Bước tiến mới chứng minh bài toán số nguyên tố cặp đôi
Một kiểm chứng toán học vừa được công bố trong tuần này cho biết tồn tại một số lượng vô hạn các số nguyên tố có một người hàng xóm gần đó cũng là một số nguyên tố, - mặc dù " hàng xóm gần nhất" cách số nguyên tố đó trong thực tế có thể lên đến 70 triệu con số.
Đây là một kiểm chứng động chạm tới một trong những bài toán chưa giải được nổi tiếng lâu nhất của lý thuyết số, được gọi là phỏng đoán số nguyên tố cặp đôi (the twin prime conjecture).
Một số nguyên tố là số chỉ chia hết cho chính nó và 1 mà thôi. Số nguyên tố cặp đôi là số nguyên tố mà chỉ cách nhau hai số – như 3 và 5, 5 và 7, 11 và 13… Các số nguyên tố cặp đôi lớn nhất được phát hiện năm 2011 là 3.756.801.695.685 × 2666.669 + 1 và 3.756.801.695.685 × 2666.669 – 1.
Phỏng đoán số nguyên tố cặp đôi chỉ đơn giản nói rằng có tồn tại một số lượng vô hạn các số nguyên tố cặp đôi. Mặc dù chỉ đơn giản vậy thôi nhưng các nhà toán học đành chịu chết không kiểm chứng được kể từ khi ý tưởng đã được phát biểu vào năm 1849 bởi nhà toán học người Pháp Alphonse de Polignac. Trong lý thuyết số nói riêng, phỏng đoán là khá dễ hiểu, nhưng chứng minh là chuyện khác, không dễ chút nào.
Để cho dễ giải bài toán này hơn một chút, các nhà toán học đã đặt lại đầu bài hơi khác đi: Liệu có tồn tại một số lượng vô hạn các số nguyên tố nằm cách một số nguyên tố láng giềng một khoảng cách cố định nào đó, có thể khoảng cách đó là lớn hơn 2?
Tại một seminar của Đại học Harvard hôm 13 /5/ 2013, Yitang Zhang thuộc Đại học New Hampshire ở Durham đã khẳng định là “có”.
Zhang dựa trên một công bố vào năm 2005 của Daniel Goldston và đồng nghiệp thuộc Đại học công lập San Jose ở California. Theo đó, khoảng cách giữa các số nguyên tố tăng lên khi các số nguyên tố lớn hơn. Nhưng nhóm Goldston chứng minh rằng luôn luôn tồn tại một vài số nguyên tố nằm rất gần với nhau ngay cả khi chúng là những con số rất lớn. Tuy nhiên, theo Zhang phương pháp của nhóm Goldston khó sử dụng trực tiếp vào bài toán số nguyên tố cặp đôi. Nhưng vào tháng Bảy năm ngoái, trong khi đang ở nhà nghỉ của một người bạn, Zhang kể, đột nhiên có một “sóng não” bùng phát làm cho anh ta bỗng ngộ ra cách giải. Anh đã có thể khai thác một chi tiết kỹ thuật để tìm ra rằng có tồn tại một lượng vô hạn các cặp số nguyên tố nằm cách nhau ở một khoảng cách hữu hạn, xác định được. Thật không may cho các số nguyên tố, khoảng cách vẫn còn khá lớn: 70 triệu số. Nói một cách hình ảnh là các số nguyên tố chỉ bớt cô đơn thôi. Nhưng Zhang nhấn mạnh rằng đó là giới hạn trên. “Tôi nghĩ rằng để giảm chúng đến dưới một triệu hoặc thậm chí nhỏ hơn là rất có thể” – mặc dù các nhà toán học có thể cần bước đột phá khác để giảm khoảng cách xuống chỉ còn hai và cuối cùng chứng minh được phỏng đoán số nguyên tố cặp đôi.
Henryk Iwaniec của Đại học Rutgers ở Piscataway, New Jersey, cho rằng “Con số 70 triệu không phải là rất quan trọng. Điều quan trọng là Zhang đã có thể cho thấy rằng khoảng cách giữa các số nguyên tố lân cận không được vượt quá một giá trị nhất định. Mọi người sẽ choáng bởi kết quả này. Tôi chắc chắn mọi người sẽ còn phải cày xới trong nhiều năm để rút giảm xuống con số cuối cùng.”
Henryk Iwaniec,người đã có nhiều đóng góp cho bài toán số nguyên tố cặp đôi,nhưng không tham gia vào công trình mới này, chính là người thẩm định bài báo trình bày chứng minh của Zhang và không tìm thấy một sai sót nào trong bài đó. Công trình của Zhang vì vậy đã được chấp nhận sẽ cho công bố trong Annals of Mathematics.
Một tin vui khác nữa về số nguyên tố là đã có một số tiến bộ trong việc giải bài toán
Goldbach. Đây là phỏng đoán do Christian Goldbach đề ra vào năm 1742. Theo đó tất cả các số chẵn lớn hơn 2 là tổng của hai số nguyên tố. Vừa rồi Harald Helfgott thuộc École Normale Supérieure Paris, Pháp, đã chứng minh được một bài toán liên đới gọi là phỏng đoán Goldbach về số lẻ, nói rằng tất cả các số lẻ trên 5 là tổng của ba số nguyên tố.
Nếu chứng minh được về phỏng đoán Goldbach cũng sẽ chứng minh được phỏng đoán Goldbach về số lẻ, bởi vì lấy một số chẵn hình thành bởi tổng hai số nguyên tố và cộng thêm 3 thì sẽ được một số lẻ là tổng của ba số nguyên tố. Nhưng chứng minh của Helfgott không thể giúp các nhà toán học chứng minh theo hướng đi ngược lại, tức từ số lẻ sang số chẵn, theo đánh giá của Terence Tao (giải thưởng Fields) thuộc Đại học California, Los Angeles – vì vậy bài toán ban đầu của Goldbach vẫn chưa được giải quyết.
XH lược thuật theo New Scientist
http://www.newscientist.com/article/dn23535-proof-that-an-infinite-number-of-primes-are-paired.html
Một số nguyên tố là số chỉ chia hết cho chính nó và 1 mà thôi. Số nguyên tố cặp đôi là số nguyên tố mà chỉ cách nhau hai số – như 3 và 5, 5 và 7, 11 và 13… Các số nguyên tố cặp đôi lớn nhất được phát hiện năm 2011 là 3.756.801.695.685 × 2666.669 + 1 và 3.756.801.695.685 × 2666.669 – 1.
Phỏng đoán số nguyên tố cặp đôi chỉ đơn giản nói rằng có tồn tại một số lượng vô hạn các số nguyên tố cặp đôi. Mặc dù chỉ đơn giản vậy thôi nhưng các nhà toán học đành chịu chết không kiểm chứng được kể từ khi ý tưởng đã được phát biểu vào năm 1849 bởi nhà toán học người Pháp Alphonse de Polignac. Trong lý thuyết số nói riêng, phỏng đoán là khá dễ hiểu, nhưng chứng minh là chuyện khác, không dễ chút nào.
Để cho dễ giải bài toán này hơn một chút, các nhà toán học đã đặt lại đầu bài hơi khác đi: Liệu có tồn tại một số lượng vô hạn các số nguyên tố nằm cách một số nguyên tố láng giềng một khoảng cách cố định nào đó, có thể khoảng cách đó là lớn hơn 2?
Tại một seminar của Đại học Harvard hôm 13 /5/ 2013, Yitang Zhang thuộc Đại học New Hampshire ở Durham đã khẳng định là “có”.
Zhang dựa trên một công bố vào năm 2005 của Daniel Goldston và đồng nghiệp thuộc Đại học công lập San Jose ở California. Theo đó, khoảng cách giữa các số nguyên tố tăng lên khi các số nguyên tố lớn hơn. Nhưng nhóm Goldston chứng minh rằng luôn luôn tồn tại một vài số nguyên tố nằm rất gần với nhau ngay cả khi chúng là những con số rất lớn. Tuy nhiên, theo Zhang phương pháp của nhóm Goldston khó sử dụng trực tiếp vào bài toán số nguyên tố cặp đôi. Nhưng vào tháng Bảy năm ngoái, trong khi đang ở nhà nghỉ của một người bạn, Zhang kể, đột nhiên có một “sóng não” bùng phát làm cho anh ta bỗng ngộ ra cách giải. Anh đã có thể khai thác một chi tiết kỹ thuật để tìm ra rằng có tồn tại một lượng vô hạn các cặp số nguyên tố nằm cách nhau ở một khoảng cách hữu hạn, xác định được. Thật không may cho các số nguyên tố, khoảng cách vẫn còn khá lớn: 70 triệu số. Nói một cách hình ảnh là các số nguyên tố chỉ bớt cô đơn thôi. Nhưng Zhang nhấn mạnh rằng đó là giới hạn trên. “Tôi nghĩ rằng để giảm chúng đến dưới một triệu hoặc thậm chí nhỏ hơn là rất có thể” – mặc dù các nhà toán học có thể cần bước đột phá khác để giảm khoảng cách xuống chỉ còn hai và cuối cùng chứng minh được phỏng đoán số nguyên tố cặp đôi.
Henryk Iwaniec của Đại học Rutgers ở Piscataway, New Jersey, cho rằng “Con số 70 triệu không phải là rất quan trọng. Điều quan trọng là Zhang đã có thể cho thấy rằng khoảng cách giữa các số nguyên tố lân cận không được vượt quá một giá trị nhất định. Mọi người sẽ choáng bởi kết quả này. Tôi chắc chắn mọi người sẽ còn phải cày xới trong nhiều năm để rút giảm xuống con số cuối cùng.”
Henryk Iwaniec,người đã có nhiều đóng góp cho bài toán số nguyên tố cặp đôi,nhưng không tham gia vào công trình mới này, chính là người thẩm định bài báo trình bày chứng minh của Zhang và không tìm thấy một sai sót nào trong bài đó. Công trình của Zhang vì vậy đã được chấp nhận sẽ cho công bố trong Annals of Mathematics.
Một tin vui khác nữa về số nguyên tố là đã có một số tiến bộ trong việc giải bài toán
Goldbach. Đây là phỏng đoán do Christian Goldbach đề ra vào năm 1742. Theo đó tất cả các số chẵn lớn hơn 2 là tổng của hai số nguyên tố. Vừa rồi Harald Helfgott thuộc École Normale Supérieure Paris, Pháp, đã chứng minh được một bài toán liên đới gọi là phỏng đoán Goldbach về số lẻ, nói rằng tất cả các số lẻ trên 5 là tổng của ba số nguyên tố.
Nếu chứng minh được về phỏng đoán Goldbach cũng sẽ chứng minh được phỏng đoán Goldbach về số lẻ, bởi vì lấy một số chẵn hình thành bởi tổng hai số nguyên tố và cộng thêm 3 thì sẽ được một số lẻ là tổng của ba số nguyên tố. Nhưng chứng minh của Helfgott không thể giúp các nhà toán học chứng minh theo hướng đi ngược lại, tức từ số lẻ sang số chẵn, theo đánh giá của Terence Tao (giải thưởng Fields) thuộc Đại học California, Los Angeles – vì vậy bài toán ban đầu của Goldbach vẫn chưa được giải quyết.
XH lược thuật theo New Scientist
http://www.newscientist.com/article/dn23535-proof-that-an-infinite-number-of-primes-are-paired.html
Tác giả
(Visited 7 times, 1 visits today)