Có thể hiểu Vũ trụ?

Einstein luôn ngạc nhiên cho rằng điều khó hiểu nhất là vũ trụ có thể hiểu được (Das ewig Unbegreifliche an der Welt ist ihre Begeiflich keit). Nhiều thời điểm người ta tưởng chừng như có thể hiểu được mọi vật. Trong sinh học sau nhiều kết quả giải mã bộ gen thì sự sống và ý thức dường như cũng nằm trong tầm tay của khoa học. Song có phải như thế chăng? Trong toán học cũng như trong vật lý, sinh học có nhiều lỗ đen  thuộc phạm vi bất khả tri .

Albert Einstein, nhà vật lý để gần cả đời tìm TOE

Câu nói của Einstein chứa đựng một nghịch lý: nếu chúng ta không hiểu được vì sao vũ trụ có thể hiểu được thì điều này có nghĩa là vũ trụ không thể hiểu được như chúng ta hình tưởng.
Cho rằng vũ trụ có thể hiểu được gần như là tuyên ngôn tận thế của triết học. Ngay trong toán học, ngôi đền thiêng của trí tuệ cũng phát sinh nhiều lỗ đen bất khả tri.

Những lý do nào để tin rằng thế giới có thể hiểu được?
Theo Platon thì vũ trụ có thể hiểu được vì vũ trụ có một cấu trúc và Đấng sáng tạo phải là một nhà toán học để xây dựng cấu trúc đó. Và tư tưởng này đã thống trị trong nhiều thế kỷ, người ta tìm thấy tư tưởng này ở Spinoza & Leibniz (thế kỷ XVII).
Tư tưởng này biểu hiện trong việc ứng dụng thành công đối xứng vào các lý thuyết toán học và vật lý. Người ta không thể không ngạc nhiên khi thấy các hạt cơ bản có đối xứng nội tại  SU(3) do nhà vật lý người Mỹ Murray Gell-Mann tìm ra. Dựa trên đối xứng này người ta đã có thể tiên đoán sự tồn tại của những hạt mới, như vậy có những phần của vũ trụ có thể hiểu được?

Stephen Hawking, tác giả “Lược sử thời gian”[3]

Các nhà vật lý hiện đại còn có thêm một lý lẽ nữa để giải thích nghịch lý chứa trong câu nói của Einstein. Đó là nguyên lý vị nhân (anthropic principle – do từ anthropos có nghĩa là con người). Theo nguyên lý này vũ trụ có thể hiểu được là một điều có thể giải thích được, vũ trụ phải như thế này thì mới có sự sống, có con người để đặt ra những câu hỏi về vũ trụ (xem Lược sử thời gian của S.Hawking [3]).
Song những điều nói trên liệu có đúng dưới những quan điểm hiện đại chăng?

Gregory Chaitin và lý thuyết tin học hiện đại
Gregory Chaitin đã gắn liền vấn đề hiểu vũ trụ với lý thuyết tin học.
Trải qua cả nghìn năm nhiều nhà toán học hy vọng rằng toán học một ngày nào đó sẽ tạo ra được TOE ( Theory of Everything-Lý thuyết của tất cả): tồn tại một tập hữu hạn các định đề (axiom) và quy tắc từ đó có thể suy ra mọi chân lý toán học. Song vào năm 1930 hy vọng trên đã bị dập tắc vì Định lý Không đầy đủ (Incompleteness Theorem) nổi tiếng của Kurt Gödel: Trong mọi lý thuyết toán học luôn tồn tại những khẳng định không chứng minh được là đúng hay sai.
                 

Gottfried W. Leibniz – Đưa ra các ý tưởng về phức hợp và đơn giản

Xuất phát từ các công trình của Godel, Leibniz và Turing, Gregory Chaitin đã đi đến số Omega, một con số phức hợp (complex) mà không một lý thuyết toán học nào mô tả được.
Chaitin đã chứng tỏ rằng sự ngẫu nhiên vốn ngự trị trong cơ học lượng tử cũng tồn tại trong lòng của toán học.
Gregory Chaitin đã lấy những ý tưởng về phức hợp (complexity) và ngẫu nhiên (randomness) do  Gottfried N.Leibniz đề ra  năm 1686 và tích hợp với lý thuyết thông tin hiện đại để chứng minh rằng không tồn tại một TOE cho mọi toán học. Định lý Không đầy đủ của Gödel đã gây ấn tượng mạnh đến Gregory Chaitin. Gödel phủ nhận quan điểm của David Hilbert, nhà toán học gần một thế kỷ trước đã đưa ra tuyên ngôn có một TOE cho toán học, một tập nguyên lý từ đó có thể suy ra mọi chân lý toán học. Gödel đã chứng minh rằng các toán học chứa những khẳng định mà chúng ta không thể chứng minh được theo cách của Hilbert.
Thế nào gọi là phức hợp (complexity)?
                        

Kurt Gödel – Tác giả định lý không đầy đủ

W. Leibniz trong chương VI của Discourse on Metaphysics cho rằng một lý thuyết phải đơn giản hơn tổng dữ liệu mà nó giải thích, nếu không nó không giải thích được điều gì cả.
Điều này dẫn đến các khái niệm phức hợp và đơn giản. Hiện nay tính phức hợp (complexity) và tính đơn giản (simplicity) đã được lượng hóa.
Năm 1965 Gregory Chaitin đưa ra lý thuyết thông tin thuật toán (algorithmic information theory) để giải bài toán đo độ phức hợp. Sau đây là ý tưởng chính của lý thuyết đó: mọi định luật khoa học giải thích hoặc mô tả những đối tượng toán học hoặc một tập dữ liệu đều có thể biểu diễn bằng một chương trình máy tính.
Kích thước của một chương trình máy tính là số bit chứa trong chương trình đó. Như chúng ta biết máy tính lưu trữ thông tin dưới dạng dãy các số 0 và 1. Mỗi số 0 và 1 đó gọi là bit. Một chương trình máy tính càng phức tạp thì kích thước càng lớn và số bit càng nhiều. Nếu một hiện tượng chịu sự điều khiển của một định luật thì định luật này có thể mã hóa thành một chương trình máy tính. Định luật càng đơn giản thì chúng ta hiểu hiện tượng càng sâu sắc và càng dễ sử dụng. Tính đơn giản hay không đơn giản được phản ánh trong kích thước của chương trình.
Mặc dầu sống trước thời đại thông tin 250 năm Leibniz đã đến gần ý tưởng hiện đại thông tin thuật toán (algorithmic information).
Chúng ta đoán nhận theo quan điểm hiện đại hai ý tưởng của Leibniz đề ra vào năm 1686
1/  Thứ nhất chúng ta đo độ phức hợp bằng các bit thông tin nghĩa là bằng các số 0 và 1
2/  Thứ hai thay vì các phương trình toán học chúng ta dùng những chương trình máy tính trong hệ  nhị phân (binary).
Theo ý tưởng của Leibniz thì nếu có một lý thuyết thực sự thì phải có một sự nén (compression) nghĩa là chương trình máy tính tương ứng phải có kích thước nhỏ hơn dữ liệu output, cả hai đều đo bằng các bit 0 và 1. Trong trường hợp không tồn tại một lý thuyết thực sự nào thì thì dãy bit đó được gọi là ngẫu nhiên về thuật toán (algorithmically random) hoặc là bất khả quy, là không tối giản được(irreducible).
Cần chú ý ở đây rằng các ý tường trên cũng được đưa ra đồng thời bởi  A.N. Kolmogorov.
Bài toán dừng của Turing
Khi sử dụng máy tính chúng ta đứng trước một bài toán cơ bản: cho một chương trình nào đó liệu có một thuật toán (algorithm) để thấy được chương trình sẽ dừng hay không, hay nó chạy đến muôn đời?

Alan Turing, tác giả bài toán dừng

Ví dụ xét bài toán “Lấy một số nằm giữa 1 và 10, thêm 2 vào số đó và tính kết quả”, chương trình này sẽ dừng sau 10 bước, song nếu lấy bài toán “lấy một số không âm nhân nó với 2 đến lúc có được một số lớn hơn 1”, chương trình này sẽ dừng nếu số x > 0, nếu x=0 chương trình sẽ chạy mãi.
Đối với những bài toán phức tạp hơn liệu chúng ta có đủ thời gian để chờ xem chương trình có dừng hay không? Đợi 1 tuần,1tháng, 1 năm, 1 tỷ năm? Tồn tại chăng một chương trình kiểm nghiệm (test) có thời gian hữu hạn để chứng tỏ rằng bất kỳ một chương trình máy tính nào cho trước sẽ dừng.
Turing chứng minh rằng không tồn tại một chương trình  như thế!
 
Số omega
Hãy xét ví dụ sau đây : giả sử rằng trên toàn thế giới chỉ có 2 chương trình dừng và dãy bit của hai chương trình đó là 11001 & 101. Chọn ngẫu nhiên một chương trình có nghĩa là chon ngẫu nhiên các dãy bit trên. Ta có thể thực hiện việc chọn bằng cách tung một đồng xu và lấy 1 nếu có mặt phải và lấy 0 nếu có mặt trái, như thế xác suất để thu được một bit nào đó là bằng 1/2 . Vậy xác suất để thu được các chương trình 1101 & 101 là
1/2 x1/2 x1/2 x1/2 x1/2 = 1/25 và 1/2×1/2 x1/2 = 1/23. Cho nên xác suất để chọn ngẫu nhiên một chương trình là 1/23+ 1/25 = 0.15625.

Omega là một số rất phức hợp vì định nghĩa của nó dựa trên một bài toán không giải được – đó là bài toán dừng của Turing ( Turing’s halting problem).

Trong thực tế sẽ có nhiều chương trình dừng và số omega sẽ là tổng của những số hạng có dạng  1 / 2 N . Số  W là một số được định nghĩa chặt chẽ về mặt toán học (W =  2 –p , cộng theo p là số bit của chương trình dừng)
Vậy số Omega chính là xác suất để máy tính sẽ dừng sau một thời gian khi dãy các bit được chọn một cách ngẫu nhiên.
Vì sao số omega lại bất khả quy?
Đây là tính chất đáng ngạc nhiên của số Omega, số này là bất khả quy hay nói cách khác là ngẫu nhiên về mặt thuật toán và số này là vô cùng phức hợp (infinitely complex). Vì sao như vậy: giống như mọi con số ta có thể viết omega dưới dạng dãy các số 0 và 1 (trong hệ binary). Số omega sẽ là một dãy vô cùng  trong hệ binary giống như căn số bậc hai của số 2 trong hệ thập phân:
   = 1.4142135623730950488….
Song chúng ta có một thuật toán để thu được số đó theo phép lặp của Newton (Newton’s iteration).Nếu có đủ thời gian thì chương trình tính  sẽ thu được bất kỳ con số nào trong dãy thập phân trên và chương trình dừng lại.
Có điều gì tương tự như vậy đối với số omega chăng? Có một chương trình hữu hạn nào có thể tính được các bit trong dãy binary của số omega?

Steven Weinberg, giải Nobel tác giả “Những giấc mơ về một lý thuyết tối hậu

Nếu thế khi biết được N bit đầu trong dãy nhị phân của Omega chúng ta đã có thể giải bài toán dừng đối với mọi chương trình có kích thước đến N bit. Như thế vì chúng ta có một chương trình hữu hạn cho mọi bit của Omega, chúng ta cũng có một chương trình để giải bài toán dừng cho mọi chương trình bất kể kích thước của chúng. Nhưng điều này như chúng ta biết là không thể được, như vậy một chương trình như thế là không tồn tại.
Theo định nghĩa ở trên , Omega là bất khả quy hay nói cách khác là một số ngẫu nhiên về thuật toán (algorithmically random). Omega không thể nén (compressed) trong một lý thuyết hữu hạn. Mặc dầu Omega có một định nghĩa toán học chính xác, song dãy bit vô cùng của nó không thể tính được gởi một chương trình hữu hạn, đó là một dãy bit vô cùng và ngẫu nhiên.

Vì sao toán học không có TOE?
Một lý thuyết toán học gồm một tập định đề và quy tắc. Có thể nói thêm định đề chính là những nguyên lý bất khả quy. Như thế TOE sẽ là một tập như thế từ đó ta có thể suy ra mọi chân lý toán học. TOE bắt buộc phải có một độ phức hợp hữu hạn vì nếu không thì TOE đã không còn là một lý thuyết nữa! Và TOE phải cho phép tính được số Omega. Song điều này không thể xảy ra vì như chúng ta biết Omega là một số có độ phức hợp vô cùng (infinite complexity).

Những tin buồn cho TOE của vật lý
Gregory Chaitin phát hiện thấy trong lòng toán học có nhiều lỗ trống.
Đây là một tín hiệu xấu cho vật lý học. Vật lý học có tham vọng  mô tả Vũ trụ hoàn chỉnh và chính xác. Toán học lại là ngôn ngữ của Vật lý, như thế những phát hiện của Chaitin buộc rằng một “Lý thuyết của tất cả” (TOE) là không thể có được. Điều này quả là một viên thuốc đắng khó “nuốt”, song chính Steven Weinberg giải Nobel Vật lý tác giả cuốn sách  Những giấc mơ về một lý thuyết tối hậu cũng chấp nhận viên thuốc đắng này, ông nói: “Chúng ta không bao giờ tin chắc rằng lý thuyết tối hậu của Vật lý là toàn bích về mặt toán học – We will never be sure that our final theory is mathematically consistent”
Như vậy những lý thuyết đầy triển vọng như lý thuyết siêu dây cũng thuộc phạm trù này.
Kỳ vọng của những nhà vật lý lý thuyết về một phương trình tối hậu phải chịu áp lực nặng nề này.

Vật lý và toán học đều là những khoa học thuần túy thực nghiệm (truly empirical) và gần thực nghiệm (quasi-empirical)!
Thoạt nhìn người ta nghĩ rằng vật lý và toán học rất khác nhau.
1/ Vật lý mô tả vũ trụ và phụ thuộc vào những quan sát. Ví dụ định luật Newton hay Mô hình chuẩn của các hạt cơ bản phải được kiểm nghiệm bằng thực nghiệm và chúng được xem như là những nguyên lý ban đầu không chứng minh được (giống như những định đề).
Trong vật lý người ta nén các dữ liệu quan sát được thành định luật.
2/ Toán học trái lại không phụ thuộc vào vũ trụ. Ví dụ tính chất của những số nguyên hay số thực không phụ thuộc vào bản chất của thực tại khách quan. Toán học là đúng cho mọi vũ trụ. Trong toán học người ta cũng nén mọi kết quả tính toán thành những định đề.
Nếu Hilbert đúng thì toán học sẽ là một hệ kín, không còn không gian cho những ý tưởng mới.
Song những ý tưởng mới về vật lý và toán học đã hình thành. Năm 1956 nhà toán học người Hung Imre Lakatos cho rằng toán học cũng là một khoa học gần thực nghiệm Ví dụ giả thuyết Goldbach cho rằng mọi số lớn hơn 2 đều có thể viết thành tổng của hai số nguyên tố hiện nay vẫn chưa chứng minh được mặc dầu đã được kiểm nghiệm
đến số 1014 .

Gregory Chaitin đưa ra sơ đồ sau đây

Vật lý: Lý thuyết  –  các tính toán     –  các tiên đoán cho những quan sát
 
Toán học: Định đề  – các suy luận logic    –  các định lý

Khoa học tính toán: Chương trình  –  chạy máy tính    –   output

Vật lý là toán học đều tương tự việc chạy một chương trình trên máy tính.

Chaitin cho rằng giữa vật lý và toán học không có sự khác biệt về nguyên tắc: cả hai đều là những khoa học thực nghiệm (Chaitin dùng chữ thuần túy thực nghiệm cho vật lý và chữ gần thực nghiệm cho toán học song thực sự hai chữ đó không khác nhau về mặt nguyên tắc). Gregory Chaitin khuyên các nhà toán học và vật lý không nên cô lập mình mà hòa cùng nhau để tìm thấy những nguồn ý tưởng mới tuơng liên.
                                                        

Tài liệu tham khảo:
[1] Gregory Chaitin , L’Univers est-il intelligible?, La Recherche, tháng 12, 2003.
[2] Gregory Chaitin , The Limits of Raison, Scientific American, tháng 3, 2006.
[3] Steven Hawking, Lược sử thời gian, bản dịch của Cao Chi và Phạm Văn Thiều.