Toán học – Duy tâm hay duy vật

Câu hỏi “toán học – duy tâm hay duy vật?” vì thế khó có một câu trả lời duy nhất, mà được soi chiếu qua không ít lăng kính: triết học, lịch sử khoa học, và trải nghiệm thực tiễn, tạo nên những cuộc tranh luận không hồi kết.

Ngay từ buổi bình minh của triết học, khi con người bắt đầu tìm hiểu bản chất của tồn tại và nhận thức, toán học đã trở thành một trong những địa chỉ quyến rũ nhất để phô bày những góc nhìn triết học khác nhau. Các “chàng trai triết học” đua nhau “ve vãn” “nữ hoàng toán học” bằng những diễn ngôn vừa gần gụi vừa bay bổng. Ở đó, những cuộc tranh luận giữa duy tâm và duy vật kéo dài không hồi kết. Mỗi định lý, mỗi phép chứng minh, tưởng chừng vô tri, lại chất chứa dấu ấn của những giằng xé siêu hình: giữa tuyệt đối và tương đối, giữa cái thấy và cái biết, giữa tinh thần và vật chất. Toán học thời kỳ ấy, đặc biệt là toán học Hy Lạp, không chỉ là công cụ nhận thức, mà còn là một chiến trường triết lý khốc liệt, nơi những quan niệm về vũ trụ và con người không ngừng va đập dữ dội, khiến từng bước tiến bộ của nó luôn song hành cùng những trận mạc tư tưởng.

Toán học dưới lăng kính duy tâm

Với góc nhìn duy tâm, toán học như một bằng chứng hùng hồn cho sự hiện hữu của thế giới “ý niệm thuần túy” vượt lên trên cảm giác và vật chất. Plato từng nhấn mạnh rằng các ý niệm toán học tồn tại độc lập với thế giới cảm tính, trong một cõi ý niệm vĩnh hằng; con người không sáng tạo ra chúng, mà chỉ khám phá và nhận thức về chúng. Theo ông, các con số, các vật thể hình học không xuất hiện trong thế giới cảm tính, mà chỉ thực sự tồn tại trong ý niệm. Điểm tuyệt đối, đường thẳng tuyệt đối… – những hình thể không tồn tại trong thực tế – lại trở thành những đối tượng cơ bản của hình học, hiện hữu trong tư duy thuần túy đó thôi.

Immanuel Kant cũng khẳng định: “Toán học là tri thức tiên nghiệm, có trước kinh nghiệm,” nhấn mạnh rằng con người nhận thức toán học không dựa trên kinh nghiệm cảm giác mà dựa trên lý trí. James Jeans thì cho rằng “vũ trụ bắt đầu có vẻ giống một tư tưởng hơn là một cỗ máy,” còn Galileo Galilei gọi toán học là “ngôn ngữ vĩnh cửu của vũ trụ.“

Tóm lại, các nhà duy tâm quan niệm: toán học đã có sẵn từ trước và ngoài kinh nghiệm, là chân lý vĩnh cửu, bất biến mà không bị thế giới vật chất chi phối. Điều này mở ra một thế giới – nơi tư duy vượt lên mọi hạn chế của giác quan, nơi mà mỗi định lý, mỗi định luật là một mảnh ghép của trật tự tuyệt đối, vốn không bị chi phối bởi sự bất định hay thay đổi của đời sống thực tại. Vì thế, duy tâm toán học mang đến một niềm tin: tư duy con người, thông qua lý trí, có thể chạm tới chân lý tuyệt đối của vũ trụ, nơi mà trật tự và vẻ đẹp toán học tồn tại tự nó, trước khi con người nhận biết.’

Toán học qua lăng kính duy vật

Trái ngược với quan điểm duy tâm, chủ nghĩa duy vật khẳng định rằng toán học không phải món quà từ thiên đường, mà nảy sinh từ chính nhu cầu sinh tồn và cải tạo thế giới. Số học xuất hiện khi con người cần đếm đàn gia súc, đo đạc ruộng đồng; hình học hình thành từ nhu cầu phân chia đất đai, xây dựng nhà cửa, đo lường không gian. Không có thực tiễn, sẽ không có toán học. Toán học, vì thế, không phải là “ý niệm tự tồn”, mà là sự trừu tượng hóa cao độ từ hiện thực vật chất, kết tinh trí tuệ con người qua lịch sử.

Chính vì vậy, dù nói “điểm không có kích thước” hay “đường thẳng không có bề rộng và dài vô tận”, những khái niệm ấy vẫn chỉ là sản phẩm của sự lý tưởng hóa từ thế giới vật chất. Toán học không rơi từ trời xuống; nó là hành trình nhân loại tìm kiếm trật tự và quy luật trong sự phong phú, đa dạng và biến động của tự nhiên.

Nhận định này được nhiều nhà tư tưởng lớn chia sẻ. Aristotle từng nhấn mạnh: “Nhà toán học nghiên cứu những trừu tượng, nhưng chúng được rút ra từ vật chất.” Engels bổ sung: “Toán học thuần túy nghiên cứu hình thức quan hệ không gian và số lượng của thế giới thực.” Poincaré đồng tình khi cho rằng: “Toán học là sự khái quát hóa từ muôn hình vạn trạng của thực tại.” Và Einstein thì tinh tế chỉ ra nghịch lý: “Toán học chắc chắn nhất khi tách rời thực tại, nhưng lại cần thực tại để có ý nghĩa.”

Như vậy, theo lăng kính duy vật, toán học vừa là công cụ nhận thức vừa là kết quả của kinh nghiệm thực tiễn. Chân lý toán học không phải mảnh ghép lý tưởng của tư duy thuần túy, mà là sự tổng hợp những quan hệ khách quan đã được trừu tượng hóa, phản ánh sâu sắc sự vận hành của thế giới. Toán học tồn tại trong ý niệm, nhưng luôn bắt rễ vào hiện thực; nó là cây cầu nối giữa trí tuệ con người và thế giới vật chất.

Cái nhìn biện chứng – Toán học là duy tâm hay duy vật?

Một số nhà triết học biện chứng cho rằng, thay vì chỉ giữ một cực, cần xem xét toán học trong mối quan hệ giữa lý thuyết và thực tiễn, giữa tư duy trừu tượng và thế giới vật chất. Toán học vừa phát triển từ nhu cầu thực tiễn trong đời sống con người, vừa hình thành những khái niệm trừu tượng vượt ra ngoài trải nghiệm trực tiếp.

Hình học phi Euclid, vốn phát triển trong tư duy trừu tượng, sau đó được Einstein áp dụng vào thuyết tương đối để mô tả không gian và thời gian trong thực tại, là một trong những ví dụ sinh động trong lịch sử khoa học. Nó minh họa cho cách mà các lý thuyết toán học vận hành, dù trừu tượng, vẫn có thể được liên hệ với hiện thực khách quan, đồng thời vẫn giữ vai trò trong các hệ thống lý thuyết nội tại.

Vì thế, toán học vừa biểu hiện tính duy tâm khi phát triển từ tư duy trừu tượng, hình thành các lý thuyết và khái niệm không phụ thuộc trực tiếp vào kinh nghiệm cụ thể, vừa mang tính duy vật khi dựa vào thực tiễn và kinh nghiệm vật chất để kiểm chứng, ứng dụng và phát triển thêm, thể hiện sự thống nhất biện chứng giữa lý thuyết và hiện thực.

***

Thực tại toán học ẩn chứa nhiều khía cạnh, từ các lý thuyết trừu tượng đến ứng dụng trong đời sống thực tế, khiến con người khó có thể thấu hiểu trọn vẹn. Các quan điểm duy tâm và duy vật chỉ nêu ra các phương diện khác nhau của toán học; việc xem xét cả hai góc độ giúp người ta nhận ra sự phong phú và đa dạng trong cách hiểu toán học.

Hiện thực luôn phong phú hơn những cái nhìn nhị nguyên giản lược. Câu hỏi “toán học – duy tâm hay duy vật?” vì thế khó có một câu trả lời duy nhất, mà được soi chiếu qua không ít lăng kính: triết học, lịch sử khoa học, và trải nghiệm thực tiễn, tạo nên những cuộc tranh luận không hồi kết.

Nhưng chính bởi những cuộc tranh luận căng thẳng thể hiện sự đối kháng tư tưởng kia, tri thức mới được tôi luyện và trưởng thành. Như Karl Popper từng đúc kết: “Triết học và khoa học tiến bộ nhờ những cuộc tranh luận và quan điểm trái ngược, chứ không phải nhờ sự đồng thuận dễ dãi.” Và có lẽ, phải chăng toán học – mãi là nữ hoàng quyến rũ những tâm hồn khao khát khám phá?□

Bài đăng Tia Sáng số 18/2025