Toán học và Vật lý

1. Toán học diệu kỳ Những người không thường xuyên tiếp xúc với khoa học thường lẫn lộn giữa vật lý với toán học, coi toán học là một cái gì đó huyền bí, những công thức trừu tượng không có liên hệ với thực tế. Nhưng, như Feynman viết, “các nhà vật lý sử dụng lý luận do các nhà toán học tạo nên để mô tả thế giới […] các nhà toán học giúp các nhà vật lý, nhưng với vật lý, bạn cần phải hiểu mối liên hệ giữa từ ngữ và thế giới thực."

Mersenne (số có dạng lũy thừa của 2 trừ 1: 2n – 1) mang tên nhà toán học người Pháp Marin Mersenne.

Không nghi ngờ gì cả, toán học hết sức cuốn hút. Bạn bắt đầu bằng những giả thuyết tưởng chừng như đơn giản nhưng lại khám phá ra một thế giới tuyệt diệu đến không ngờ. Bạn đếm 1, 2, 3… và rồi số nguyên tố, hàm zeta Riemann, số Mersenne, những hình vuông kỳ diệu, nguyên lý Fermat, số hoàn hảo và vô hạn đầy thách thức của toán học xuất hiện. Giống như cách mà ngôn ngữ cho phép ta chơi với ngôn từ và mường tượng nên vũ trụ huyền diệu, toán học cho phép ta chơi với các tiên đề để tạo nên những thứ bậc của vô hạn: đường cong Peano, tính không thể quyết định và hàng loạt những kỳ quan khác. Những giả thuyết đơn giản mà đem lại sự phong phú làm sao! Cách xây dựng của toán học đẹp đẽ và thanh tao đem lại cho ta một cảm giác thuần khiết! Khác với các môn khoa học phụ thuộc vào hiện tượng với mục đích tìm hiểu và miêu tả, toán học có thể tự trừu tượng hóa từ những hiện tượng như vậy, dựng nên các tiên đề từ sự gợi ý của tự nhiên để có thể khơi nguồn cho những cuộc khám phá. Trong khi những giả thuyết của khoa học phải được liên tục xem xét lại thì toán học là vĩnh cửu.

2. Là lý thuyết hay quan sát thực tiễn?

Trước khi minh họa về việc ứng dụng toán học trong vật lý, cho phép tôi chỉ ra một số sai lầm mà nhiều người thường mắc phải.

Trước hết, khoảng cách giữa lý thuyết và quan sát không đến nỗi lớn như nhiều người nghĩ. Khi nói: “Mặt trời lặn ở phía Tây”, thì đó là lý thuyết hay quan sát? Để gọi tên Mặt trời, ta đã phải tưởng tượng rằng những cái đĩa màu đỏ biến mất sau đường chân trời vào buổi chiều mà ta nhìn thấy cũng là cái mà ta nhìn thấy đi lên ở hướng bên kia vào buổi sáng: để gọi đó là Mặt trời đồng nghĩa với việc đã có một lý thuyết về Mặt trời. Ngay khi cố gắng miêu tả cái quan sát được, chuyển nó thành những câu chữ, con số, thông tin mà não bộ lưu trữ và xử lý, thì điều đó cũng đồng nghĩa với việc chúng ta đã tạo nên một lý thuyết. Hãy nghĩ về cách một đứa trẻ mới sinh học cách nhận ra khuôn mặt và giọng nói của người mẹ. Chẳng phải đó chính là tạo nên một lý thuyết về người mẹ? Những lý thuyết được học từ nhỏ thì ta vẫn gọi là lẽ thường tình, còn lý thuyết mà chưa được nghiên cứu rõ thì ta gọi là điều bí ẩn.

3. Toán học là mãi mãi và vật lý luôn đổi thay

Người ta thường nói rằng vai trò của lý thuyết vật lý là chỉ ra sự ràng buộc giữa các đại lượng mà chúng ta dùng để mô tả hiện tượng, ví dụ E=mc2 hay F=ma. Tuy nhiên, điều này ngụ ý một giả định quan trọng rằng: các đại lượng đã được xác định. Dù nói về chất điểm, lực véctơ, véctơ bốn chiều không-thời gian, trạng thái lượng tử không gian Hilbert hay siêu dây thì những khái niệm rất không rõ ràng, chúng đã phải được tư duy và nghiền ngẫm từ trước. Chúng ta cần để ý rằng những khái niệm như vậy được xây dựng một phần nào đó khá tùy ý và thiếu chính xác; chúng không phải là những khái niệm hoàn hảo mà là kết quả của sự trừu tượng hoá và có thể cần được sửa đổi lại. Sự đẹp đẽ và hoàn hảo bề ngoài của một lý thuyết thường làm cho chúng ta quên đi điều này. Sẽ là sai lầm nếu coi một lý thuyết vật lý là chân lý tuyệt đối. Chúng ta phải luôn sẵn sàng xem xét lại cơ sở nền móng của các lý thuyết để có thể tạo ra những nền móng mới giúp xây dựng các lý thuyết tốt hơn, tổng quát hơn và/hoặc chính xác hơn. Cơ học Newton không phải là một lý thuyết tốt như Thuyết tương đối Đặc biệt nhưng nó không hề kém phần trừu tượng. Cơ học Newton đem lại cảm giác dễ hiểu với những người vốn đã quen thuộc với nó, đến mức họ quên mất rằng lý thuyết này cũng dựa trên những khái niệm trừu tượng, cái mà họ đã mặc định là hiển nhiên đúng. Tất cả các lý thuyết vật lý đều trừu tượng; vai trò của chúng là tạo nên những khái niệm trừu tượng. Một lý lẽ tưởng chừng hiển nhiên thực ra cũng không có gì đặc biệt, nó thuần túy chỉ là một điều mà chúng ta đã lĩnh hội được, đó thực chất vẫn là một khái niệm chủ quan, ngay cả khi nó đã trở thành quan điểm chung của số đông. Khoa học luôn sẵn sàng chấp nhận một lý thuyết mới, không quan trọng nó trừu tượng đến mức nào, miễn là nó tốt hơn lý thuyết cũ. Ta không thể tuyên bố một lý thuyết nào đó là tối thượng và nên từ bỏ tham vọng có được chân lý tuyệt đối.

4. Ứng dụng toán học trong vật lý

Vô hạn và vi phân trong vật lý

Bây giờ hãy cho phép tôi đưa ra một vài ví dụ về cách thức các nhà vật lý sử dụng toán học.

Khái niệm về vô hạn và vi phân luôn luôn kích thích các nhà toán học và triết học. Hãy nghĩ đến nghịch lý Hilbert về một khách sạn với vô số phòng có thể chứa vô hạn khách. Như là một ví dụ, tôi thích sử dụng cách chứng minh rằng số nguyên cũng nhiều như số hữu tỉ bằng cách thay những số hữu tỉ trong một bảng có tử số là số cột và mẫu số là số hàng. Chỉ đến đầu thế kỷ trước, vấn đề này mới được làm rõ bởi Dedekind, Cantor, Frege và một số người khác. Vật lý sử dụng rất nhiều khái niệm vô cùng nhỏ và vô hạn nhưng chỉ như là một công cụ. Để mô tả thế giới, vật lý không cần đến vô hạn. Theo cơ học lượng tử, một chất điểm vô cùng nhỏ không có ý nghĩa vật lý. Vũ trụ không vô hạn mà nó chứa 1080 hạt cơ bản. Nói Vũ trụ vô hạn chỉ đơn giản ngụ ý rằng những kiến thức ta biết về vũ trụ là những thứ nằm trong đường chân trời (khoảng cách chúng ta có thể nhận được ánh sáng từ vụ nổ lớn Big Bang, ~14 tỉ năm ánh sáng), tuy nhiên chẳng có lý do gì để cho rằng Vũ trụ không tiếp tục mở rộng ra bên ngoài biên này.

Lý thuyết nhóm trong vật lý

Lý thuyết nhóm cung cấp một nền tảng đặc biệt màu mỡ cho lý thuyết vật lý. Cái được gọi là “Mô hình chuẩn” mô tả vật lý hạt cơ bản được xây dựng dựa trên những nhóm Lie: nhóm Poincaré (nhóm quay và tịnh tiến trong không thời gian bao gồm cả những phép biến đổi Lorentz) và tích của các nhóm SU(3)C×SU(2)L×U(1) tạo ra các hạt fermion cơ bản. Bất biến chuẩn phát ra những hạt bonson chuẩn và phá vỡ đối xứng phát ra các hạt Higgs. Nhóm Poincaré là nhóm Lie của phép tịnh tiến và phép quay trong không gian với chuẩn khoảng cách (metric) của Thuyết tương đối Đặc biệt. Điều này ngụ ý tồn tại các hạt và phản hạt được miêu tả bởi các vectơ bốn chiều năng-xung lượng với bất biến khối lượng và spin. Tích của các nhóm SU(3)C×SU(2)L×U(1) miêu tả đối xứng được những hạt cơ bản này tuân theo, điều đó có nghĩa là các hiện tượng vật lý bất biến khi hoán đổi hai hạt có biểu diễn tương tự trong những nhóm này, chẳng hạn như hoán đổi proton thành neutron. Đến đây, tất cả các hạt fermion (các hạt có spin ½) tạo nên vật chất trong Vũ trụ và tính chất của chúng đã được miêu tả một cách đúng đắn. Nếu yêu cầu thêm bất biến chuẩn (pha của một trạng thái lượng tử có thể được cố định một cách tùy ý tại mọi điểm trong không gian) sẽ làm xuất hiện véctơ boson không khối lượng, tức là những hạt giống ánh sáng: photon, boson truyền tương tác yếu và gluon truyền tương tác mạnh. Phá vỡ đối xứng tạo nên khối lượng cho các hạt boson này và phát thêm một vô hướng (scalar) mới là hạt Higgs boson. Hạt Higgs, mới được phát hiện gần đây tại Trung tâm Hạt nhân châu Âu (CERN), là hạt cơ bản cuối cùng còn lại của Mô hình chuẩn.

Những chiều dư

Một ví dụ thứ ba về một khái niệm toán học được áp dụng thành công trong vật lý là những chiều dư (extra dimensions). Người ta đã loại bỏ được điều cấm kỵ về chiều dư khi Thuyết tương đối Đặc biệt đưa vào khái niệm không-thời gian hay véctơ bốn chiều năng-xung lượng, khái niệm về khối lượng, spin và phản hạt. Thêm vào đó, Thuyết tương đối Rộng mô tả hấp dẫn bằng cách liên hệ tensor nén năng lượng với sự biến dạng không gian do sự nén năng lượng gây ra. Sau đó, Kaluza đưa ra chiều dư thứ năm để đưa vào những phương trình Maxwell của điện từ học (thế véctơ và vô hướng). Chiều dư đã từng bị cho là một mẹo toán học mà không có lý giải vật lý cụ thể cho đến khi Klein đưa ra ý tưởng rằng chiều dư thứ năm này bị uốn cong đến nỗi ta không thể nhìn thấy được (gọi là bị xoắn). Lý thuyết hiện đại nhất ngày nay, thuyết tập M, yêu cầu 10 chiều không gian và 1 chiều thời gian (trong đó 7 chiều không gian bị xoắn).

5. Toán học không phải là chiếc đũa thần

Dirac luôn luôn quả quyết rằng phương trình nổi tiếng của ông mô tả electron và positron được dẫn dắt bởi tham vọng xây dựng nên một lý thuyết đẹp về mặt toán học. Thật không may, phương trình này không phải lúc nào cũng có thể áp dụng đẹp đẽ được như vậy. Trong những năm 60, Chew, Mandelstam, Frautschi và Regge khai thác tính khả tích của ma trận S (liên hệ giữa trạng thái ban đầu và trạng thái cuối của một hệ) và khái niệm đối xứng chéo (liên hệ tính chất của một tương tác a+b↔c+d với a+c↔b+d ở đó một vài hạt chuyển thành phản hạt của nó) đã đề ra khái niệm dân chủ hạt nhân. Ý tưởng của khái niệm này là không có hạt nào “cơ bản” hơn những hạt khác và tất cả các hạt đều được phát bởi cơ chế “tự nâng giày”, lấy ý tưởng từ hình ảnh một người nâng cơ thể mình lên bằng cách tự kéo giày của mình. Ý tưởng đó đã rất phổ biến, và đó cũng là lý thuyết mà chúng tôi được học khi còn là sinh viên, nhưng nó đã không bao giờ được áp dụng một cách cụ thể cả và, cuối cùng, sau một thế kỷ lý thuyết này đã bị loại bỏ. Ngày nay, Siêu đối xứng, lý thuyết ghép cặp boson với fermion, là ý tưởng về một đối xứng hoàn mỹ về mặt toán học. Sự đẹp đẽ của nó cực kỳ hấp dẫn đến nỗi khó có thể hình dung được rằng Tự nhiên lại làm ngơ với đối xứng này. Tuy nhiên, cho đến nay, chúng ta vẫn chưa thành công trong việc tìm kiếm bằng chứng về nó trong thực tế.

6. Vật lý ngày nay

Trong suốt 40 năm qua, những nỗ lực tìm kiếm sai lệch của Mô hình chuẩn đều thất bại. Trong khi đó, những khám phá lớn gần đây của vật lý thiên văn về vật chất tối và năng lượng tối lại trở thành những vấn đề thách thức nhất đối với vật lý lý thuyết hiện đại. Vấn đề chính của vật lý ngày nay là sự thất bại của chúng ta trong việc mô tả thang Planck, ~10−32 cm, tương ứng với trạng thái của Vũ trụ tại thời điểm Vụ nổ lớn. Tại thang này, hấp dẫn mạnh đến mức làm cho hệ thức bất định Heisenberg, nền tảng của vật lý lượng tử, không còn áp dụng được nữa. Một cách tiếp cận hiện đại để giải quyết vấn đề này là thay thế các hạt cơ bản bằng các vòng dây với độ nén của dây xác định thang Planck. Với cách làm này, hệ thức bất định Heisenberg được sửa đổi để có thể hoạt động ở thang Planck nhưng nó đòi hỏi thêm 9 chiều không gian (trong đó 6 chiều bị xoắn). Bốn lý thuyết dây đã được tạo ra tương ứng với dây đóng, dây mở, dây có định hướng và không định hướng. Tuy nhiên, bốn lý thuyết này hóa ra cũng chỉ là bộ phận của một lý thuyết khác được gọi là thuyết tập M với 10 chiều không gian (7 chiều bị xoắn). Các lý thuyết dây này được xây dựng để áp dụng cho những lĩnh vực rất khác nhau (khoảng cách nhỏ với khoảng cách lớn, tương tác mạnh với tương tác yếu). Chúng liên hệ với nhau bởi tính đối ngẫu, một khái niệm đã trở thành trung tâm của cuộc chơi vì nó đưa ra bằng chứng cho sự tương đương của các lý thuyết dây. Cái gọi là đối ngẫu AdS/CFT (Maldacena 1997) liên hệ các lý thuyết dây trong không gian Anti-De Sitter với những lý thuyết trường bảo giác Yang-Mills.

Mô tả toán học không gian 10 chiều rõ ràng là một sự phức tạp cùng cực về mặt hình học với những màng đa chiều (gọi là màng-p, tổng quát hóa của khái niệm vòng dây). Chính bởi vậy, vật lý đang trong giai đoạn mà lý thuyết và thực nghiệm trôi xa nhau tại thang Planck, ở đó toán học thống trị vật lý lý thuyết. Một minh chứng ngoạn mục cho sự tiến hóa này là Ed Witten một trong những người có ảnh hưởng lớn tới vật lý lý thuyết hiện đại đã được trao giải thưởng Fields năm 1990! Ngày nay, một sinh viên vật lý lý thuyết cao cấp, đặc biệt chuyên ngành về lý thuyết dây, phải quen thuộc với một danh sách dài các chủ đề toán học: phân tích số thực và số phức, lý thuyết nhóm, hình học vi phân, nhóm Lie, các dạng vi phân, đại số đồng đều, đối đồng đều, đồng luân, bó sợi, lớp riêng, định lý chỉ số, siêu đối xứng và siêu hấp dẫn. Hiện nay, những lĩnh vực hiện đại nhất nghiên cứu về siêu dây chính là hai chương của toán học: lý thuyết tập K (lý thuyết tổng quát hóa đối đồng đều từ các dạng vi phân tới những bó véctơ) và hình học không giao hoán.

Người đọc quen thuộc với nghiên cứu của Ngô Bảo Châu hẳn nhận thấy rằng những đóng góp của ông cho toán học, đặc biệt lời giải của bổ đề cơ bản, có liên hệ với những chủ đề toán học trong lý thuyết tập M. Rất thú vị khi đọc cái nhìn của ông về mối liên hệ giữa những đóng góp đó với sự phát triển của vật lý hiện đại, tuy nhiên điều này nằm ngoài chủ đề của bài báo này.

7. Chúa đang ẩn nơi đâu?

Nhiều điều vô lý đã và vẫn đang được nói và viết về chủ đề này trong hoàn cảnh hiện nay, đặc biệt với ý định tạo ra những sản phẩm bán chạy nhất. Điển hình trong số đó là Bản Thiết kế Vĩ đại của Steve Hawking hay Hạt của chúa của Leon Lederman.

Dirac, Wigner, Einstein đã từng tự hỏi tại sao Vũ trụ lại “có thể hiểu được”. Giống như Chandrasekhar, họ hỏi: “Tại sao lại có thể như vậy: trí não của con người sáng tạo ra những khái niệm trừu tượng và nhận thấy chúng tuyệt đẹp? Và tại sao những khái niệm đó lại tương ứng một cách chính xác đến như vậy trong tự nhiên?”

Nhưng, làm sao thế giới có thể vừa tự quan sát chính nó, đồng thời lại dùng một ngôi thứ ba để nhận xét về sự quan sát ấy? Nó đã tạo ra logic và toán học nhằm quan sát và mô tả bản thân mình, vậy tại sao nó phải băn khoăn về khả năng kì diệu này? Dựa vào cơ sở nào để đó đếm mức độ kì diệu ấy? Trong một khoảng thời gian dài, một cách vô tình, các nhà khoa học đã bị đánh bại bởi ảo giác của chủ nghĩa hiện thực, đó là quan niệm về sự tồn tại của một hiện thực độc lập bên ngoài [chủ thể quan sát]. Tuy nhiên, việc thế giới tự quan sát và tự lý giải về bản thân nó, dựa trên các khái niệm do chính nó sáng tạo ra, chính cái vòng luẩn quẩn này của khoa học ngăn cản nó đưa ra câu trả lời khách quan cho câu hỏi cơ bản: Tại sao thế giới lại tồn tại mà không phải là không gì cả? Nếu ngày nay chúng ta hiểu rõ hơn về vấn đề này hơn trước đây, thì đó là nhờ công lao các nhà sinh học chứ không phải các nhà toán học hay vật lý, đặc biệt nhờ các nhà thần kinh học: “giả thuyết đáng kinh ngạc” năm 1994 của Francis Crick cho rằng chúng ta được tạo nên bởi không gì khác ngoài các nguyên tử; rằng các quá trình vật lý và hóa học tế bào điều khiển cơ thể và tâm trí của chúng ta. Leibniz đã từng cho rằng phải có một lý do nào đó để vũ trụ này tồn tại hơn là trống rỗng. Ngày nay chúng ta đã từ bỏ hy vọng rằng có thể có một “lý do” như vậy, như Ludwig Wittgenstein từng nói: “Điều bí ẩn không phải là vũ trụ như thế nào, mà bản thân sự tồn tại của nó đã là một bí ẩn. Phương pháp hợp lý trong triết học là nên giữ yên lặng và chỉ nói khi ta đã rõ điều cần nói, tức là những phát biểu của khoa học tự nhiên không liên quan gì đến triết học. Về những điều ta không thể nói, ta nên giữ im lặng”.

Tồn tại chứ không phải trống rỗng, ngày nay sinh học hiện đại đã khiến bí ẩn đằng sau điều này trở nên ẩn sâu hơn so với trước đây. Và nếu muốn thì ai cũng có thể gán điều bí ẩn ấy là do sự sắp đặt của Chúa trời.

Phạm Ngọc Điệp dịch,
Thanh Xuân hiệu đính