Ở nước mình, khi một đứa trẻ ra đời, người ta có tục lấy lá số tử vi: ghi lại đúng giờ, ngày, tháng, năm sinh, rồi từ một điểm duy nhất đó trên trục thời gian mà luận ra cả một đời người. Cũng như Vũ Trọng Phụng từng viết một câu ám ảnh trong Giông tố: "Tôi sinh ra đời dưới một ngôi sao xấu", chúng ta nửa tin nửa ngờ, nửa đùa nửa thật, rằng hễ biết đủ về cái gốc thì sẽ đoán được cả hành trình.
Nhưng cái niềm tin nằm dưới tục lệ lập lá số tử vi thì không đùa chút nào. Năm 1814, Laplace phát biểu niềm tin ấy dưới một dạng khác dựa trên nền tảng của cơ học Newton: nếu có một con quỷ thông minh biết tất cả vị trí và vận tốc của mọi hạt trong vũ trụ tại một khoảnh khắc nào đó, thì con quỷ ấy sẽ đọc được cả quá khứ lẫn tương lai, một lần và mãi mãi. Ông thầy tử vi và con quỷ Laplace tuy đứng rất xa nhau về độ chặt chẽ, nhưng lại chia sẻ một tham vọng triết học thầm kín: một khoảnh khắc "rực rỡ" có thể chứa cả một đường đời.
Một điểm chứa cả đường cong
Toán học cũng có một định lý nói gần y hệt như thế. Đứng tại một điểm trên đường cong, nếu vị trí của chúng ta là một hàm số, thì đạo hàm cấp một cho ta tiếp tuyến, tức là cách xấp xỉ đường cong bằng một đường thẳng ở gần điểm đang đứng. Nếu lấy thêm đạo hàm cấp hai, ta thêm được độ cong. Lấy thêm đạo hàm cấp ba, ta biết cả cách độ cong ấy thay đổi.
Paul Klee. Crystal Gradation (1921). Ảnh: Wikimedia
Công thức Taylor đẩy ý tưởng ấy tới tận cùng. Nếu ta có một hàm trơn, tức là có thể tiếp tục lấy đạo hàm mãi, thì ta có thể thử xấp xỉ hàm ấy bằng một chuỗi lũy thừa vô hạn: f(0)+f'(0)x+f''(0) x^2/2+.... Tức là chúng ta có thể lập lá số tử vi cho một đường cong: biết mọi thứ tại một điểm, ta cố gắng suy ra nó ở những chỗ khác. Đó là giấc mơ của ngoại suy.
Hàm sin là một ví dụ gần như ma thuật. Đây là một hàm tuần hoàn, và đạo hàm có tính lặp lại vì (sin x)'=cos x và (cos x)'=-sin x. Giá trị dãy đạo hàm của nó tại 0 là một chuỗi thông tin nhàm chán: 0, 1, 0, -1, rồi lại 0, 1, 0, -1 ... Vậy mà khi thay vào công thức Taylor ta lại tái tạo chính xác hàm sin trên toàn trục số thực. Lúc này một điểm thật sự chứa cả đường cong.
Khi ngoại suy là lời nói dối
Nhưng chính giải tích đã gài sẵn một điều mà tử vi không muốn thừa nhận. Chuỗi Taylor có một thứ gọi là bán kính hội tụ. Nói nôm na, đó là khoảng quanh điểm gốc mà trong đó phép ngoại suy bằng chuỗi Taylor còn có hiệu lực. Ra khỏi khoảng ấy, mọi thông tin tại điểm gốc, dù đầy đủ đến đâu, có thể không còn nói được gì về cái nằm bên kia.
Thậm chí có những trường hợp mà lời tiên đoán sai ngay khi ta muốn khởi hành. Xét hàm số f(x)=e^{-1/x^2}$ và f(0)=0. Mỗi lần lấy đạo hàm, những lũy thừa của 1/x lại xuất hiện và cố bung lên khi x tiến về 0, nhưng hàm mũ tắt nhanh hơn mọi lũy thừa. Đến cuối cùng, cái tắt luôn thắng cái bung, kết quả là đạo hàm mọi cấp của f tại 0 đều bằng 0.
Bây giờ hãy so sánh f(x) với hàm số g(x)=0 ở mọi nơi. Tại điểm 0, hai hàm có cùng giá trị và cùng tất cả các đạo hàm. Nói theo công thức Taylor, chúng có cùng "lá số tử vi" tại điểm gốc. Nhưng cuộc đời của chúng hoàn toàn khác nhau. Một hàm bằng 0 mãi mãi, còn hàm kia chỉ cần rời khỏi điểm 0 là lập tức trở thành một hàm dương thực sự. Chuỗi Taylor của f tại 0 hội tụ một cách vô tội, chỉ có điều nó kể cuộc đời của một hàm số khác.
Thỉnh thoảng chúng ta nghĩ rằng dự báo hỏng vì dữ liệu chưa đủ, hoặc chưa chính xác. Ví dụ này tinh vi hơn. Ở đây dữ liệu có vẻ hoàn hảo (khả vi vô hạn lần và không hề có nhiễu), vậy mà vẫn không đủ.
Cục bộ và toàn cục
Trong toán học có hai khái niệm dễ nhầm lẫn: trơn và giải tích. Một hàm trơn nghĩa là lấy đạo hàm được mãi, còn hàm giải tích nghĩa là tái tạo lại được từ thông tin tại một điểm. Mọi hàm giải tích đều trơn, nhưng không có điều ngược lại. Và khoảng cách giữa hai khái niệm ấy là nơi ngoại suy trở thành lời nói dối.
Nói nôm na, các hàm giải tích tuy đẹp, nhưng tâm hồn nghèo nàn, vì chúng không biết cách im lặng cục bộ. Biết giá trị của chúng trong một đoạn nhỏ, chúng ta sẽ biết rõ chúng trên cả trục số. Còn những hàm trơn mà không giải tích, thì có nội tâm phong phú hơn, ít nhất là rộng lượng hơn. Chúng cho cái địa phương một chút tự trị, mỗi nơi có quyền giữ bí mật riêng.
Về mặt kỹ thuật, hàm f(x)=e^{-1/x^2} trong ví dụ trên là một trong những viên gạch nền của giải tích hiện đại. Nhờ nó ta có phân hoạch đơn vị, là công cụ để chia một bài toán lớn thành những mảnh địa phương rồi dán lại, một kỹ thuật rất hữu ích để nghiên cứu hình học vi phân trên đa tạp hoặc xây dựng lý thuyết phân bố để giải phương trình đạo hàm riêng. Cái quyền "im lặng địa phương", điều mà ta vừa gọi là thất bại của ngoại suy, lại chính là thứ cho phép toán học được làm việc một cách cục bộ.
Ở chiều ngược lại, sau khi đi qua vô số chi tiết cục bộ, liệu cái toàn cục còn giữ được điều gì? Giống như một người đi xa quê lâu ngày có thể quên tên từng con hẻm, từng số nhà, từng khuôn mặt của những người hàng xóm, nhưng vẫn nhớ dáng cong cong lầm lũi của một con đường hay nhớ mùi hoa sữa trong những đêm đứng gió. Khi những cái tên định danh rơi rụng, một hình dạng mơ hồ hơn nhưng cũng chung thủy hơn của nơi chốn vẫn ở lại.
Toán học gọi thứ còn sót lại đó là tính phổ quát. Một ví dụ kinh điển của tính phổ quát là định lý giới hạn trung tâm trong xác suất: khi cộng thật nhiều biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân bố và có phương sai hữu hạn, và chuẩn hóa đúng cách, thì phân bố của tổng tiến dần về hình chuông Gauss. Điều kỳ lạ là bản chất các biến ngẫu nhiên ban đầu có thể rất khác nhau, như giá trị xấp ngửa của một đồng xu, hoặc thời gian chờ xe buýt, hoặc điểm số trong một kỳ thi, nhưng khi ta lấy giới hạn "cộng rồi chuẩn hóa" của rất nhiều biến độc lập, thì bao nhiêu chi tiết ban đầu tự động rơi rụng, để đọng lại đúng hai thông tin "liên quan" nhất là kỳ vọng và phương sai.
Những chi tiết bị rơi rụng ấy không phải là không đo được, chỉ là chúng không còn có ý nghĩa quyết định ở tầng toàn cục. Đây là một kiểu thất bại khác hẳn sai số: ta không sai về dữ liệu mà sai về tầm quan trọng của dữ liệu. Đôi khi chúng ta không chỉ cần thay đổi cách đo, mà ta còn cần tái định nghĩa đâu là thứ quan trọng nhất để đo.
Bán kính hội tụ của chính mình
Hầu hết sai lầm mà ta đề phòng được đều bắt đầu bằng một thứ sai ngay từ gốc: dữ liệu sai, phép đo sai, giả thiết sai... Có những loại sai khó thấy hơn, bởi chúng bắt đầu bằng một điều hoàn toàn đúng. Một kỳ thi có thể đo chính xác một loại năng lực, hay một chỉ số có thể phản ánh rất tốt một giai đoạn phát triển, và chúng chỉ trở nên nguy hiểm khi ta bước sang một miền khác mà vẫn tin chúng còn giữ nguyên giá trị.
Chuỗi Taylor vốn trung thực ở nơi nó có quyền nói, cái dối chỉ bắt đầu khi ta bắt nó phát biểu ngoài thẩm quyền. Vì thế, bên cạnh câu hỏi "phép đo này có chính xác không?", còn một câu khó hơn: "cái vừa đo có còn là thứ quyết định không?"
Một hệ thống đánh giá tốt cần biết bán kính hội tụ của chính mình. Mọi điều ta biết đều có một miền hiệu lực, và mang một điều đúng ra khỏi miền ấy là một trong những cách sai khó phát hiện nhất, bởi cái sai lúc đó được xây hoàn toàn bằng sự thật.
Đàn đứt dây rồi nghe âm thực
Gương vỡ tan tành hóa vạn tôi
Khi phép ngoại suy thành dối trá
Đời vẫn thật thà lúc gãy đôi.