Toán học: Chủ quan và khách quan
Mang cái chủ quan để hiểu cái khách quan, liệu con người có thể nắm bắt trọn vẹn được chăng?
Nhân loại không ngừng tiến hóa, kéo theo sự lụi tàn của biết bao học thuyết, định luật, và quy tắc. Nhưng với toán học thì không! Các mệnh đề toán học khi đã được chứng minh để trở thành định lý, chúng vẫn sống cùng nhân loại. Và dẫu rằng không đủ khả năng cấp “thẻ bài miễn tử” cho các định lý, con người vẫn tin vào sự vĩnh hằng của chúng. Toán học là một thực thể đặc biệt trong lịch sử tri thức: vừa khách quan, vừa chủ quan; vừa là sản phẩm của con người, vừa như thể phản ánh những quy luật vốn có của vũ trụ. Nó không chỉ là tập hợp những tri thức, mà còn là hành trình trải nghiệm tư duy – nơi lý trí hòa quyện với trực giác, nơi ghi lại dấu ấn của những cá nhân và các nền văn hóa. Ở đó, liệu có phải là sự đồng hành giữa khát vọng sáng tạo của con người và những quy luật vĩnh cửu mà tạo hóa lặng lẽ gửi gắm?
Tính chủ quan trong toán học: Mặc dù nghiêm ngặt về logic, toán học không thể không chứa đựng những yếu tố chủ quan. Sự chủ quan tất yếu, trước hết phải kể đến, ấy là việc lựa chọn các hệ tiên đề cùng với đó là lựa chọn các quy tắc suy luận – những thứ thiết yếu để xây dựng các lý thuyết. Thứ đến, các quyết định về phương pháp tiếp cận, hướng nghiên cứu và cách chứng minh một mệnh đề cũng phản ánh trực giác, kinh nghiệm và cảm nhận riêng của mỗi nhà nghiên cứu. Và chính sự chủ động lựa chọn như thế, đã tạo nên sự đa dạng trong toán học: cùng một vấn đề nhưng có thể dẫn tới nhiều lý thuyết khác nhau tùy theo cách thiết lập nền tảng và cách suy luận của mỗi cá nhân. Tính chủ quan được thể hiện qua dấu ấn trí tuệ và phong cách riêng, nơi lý trí và trực giác cộng hưởng để kiến tạo thế giới toán học.
Những câu chuyện lịch sử về trực giác: Với trực giác đặc biệt về mối liên hệ giữa đại số và hình học, René Descartes đã khai sinh hình học giải tích – một bước đột phá mang tính cách mạng trong lịch sử toán học. Newton và Leibniz, gần như độc lập, đã dựa vào trực giác sâu sắc về “vô cùng bé” để sáng tạo nên vi phân và tích phân – một công cụ mang tính cách mạng, mở ra kỷ nguyên mới cho khoa học tự nhiên. Thiên tài Ấn Độ Ramanujan gây kinh ngạc với trực giác phi thường về các công thức số học, nhiều công thức chỉ được chứng minh sau khi ông qua đời. Những câu chuyện này cho thấy, chính trực giác, linh cảm và trải nghiệm cá nhân đã tạo nên những khám phá mang dấu ấn chủ quan nhưng lại vô cùng quý giá, làm giàu cho kho tàng tri thức chung của nhân loại.
Tính khách quan của toán học: Hilbert từng nói: “Chúng ta không thể bị ai đó ra lệnh phải tin vào một định lý; nó chỉ có thể được chấp nhận sau khi đã được chứng minh.” Khi một định lý đã được chứng minh, tính đúng đắn của nó không thể bị bác bỏ bởi quan điểm hay cảm xúc cá nhân. Những định lý, công thức hay cấu trúc toán học không phụ thuộc vào chủ thể phát hiện ra chúng; chúng như đã tồn tại trong một thế giới nào đó, chỉ chờ được khám phá. Vì thế, toán học hiển hiện tựa như một thế giới khách quan, nơi con người gửi gắm khát vọng vĩnh cửu của mình. Tính “khách quan” này là cơ sở để toán học trở thành ngôn ngữ chung của khoa học, cho phép các nền văn minh khác nhau trên hành tinh của chúng ta, bất kể thời gian hay không gian, có thể tiếp cận và sử dụng, mà không gây dị biệt, lạc điệu.
Đối thoại toán học giữa chủ quan và khách quan: Nếu tư duy sáng tạo, trực giác và cảm nhận cá nhân đưa các nhà toán học đến với những ý tưởng, những giả thuyết, thì chính sự kiểm chứng khách quan thông qua chứng minh sẽ giúp phát triển, khẳng định, điều chỉnh hay loại bỏ những ý tưởng hay giả thuyết đó. Quá trình này là một đối thoại hoàn hảo giữa chủ quan gợi mở, định hướng… với khách quan kiểm nghiệm, hoàn thiện và xác nhận giá trị… Nhờ đó, toán học vừa là sân chơi sáng tạo của cá nhân, vừa là kho trời chung bền vững của tri thức, nơi ý tưởng cá nhân được giao hòa với những quy luật được khám phá của nhân loại.
Giới hạn của chủ quan: Toán học nhân loại dựa trên các hệ tiên đề và hệ logic do con người lựa chọn, nhằm nắm bắt các quy luật toán học vốn có trong vũ trụ. Mang cái chủ quan để hiểu cái khách quan, liệu con người có thể nắm bắt trọn vẹn được chăng? Các định lý bất toàn của Gödel (1931) chỉ ra rằng, trong mỗi hệ tiên đề đủ mạnh, nếu nhất quán thì không thể đầy đủ, và cũng không thể tự chứng minh tính nhất quán của chính mình. Điều này cảnh báo rằng mọi nỗ lực chủ quan của nhân loại nhằm xác nhận cái khách quan và hiểu trọn vẹn bức tranh toán học của vũ trụ là bất khả. Đó còn là bài học cho con người biết khiêm nhường trước tự nhiên!
Thực ra, sự bất toàn không chỉ nằm ở những điều Gödel đã chỉ ra, mà còn thấp thoáng đâu đó ngay cả trong các quy tắc logic sơ đẳng mà chúng ta dùng hằng ngày. Và xin được chia sẻ câu chuyện sau đây.
Lạm bàn về một tiền đề logic: Trong logic mệnh đề cổ điển, mệnh đề “nếu A thì B” chỉ sai khi và chỉ khi A đúng B sai. Đây là một quy tắc nền tảng mà nhân loại mặc định sử dụng trong suy luận logic. Tuy nhiên, nó dẫn đến một hệ quả dễ gây bối rối: nếu A sai, thì mệnh đề “nếu A thì B” luôn được xem là đúng, bất luận B đúng hay sai. Quy tắc này tưởng như hiển nhiên, nhưng thực ra lại đi ngược trực giác của con người, đặc biệt khi so sánh với cách ta thường hiểu về quan hệ nhân quả trong đời sống. Chỉ từ ví dụ nhỏ này thôi, ta có thể cảm nhận rằng: hệ thống logic mà nhân loại lựa chọn, dù nhất quán nội tại, vẫn không chắc đã là hoàn hảo. Và bởi toán học được xây dựng trên chính nền tảng ấy, nó khó có thể được xem như bức tranh khách quan phản ánh về vũ trụ, mà đúng hơn chỉ là một hệ thống hình thức được con người kiến tạo từ những quy tắc do chính mình đặt ra.
Một khả thể khác – một góc nhìn khách quan: Những luận giải về chủ quan và khách quan đã đề cập, trên tinh thần tự do của toán học, khiến người ta không thể không nghĩ đến – sự tồn tại một câu chuyện toán học khác ở một hành tinh khác. Rằng ở một nơi nào đó trong vũ trụ, một xã hội gồm những siêu nhân với cấu trúc tư duy, hệ thống logic hoặc trực giác hoàn toàn khác, họ có thể phát triển một hình thái toán học riêng, dù vẫn dựa trên trật tự vốn có của vũ trụ. Toán học của họ có thể khám phá những quy luật mà loài người trên hành tinh này chưa từng tưởng tượng. Và phải chăng, có thể nói, mặc dù toán học là ngôn ngữ chung của vũ trụ, nhưng mỗi loài lại có thể kể câu chuyện về nó theo cách riêng của mình?
Và tất nhiên, định lý bất toàn của Gödel chỉ phát huy tác dụng trong phạm vi các hệ thống toán học dựa trên logic hình thức cổ điển mà nhân loại đang lựa chọn. Nếu, giả sử, có một nền văn minh khác trong vũ trụ sử dụng một hệ logic hoàn toàn khác để xây dựng toán học của họ, thì những giới hạn “bất toàn” của “toán học Trái đất” có thể sẽ không xảy ra với họ. Điều này gợi mở một khả thể thú vị: những giới hạn mà chúng ta đang đối diện chưa chắc đã là giới hạn tối hậu, mà chỉ là giới hạn cục bộ bởi công cụ logic do con người đặt ra để tiếp cận cái khách quan.
***
Như vậy, nếu loại bỏ đức tin, chỉ bằng lý trí, chúng ta chỉ có thể nói rằng các kết quả toán học của con người – của nền văn minh Trái đất chưa hẳn đã là khách quan, là chân lý tuyệt đối. Và có thể, ở đâu đó, những nền văn minh khác đang ngân lên bản giao hưởng riêng của họ bằng những “nốt nhạc” toán học mà chúng ta chưa từng nghe thấy. Nhận thức rõ điều này giúp con người khiêm nhường hơn trước sự vô tận của nhận thức chân lý, đồng thời gợi mở rằng nếu toán học nhân loại đúng là một mảnh ghép dù chỉ rất khiêm tốn trong bức tranh toán học của tạo hóa thì cũng đã là một điều may mắn lớn lao. Dẫu vậy qua trải nghiệm hàng nghìn năm chung sống với toán học, khiến con người không thể không tin vào điều kỳ diệu lớn lao ấy.□
Bài đăng Tia Sáng số 23/2025
