động khoa học, nhưng ông luôn luôn đặt nhiệm vụ nghiên cứu ở vị trí số một, và dành phần lớn thời gian cho nó. Công trình “Depth functions of symbolic powers of homogeneous ideals” được hoàn thành và đăng trên tạp chí hàng đầu của Toán khi ông là đương kim Chủ tịch Hội Toán học quả thực càng có ý nghĩa khích lệ thế hệ trẻ phấn đấu nghiên cứu để ngày càng có nhiều công trình xuất sắc.
Thực ra, giáo sư Ngô Việt Trung là người thể hiện có năng khiếu Toán học rất sớm. Ông là người đã đạt Giải Nhất lớp 10 kì thi Học sinh giỏi toàn miền Bắc về Toán. Thời đó, kì thi Học sinh giỏi toàn miền Bắc chỉ tổ chức cho Toán và Văn, trao rất ít giải, kể cả giải khuyến khích thường không quá 10, và nhiều năm không trao giải Nhất (trước năm 1975, tôi chưa từng nghe có năm nào trao hai giải nhất và tôi nghĩ là không). Do vậy, những người đạt giải khi đó được các bạn cùng trang lứa nhớ tên rất lâu. Rất may là thời đó thông tin không nhiều như bây giờ, nên người ta biết đến tên tuổi ông như một nhà khoa học thành đạt, chứ không phải nhờ dư âm từ thời học sinh!
Sau khi tốt nghiệp đại học, ông được chuyển tiếp nghiên cứu sinh và bảo vệ tiến sĩ năm 1978. Năm 1983, ông đã bảo vệ được luận án tiến sĩ khoa học khi mới 30 tuổi. Cũng năm đó, Đoàn Thanh niên có tổ chức triển lãm thành tựu khoa học, công nghệ và sản xuất của thanh niên tại Cung Văn hóa thiếu nhi Hà Nội. Đích thân cố Tổng Bí thư Lê Duẩn đã đến thăm để nói lên tầm quan trọng của triển lãm. Các sản phẩm công, nông nghiệp thì nhiều, nhưng theo tôi nhớ thì về nghiên cứu lý thuyết, chỉ có của tiến sĩ Ngô Việt Trung với 13 công bố ở nước ngoài và 2-3 tiền ấn phẩm. Đó là những con số rất ấn tượng thời đó. Tôi khi đó là lính mới của Viện, nên được giao trực “gian hàng” của Viện Toán. Cố Tổng Bí thư Lê Duẩn đã dừng lại ngắm nghía gian hàng khoảng một phút!
Gợi lại một số kỷ niệm trước đây để nói rằng, thành công của giáo sư Ngô Việt Trung là có cơ sở và là kết quả của một quá trình làm việc bền bỉ, lâu dài, không bao giờ tự hài lòng, bất chấp tuổi tác ngày càng cao hay công việc bận bịu, luôn tìm cách chinh phục những đỉnh cao mới. Từ rất lâu, nghiên cứu khoa học đã ngấm vào máu của ông.□
