Sách toán Việt Nam hiện tồn (kỳ 2)

Hiện được bảo tồn trong các thư viện và trong các bộ sưu tập tư nhân, các tác phẩm toán học của người Việt Nam đều phản ánh một trong những mối quan tâm về ứng dụng toán học quan trọng của người Việt là tính toán các diện tích mặt phẳng, các phép đo đạc và đơn vị đo.

Bàn tính được nhắc đến trong cuốn “Bút toán chỉ nam”.  Ảnh: Một bức tranh khắc gỗ lấy từ cuốn “Margarita Philosophica” của Gregor Reisch xuất bản tại  Freiburg năm 1503 miêu tả một cuộc thi toán giữa nhà toán học Pythagoras dùng một dạng bàn tính và nhà toán học, triết học Boethieus dùng chữ số Ả rập mới. Nguồn: Wikipedia.

Trong đó, cuốn Toán pháp đại thành mà Lương Thế Vinh (1441 -1496?) được coi là tác giả, được coi là cổ nhất. Những cuốn sách khác đã được biên soạn vào thế kỷ thứ 19 hoặc thậm chí vào đầu thế kỷ XX. Những cuốn sách còn lại không được nhắc tới trong chương Thư mục của Đại Việt thông sử 大越通史 in năm 1749 của nhà bác học Lê Quý Đôn (1726-1784?), và do đó có thể tin rằng tất cả các sách còn lại được biên soạn không sớm hơn cuối thế kỷ thứ 18.

Nội dung toán học của tất cả những sách này tương tự như các sách toán học Trung Hoa trước thời gian mà các phương pháp toán học châu Âu được các giáo sĩ Dòng Tên giới thiệu ở Trung Hoa vào đầu thế kỷ 17. 

1. Bút toán chỉ nam 筆算指南. Tác giả Nguyễn Cẩn 阮瑾 (cũng được viết là 謹) và được Kiều Oánh Mậu 喬瑩懋 (1854-1912) hiệu đính, hiện còn hai bản in năm 1909.

Cuốn sách giải thích phương pháp tính toán phương Tây (các nhà ứng dụng toán học Việt Nam truyền thống sử dụng công cụ tính toán là que tính và bàn tính để thực hiện các tính toán số học), nhưng thực ra nó bao gồm một loạt các chủ đề khá rộng đặc trưng của Toán học Trung Hoa và Toán học Việt Nam truyền thống. 

Cuốn sách gồm 5 Chương (Quyển 卷). Viện nghiên cứu Hán Nôm hiện còn một bản viết tay có tiêu đề 算法 Toán pháp cũng của Nguyễn Cẩn 阮謹 viết năm 1909 và cũng được Kiều Oánh Mậu 喬瑩懋 hiệu đính. Có thể đây là bản thảo của Bút toán chỉ nam 筆算指.

2. Chỉ minh lập thành toán pháp 指明立成算法. Cuốn sách này do Phan Huy Khuông 潘輝框viết năm 1820, mở đầu bằng một hình vẽ bàn tính tái tạo chính xác hình ảnh có trong cuốn sách Toán pháp thống tông của nhà toán học Trung Hoa Cheng Dawei (Trình Đại Vị) 程大位. Tiếp theo là bảng các lũy thừa của 10, đơn vị tiền, đơn vị đo độ dài, khối lượng và thể tích. Các trang tiếp theo chứa 32 hình vẽ của các “cánh đồng” khác nhau, nghĩa là các hình đa giác và các hình giới hạn bởi các cung tròn. Các hình vẽ tương tự có thể được tìm thấy trong Toán pháp thống tông, thậm chí có thể được tìm thấy trong một số cuốn sách khác của Việt Nam. Cuốn sách có một “đề thi giả định” với lời giải và các giải thích.

3. Cửu chương lập thành tính pháp 九章立成併法. Đây là cuốn sách toán in của Việt Nam sớm nhất hiện tồn. Cuốn sách tương đối mỏng được viết một phần bằng chữ Nôm và một phần bằng chữ Trung Hoa truyền thống. Hiện tồn hai bản in (năm 1713  và 1721, Hình 1) và một bản viết tay đã được biên tập lại, có lẽ là vào đầu thế kỉ XIX. Cuốn sách được cho là do Phạm Hữu Chung 范有鍾, tên chữ là Phúc 福, viết. Tuy nhiên, tên của tác giả được ghi trong một trong các bản in là Phạm Hữu Chổng (?) 范有偅 bút danh là Phúc Cẩn 福謹, trong khi bút danh ở cuốn sách khác là giống hệt nhau về mặt ngữ âm nhưng được viết với một ký tự Cẩn khác (福菫).

Hình 1. Bìa cuốn sách Cửu chương lập thành tính pháp trong thư viện Hán Nôm (Kí hiệu: AB 53).

Cuốn sách không được chia thành các chương và chứa các mục ngắn về các chủ đề khác nhau như bảng nhân, tính diện tích hình phẳng, phân bổ tỷ lệ và các phép toán với phân số.

Cuốn sách có các bài toán được trình bày dưới dạng truyền thống: Bài toán-Đáp số-Lời giải.

4. Cửu chương lập thành toán pháp 九章立成算法. Vẫn còn chưa rõ tác giả và thời gian biên soạn, dù hiện tồn một bản viết tay năm 1899 và được lưu giữ trong Thư viện Quốc gia Việt Nam (Hà Nội). Cuốn sách giới thiệu tên của các “số lớn”, bảng nhân và tính diện tích các hình chữ nhật và hình cong.

5. Cửu chương toán pháp 九章算法 tên khác: Cửu chương toán pháp lập thành 九章算法立成. Trong Danh mục của thư viện Hán-Nôm có liệt kê hai bản viết tay của tác phẩm này ghi năm 1882. Tác phẩm bắt đầu với đề mục “Nam toán” 南算, (toán Việt Nam) với các giải thích về các phép toán số học, bảng tên các số lớn lũy thừa của 10, và bảng nhân 9×9. Mục tiếp theo là mục “lịch sử” viết bằng chữ Nôm 喃 chứa những giải thích về các phép toán cơ bản và lịch sử có tính huyền thoại của nguồn gốc toán học Việt Nam bắt nguồn từ toán học Trung Hoa. 

Các mục tiếp theo mô tả dưới dạng thơ các phương pháp toán học khác nhau, như khai căn bậc hai, đưa về mẫu số chung, các tính toán cần thiết trong đổi đơn vị đo và đơn vị tiền tệ, tính diện tích các hình phẳng, phân bổ đơn giản và phân bổ có trọng. Trong phần này, qui tắc tính toán chi tiết song hành với các mô tả dưới dạng thơ. Phần tiếp theo chứa một lượng lớn các bài toán khác nhau, trong đó có một số bài toán giải hệ phương trình, thí dụ, bài toán về số các con thỏ và con gà có tổng cộng 36 đầu và 100 chân. 

6. Đại thành toán học chỉ minh 大成 算學 指明. Tác giả cuốn sách là Phạm Gia Kỷ 范嘉紀, một quan chức nhà nước (không biết năm sinh năm mất), và được Tư nghiệp Quốc Tử Giám Phạm Gia Chuyên 范嘉 (sinh năm 1791, đỗ tiến sĩ 進士 năm 1832) hiệu đính. Cuốn sách lưu giữ trong thư viện Hán Nôm được viết tay cẩn thận không có bìa, tuy nhiên tên cuốn sách và tên người biên soạn ở ngay trang đầu của sách. Năm biên soạn không được chỉ rõ.  

Cuốn sách chứa 20 mục nhỏ, một số mục khớp với cuốn sách kinh điển Trung Hoa Cửu chương toán thuật. Thí dụ, mục 16 trình bày phương pháp vị trí sai kép (double false position). Nhưng một số phần khác hé lộ phần nào sự khác biệt, thí dụ, Mục 1 chứa phân loại 15 khối đa diện khác nhau, mà theo hiểu biết của tôi, không có trong các sách Trung Hoa.

7. Đại thành toán pháp 大成算法. Trang bìa của bản viết tay của cuốn sách được giữ trong thư viện Hán Nôm (Hà Nội) bị mất, và tên Cửu chương toán pháp 九章算法 xuất hiện ở trang thứ hai liên quan đến bảng nhân, do đó khó có thể coi là tên của cuốn sách. Một tên khác, Đại thành toán pháp 大成算法, xuất hiện ở trang 5a của bản viết tay, nhưng vẫn chưa rõ đây có phải là tên gốc của cuốn sách hay không. Được viết bằng chữ Hán nhưng có một số đoạn viết bằng chữ Nôm giải thích một số qui tắc, cuốn sách không được chia thành các chương và có các mô tả về các phép toán số học, các đơn vị đo, và một số các bài toán tính diện tích các hình phẳng, phân bổ đơn và phân bổ có lý (pondered distribution), tính thuế ruộng, đổi tiền, qui tắc khai căn bậc hai và bậc ba không có trong cuốn sách. Điều này khẳng định, cuốn sách này khác với cuốn Cửu chương toán pháp 九章算法 năm 1882, trong đó có mô tả qui tắc khai căn bậc hai và bậc ba.

8 & 9. Lập thành toán pháp 立成算法. Bản viết tay chữ Hán không có ngày tháng với tên như trên có trong thư viện Hán Nôm chứa phần nhập đề truyền thống về các phép toán số học và bảng nhân, sau đó là một mục dài dành cho tính toán diện tích các hình phẳng kèm theo một số hình vẽ. Phần còn lại là các bài toán dạng khác nhau. Thư viện Viện Sử học (Hà Nội) cũng có một bản viết tay khác cùng tên là Lập thành toán pháp. Tuy nhiên, phân tích sơ bộ chỉ ra hai bản này không trùng nhau. Tên thật sự và thời gian biên soạn cuốn sách sau chưa xác định được, vì các trang đầu tiên của bản thảo đã bị nát và các trang cuối bị mất.

10. Thống tông toán pháp  統宗算法. Bản viết tay Thống tông toán pháp không rõ thời gian biên soạn của tác giả Tạ Hữu Thường 謝有常 (không rõ năm sinh) được lưu giữ trong thư viện Quốc gia Hà Nội (Hình 2). 

Hình 2. Trang 75 của Thống tông toán pháp 統宗算法.

Tên cuốn sách ám chỉ rõ ràng đến cuốn Suan fa tong zong (Toán pháp thống tông) 算法統宗 (1592) của Trình Đại Vị. Thực chất, một số phần cuốn sách của Trình Đại Vị đã được trích dẫn nguyên văn, thí dụ, các qui tắc tính diện tích hình phẳng viết thành thơ, bài toán hai người đi bộ, v.v. Tuy nhiên, tác giả Việt Nam đã cải biên một cách đáng kể các phần trong bản gốc Trung Hoa và thêm vào một số lớn các bài toán không tìm thấy trong bản gốc, chuyển hóa các đơn vị đo Trung Hoa sang các đơn vị đo Việt Nam, và trình bày các giải thích của mình bằng chữ Nôm.

11. Toán điền trừ cửu pháp 算田除九法. Bản viết tay không rõ tác giả và ngày tháng được lưu giữ trong Thư viện Hán Nôm. Như tên của cuốn sách, tác phẩm này trình bày cách tính diện tích các hình phẳng. Văn bản được viết bằng chữ Hán, nhưng chứa các bình luận bằng chữ Nôm. 

12. Toán học cách trí 算學格致. Trang đầu của bản viết tay trong thư viện Hán Nôm bị mất và cuốn sách được ghi trong Danh mục Tran and Gros (1993) với tên không chính xác là Toán pháp 算法. Nhưng tên thật của cuốn sách này được nhắc lại ở đầu mỗi chương là Toán học cách trí Hoàng Phong Dụ gia thư chính bổn 算學格致黃豐裕家書正本. Tên người biên soạn cuốn sách chưa rõ. 
Theo bảng Mục lục, cuốn sách lúc đầu có bốn Chương và một Phụ lục nói về những vấn đề liên quan đến xây dựng. Nhưng bản viết tay chỉ có chương 1-2 và bốn trang đầu của chương 3, phần còn lại đã bị mất hoàn toàn. Chương mở đầu nói về các kí hiệu số, thực hiện các phép toán số học với các công cụ tính (bàn tính được nhắc tới nhưng không có hình vẽ), và các đơn vị trong hệ thống đo lường. Cuốn sách cũng chứa một loạt các bài toán minh họa các vấn đề, như phân bổ tổng tiền cho một số người đã cho.

Chương 2 dành riêng cho tính toán diện tích hình phẳng và hình cong phẳng cùng với các giải thích cặn kẽ.  Chương 3 trình bày cách khai căn bậc hai và bậc ba. Nội dung của Chương 4 và Chương 5 không thể khôi phục trên cơ sở tên chương trong bảng mục lục.

13. Toán học để uẩn 算學底蘊. Vì (các) trang đầu tiên của cuốn sách này bị mất nên không rõ tên tác giả. Tên Toán học để uẩn mà cuốn sách được ghi trong Danh mục hoàn toàn dựa trên cơ sở dòng 算學底蘊目錄 trong Bảng mục lục tìm thấy trên trang đầu của bản viết tay của cuốn sách trong thư viện Hán Nôm. Năm biên soạn không rõ, nhưng vì tên của triều đại vua Gia Long 嘉隆 (1802-1820) được nhắc tới trong bản thảo, nên có thể giả thiết rằng cuốn sách được biên soạn không sớm hơn 1802. Cuốn sách chứa 6 chương về các vấn đề sau: các phép toán số học, tính diện tích các hình phẳng, khai căn bậc hai và bậc ba, trình bày sơ lược các phương pháp tương ứng với phân loại trong cuốn 九數 Cửu chương của Trung Hoa cổ điển. Có các bài toán về xây dựng và lí thuyết toán học của nhạc. Phân tích sơ bộ cho thấy cuốn sách chứa một số lớn các trích dẫn từ cuốn sách Toán pháp thống tông算法統宗 của Trình Đại Vị đã nêu ở trên.  

14. Toán học tâm pháp 算學心法. Trang đầu tiên của cuốn sách này trong thư viện Hán Nôm bị mất nên tên của cuốn sách này được ghi dựa trên lời nói đầu do Hoàng Phong Dụ 黃豐裕 viết vào năm 1850. Bảng mục lục liệt kê 5 chương: các phép toán với các số, tính diện tích hình phẳng, khai căn bậc hai và bậc ba, tính toán liên quan đến xây dựng, và tính toán liên quan đến thuế đất. Nhưng các chương không được phân chia rõ ràng và các đề mục của chúng được đưa vào trong nội dung văn bản, do đó có thể giả thiết rằng sơ đồ ban đầu đã bị thay đổi bởi những người viết sau này. Cuốn sách cũng chứa các mục không tương ứng với năm chương đã nêu, thí dụ như các phương pháp đo đạc từ xa. 

15. Toán pháp 算法. Tên chính xác của cuốn sách chưa rõ. Tên Toán pháp được người chép hoặc thủ thư đặt cho cuốn sách với các trang đầu bị mất dựa trên nội dung của nó. Tác giả và năm biên soạn cũng không được biết. Bản chép tay và microphim của cuốn sách trong thư viện Hán Nôm với số hiệu A.3150. Cuốn sách không được chia thành các chương, chứa hơn 250 bài toán dành cho các vấn đề như tính diện tích, ứng dụng của tam giác vuông, khai căn bậc hai và bậc ba, và các vấn đề khác. Phân tích sơ bộ chỉ ra rằng cuốn sách được biên soạn theo kiểu cắt dán từ cuốn sách Toán pháp thống tông của Trình Đại Vị. Thí dụ, các bài toán tính diện tích đa giác và hình cong, các qui tắc tính toán cũng như các sơ đồ hình học tương ứng có thể tìm thấy trong chương 3 của Toán pháp thống tông, các bài toán khai căn và giải phương trình đa thức đã được sao chép từ chương 6 của Toán pháp thống tông, và các phần khác nữa. 

16. Toán pháp đại thành 算法大成. Năm biên soạn và tên của tác giả không được rõ. Cuốn sách cùng tên đã được gán cho tác giả là Lương Thế Vinh 梁世榮 (1441-1496?), một quan chức thời Lê 黎 (1428-1789), nhưng tác giả và năm biên soạn thực sự của cuốn sách hiện có trong thư viện Hán Nôm không được rõ, và một số phần của cuốn sách bị nghi ngờ là khó có thể đã được biên soạn vào thế kỉ thứ 15. 

Hiện có hai bản chép tay của cuốn sách, một cuốn được viết trước 1934 và một bản được chép vào năm 1944. Cuốn sách không được chia thành các chương và chứa 138 bài toán, nếu tính cả các bài toán tự nó như là một vài qui tắc không tương ứng với bài toán riêng biệt nào, sự hiện diện của chúng phần nhiều có thể là do mất một phần văn bản. 

Các bài toán được tìm thấy trong tác phẩm liên quan tới các vấn đề phổ biến trong các cuốn sách Trung Hoa cổ như chia phần (phân bổ tỷ lệ), tỷ lệ, qui tắc ba đại lượng, qui tắc vị trí sai kép, khai căn, tính diện tích hình thẳng và hình cong phẳng, tính thể tích các khối, đổi tiền và các đơn vị đo lường các loại, phương trình vô định và “thuật số bói toán”. Cuốn sách cũng chứa một mục lớn và tương đối độc lập liên quan đến thuế ruộng. □  (Còn tiếp) 

Tạ Duy Phương dịch