René Thom: Nhà tư tưởng và toán học lớn thế kỷ XX

Chúng tôi được đón tiếp ở đó với sự nồng nhiệt đáng ngạc nhiên, mọi người gặp trên đường cho chúng tôi thực phẩm và nước uống. Điều đó làm tôi cảm động đến tận bây giờ.

Tại Thụy Sĩ, René làm việc giúp một người sản xuất nhung ở gần Romont, nhưng đến cuối tháng 9 năm đó thì anh bị buộc trở lại Pháp, sống tại Lyon trong gia đình một người bạn của mẹ. Năm 1940, Thom đã có bằng tú tài về toán, nhưng khi ở Lyon, anh theo học và lấy bằng tú tài triết học năm 1941. Có lẽ tác giả của “Sự ổn định cấu trúc và phát sinh hình thái” đã say mê triết học ngay từ thời đó. Tháng 6 năm 1941, hai anh em Thom tìm cách trở lại quê nhà ở Montbeliard.

Được thầy Becker ở Montbeliard giới thiệu, Thom đến Paris để tiếp tục học tại trường Lycée Saint-Louis nổi tiếng, và thi vào Ecole Normale Supérieure năm 1942, nhưng không đỗ! Ông thi lại vào năm 1943, và như ông kể, lần này thì đỗ, nhưng không xuất sắc gì!

Thời kì này, Montbliard là “vùng cấm”, và ông rất khó mới có thể thỉnh thoảng về thăm gia đình. Cuộc sống ở Paris ngột ngạt dưới sự chiếm đóng của Đức quốc xã. Tuy vậy, ông Hiệu phó Bruhat đã cố hết sức để sinh viên có thể yên ổn học hành (dù phải xung khắc với thầy Hiệu trưởng bất đồng về chính trị), cho đến khi Bruhat bị bắt. Thom viết:

… năm cuối cùng, sau “chiến thắng”, là một năm mang lại ấn tượng cởi mở, được sống hết mình. Về sự hồi sinh đó, tôi có thể gọi là một sự chấn động của tự do mà tôi khó có thể tự kiềm chế.

Lý thuyết Cobordism

Mặc dù cuộc sống ở Ecole Normale thời đó khá nặng nề, nhưng “đời sống toán học” của trường thì lại rất tuyệt vời. Đó là thời kỳ mà nhóm Bourbaki mới lập, và có những ảnh hưởng lớn trong toán học. Thom theo các bài giảng của Henri Cartan, và cuối năm 1946 thì ông quyết định chuyển đến Strasbourg để tiếp tục làm việc với Henri Cartan. Ở đó ông cũng chịu ảnh hưởng của những người khác, như Ehreshman và Koszul. Ông bảo vệ luận án Tiến sĩ năm 1951 dưới sự hướng dẫn của Henri Cartan về  Không gian phân thớ trên mặt cầu và đại số Steenrod. Công trình được hoàn thành tại Strasbourg, nhưng Thom bảo vệ luận án ở Paris.

Cơ sở của lý thuyết cobordism, mà nhờ nó Thom nhận Giải thưởng Fields, đã xuất hiện ngay từ luận án tiến sĩ của ông. Có thể mô tả một cách thô thiển ý tưởng về cobordism của Thom như sau. Giả sử A, B là hai đa tạp m chiều (đối tượng cơ bản của hình học chiều cao, mà trong không gian ba chiều thì có thể hiểu đấy là những vật thể hình học tương đối “nhẵn”). Khi đó, A và B được gọi là cùng một lớp cobordism nếu A hợp “lạ” với B (được lấy với hướng ngược lại, tức là đa tạp –B) làm thành biên của một đa tạp  m+1 chiều (tương tự như hai cái thúng úp vào nhau thì thành “biên” của một hình cầu). Với định nghĩa như vậy, tất cả các đa tạp được phân thành các lớp cobordism, và tập hợp các lớp cobordism thoả mãn rất nhiều tính chất đẹp đẽ, lập thành đại số Thom. Trong bài phát biểu về công trình của Thom khi ông được giải thưởng Fields, Hopf nói rằng, cobordism của Thom cũng đơn giản đến kì lạ, giống như định nghĩa về đồng luân của Hurewicz. Và cũng như khái niệm đồng luân rất đơn giản và trực quan đó, cobordism cũng trở thành một trong những khái niệm nền tảng của toán học. Đồng luân và cobordism một lần nữa chứng tỏ rằng, chân lý bao giờ cũng rất đơn giản, và thiên tài chính là người nhận ra quy luật phổ quát trong những hiện tượng bình thường hằng ngày. Vào thời đó, Hurewicz được xem là nhà hình học lớn nhất, và ông qua đời năm 1956, đúng vào thời kì Thom sáng tạo nên lý thuyết cobordism. Hopf nói rằng, Thom chính là người thay thế xứng đáng cho Hurewicz. Ngay sau khi ra đời, cobordism đã có ảnh hưởng lớn. Được khích lệ bởi lý thuyết cobordism, Hirzebruch chứng minh Định lý Riemann-Roch-Hirzebruch, một trong những thành tựu rực tỡ nhất của tôpô thời bấy giờ. Cobordism cũng được Milnor sử dụng trong chứng minh sự kiện gây chấn động về sự tồn tại nhiều cấu trúc vi phân khác nhau trên mặt cầu 7 chiều.

Sinh học “triết học”

Đối với Thom, hệ quả của cobordism chính là giải thưởng Fields, và hệ quả quan trọng nhất của giải thưởng Fields là ông nhận được một ghế giáo sư của Viện nghiên cứu khoa học cao cấp (IHES) ở Bures-sur-Yvette! Ông nói rằng, điều may mắn nhất cho ông là nhờ giải thưởng Fields mà người ta để cho ông hoàn toàn tự do, “muốn làm gì thì làm”. Với những nhà tư tưởng lớn như Thom thì tự do chính là điều kiện cần thiết nhất để phát triển. Về sau, có lần Thom nói rằng, “đối với những người hàng đầu, đừng hỏi họ đang đi đâu. Khi biết mình đang đi đâu, người ta không đi được xa!”.

Nhưng cũng phải đến năm 1964 ông mới chuyển về Viện nghiên cứu khoa học cao cấp ở Bures-sur-Yvette và sống ở đó cho đến cuối đời, năm 2002. Tuy nhiên điều này dẫn đến một sự thay đổi trong hướng đi, như sau này Thom giải thích:

Quan hệ của tôi với bạn đồng nghiệp Grothendieck không thật dễ chịu. Tài năng tính toán của ông ta thật nổi bật. Seminar của ông ta thu hút tất cả giới toán học Paris, mà tôi thì không có gì mới để nói. Điều này làm cho tôi rời bỏ thế giới toán học chặt chẽ để quan tâm đến những khái niệm tổng quát hơn, như lý thuyết phát sinh hình thái, một đối tượng làm tôi thích thú hơn và dẫn tôi đến một dạng rất tổng quát của sinh học “triết học”.

Thom nói rằng, Leon Motchane, Viện trưởng của IHES thời đó, không phản đối gì, hoặc làm ra vẻ không phản đối! Trong vài ba năm đầu sống ở  IHES, ông chủ trì một  Seminar nổi tiếng dưới tên gọi “Crazy seminar” (Seminar điên), trong đó ông trở về với Aristote và các nhà triết học cổ điển Hy Lạp. Kết quả của những năm làm việc này là sự ra đời của cuốn sách “Sự ổn định cấu trúc và phát sinh hình thái”. Nhiều ý kiến trái ngược nhau về cuốn sách. Ngay khi nó chưa ra đời, một số nhà khoa học cho rằng, đó như là một lý thuyết Darwin mới, vì nó cố gắng giải thích các hiện tượng của tự nhiên và xã hội (điều này tôi nghe từ Giáo sư Tạ Quang Bửu, tên cuốn sách trong tiếng Việt cũng là do Giáo sư dịch từ “Stabilité structurrele et morphogenèse”). Theo Thom, bất kì sự vật nào trong quá trình phát triển cũng đi đến sự “ổn định cấu trúc”, cho đến khi đạt được mức độ tới hạn thì “phát sinh hình thái” mới, để trở thành sự vật mới, và dần lại đi đến ổn định. Điều quan trọng là ông mô tả các luận thuyết đó trên ngôn ngữ và công cụ toán học, và như thế, gần với một “chứng minh” hơn là một lý luận triết học. Vậy nhưng cuốn sách đã rất khó khăn mới tìm được nhà xuất bản chịu in nó! Thom nói rằng, cuốn sách được in một phần vì danh từ “Lý thuyết tai biến” (catastrophe) đã bắt đầu xuất hiện trên báo chí.

Lý thuyết tai biến

Trong tiểu sử tự thuật của mình, Thom nói rằng lý thuyết tai biến đã có mầm mống rất sớm, từ khi ông còn ở Strasbourg. Khi đó ông nghiên cứu các “kì dị hình học” và các hiện tượng trong quang học. Lý thuyết đó của Thom là sự cố gắng lý giải, theo một cách mà không thể sử dụng phép tính vi phân, những tình hình trong đó các lực lượng thay đổi lớn dần lên, dẫn đến cái gọi là tai biến, hoặc chấm dứt sự biến đổi. Lý thuyết đó tìm thấy ứng dụng rộng rãi trong vật lý, sinh học, cũng như trong khoa học xã hội. Hầu như hiện tượng phát triển nào của tự nhiên và xã hội cũng dẫn đến một “tai biến” nào đó. Điều này có lẽ cũng tương tự như quy luật “lượng biến thành chất”. Tuy nhiên, vấn đề là ở đây, Thom đã dùng lý thuyết kỳ dị của toán học để nghiên cứu, phân loại các “tai biến”, và đề ra “bảy tai biến sơ cấp” nổi tiếng. Tham vọng của lý thuyết tai biến thật lớn lao, vì dường như nó cho câu trả lời cho mọi hiện tượng đột biến, nó dự đoán cách mà các “tai biến” có thể xảy ra.  Lý thuyết này sau đó được phát triển bởi nhiều nhà toán học. Tuy vậy, chính René Thom giải thích tại sao lý thuyết đã từng được nổi tiếng lạ thường như vậy sau này lại trở nên ít được ưa chuộng:

Có một sự kiện là lý thuyết tai biến đã chết. Nhưng người ta có thể nói rằng, lý thuyết đó chết từ chính sự thành công của nó. …Dần dần trở nên rõ ràng rằng lý thuyết này không cho các dự báo định lượng, và người ta cho rằng, nó không có giá trị.

Tuy nhiên, nhiều khái niệm của lý thuyết tai biến sẽ còn mãi với toán học như những khái niệm cổ điển. Thom nói rằng, thuật ngữ “tai biến” đã nhiều khi phản lại ông: người ta nghĩ rằng ông gọi như thế để lôi cuốn sự chú ý. Thực ra “tai biến” tức là sự thai nghén một cái gì đó rời rạc trong một biến đổi liên tục thuần nhất không khả vi. Và ông nhớ lại rằng, trong chuyến đi Edinburgh để nhận giải thưởng Fields, vợ ông cảm thấy “khó ở”, hóa ra lúc đó bà bắt đầu “thai nghén” đứa con sẽ sinh ra vào ngày 17 tháng 4 năm 1959! Thật là một sự trùng hợp thú vị giữa toán học và cuộc sống.

***

Tôi có may mắn gặp Thom lần đầu năm 1988, khi làm việc gần phòng ông ở IHES trong vòng một  năm. Với nụ cười hiền lành trên môi và dáng đi chậm rãi, ông có cái gì đó gần với một nhà hiền triết phương Đông hơn là một nhà toán học phương Tây. Năm đó, một hội nghị lớn, kéo dài một tuần, được tổ chức ở Paris nhân dịp ông tròn 65 tuổi. Ngày cuối cùng, tôi ngồi cùng ông trên chuyến tàu điện từ Bures-sur-Yvette vào Paris, và ngạc nhiên thấy ông thở phào nhẹ nhõm vì chỉ còn hôm đó nữa là “xong việc”! Dường như hội nghị đó là để tôn vinh một ai khác, chứ không phải là ông. Dường như đối với ông, các ý tưởng mới là quan trọng, việc người khác nghĩ về nó thế nào phỏng có quan trọng gì.

Thom mất ngày 25 tháng 10 năm 2002, sau một thời gian dài bị bệnh. Những năm cuối đời, ông thường lúc tỉnh lúc không. Những khi tỉnh, ông nói nhiều điều mà người nghe không thật hiểu rõ. Người ta chỉ biết rằng, ông đang nói về những điều gì đó rất bí ẩn và cao siêu.

—-

[1] Có lẽ ngoài Thom, chỉ có nhà toán học thứ hai nổi tiếng trong xã hội như thế là John Nash, người được giải Nobel, nhân vật chính của bộ phim với bốn giải Oscar “A beautiful mind”

[2] Thuật ngữ “cobordism” chưa được dịch ra tiếng Việt. Có người đề nghị dùng chữ “đồng biên”.