E8- một lý thuyết hình học cho TOE?

Thế nào là E8?

E8 là một nhóm Lie. Nhóm Lie (theo tên nhà toán học Na-Uy Sophus Lie thế kỷ 19) là tập các biến đổi liên tục thỏa mãn các điều kiện sau: hai biến đổi liên tiếp cho lại một biến đổi của tập đó, ngoài ra tồn tại một biến đổi đơn vị và một biến đổi đảo ngược. Các biến đổi vi phân làm thành các vi tử, có N vi tử cơ sở của  đại số  nhóm ứng với số các thông số nhóm hay chiều của nhóm.

Nói chung trong đại số của nhóm Lie có R vi tử giao hoán với nhau tạo nên đại số con Cartan, số R gọi là hạng (rank) của nhóm.

Mỗi yếu tố thuộc đại số Cartan tác động lên các vi tử còn lại (tác động phụ hợp-adjoint) cho ta N-R vector riêng khác không gọi vector căn số (root vector) và những trị riêng là những căn số. Trị riêng của mỗi vector căn số có l thành phần như của một vector. Các vector sau làm thành giản đồ căn số.

Trong các nhóm biến đổi liên tục tức nhóm Lie ngoài các nhóm cổ điển AR , BR, CR và DR còn có các nhóm đặc biệt là G2, F4, E6, E7 và E8 (theo sơ đồ Dynkin). Trong đó nhóm E8 là nhóm phức tạp nhất và kỳ ảo nhất.

Hình 2. Giản đồ Dynkin của nhóm E8

Nhóm E8 có N=248, R=8. Nhóm E8 có thể xem như một đối tượng 248 chiều, cũng có thể xem như một đối tượng 8 chiều với 248 đối xứng.  

Hình3. Giản đồ căn số E8 khi chiếu thẳng góc xuống một không gian hai chiều

Đại số con Cartan cũng có thể tác động lên các vector thuộc các không gian biểu diễn của nhóm. Trong trường hợp này các vector riêng làm thành các vector trọng số (weight vectors) còn các trị riêng làm thành những trọng số (weight) – những trọng số có thể xem như là những căn số suy rộng trong các biểu diễn).

Mỗi vector trọng số ứng với một loại hạt cơ bản. R tọa độ của mỗi trọng số chính là những số lượng tủ của hạt ứng với các vi tử của đại số con Cartan.

Quá trình thống nhất các hiện tượng vật lý

Năm 1687 Isaac Newton thống nhất mọi chuyển động (chuyển động thiên thể, thủy triều, đồng hồ quả lắc) nhờ định luật hấp dẫn phổ quát.

Giữa thế kỷ 19 James Clerk Maxwell thống nhất điện học và từ học.

Một trăm năm sau điện từ được thống nhất với tương tác yếu nhờ lý thuyết điện yếu.

Các nhà vật lý chia sẻ trực giác khẳng định rằng ở sâu thẳm mọi hiện tượng vật lý tuân theo một cấu trúc toán học tuyệt mỹ nào đó.

Điện từ, tương tác yếu và mạnh được thống nhất vào năm 1970 trong Mô hình chuẩn (SM-Standard Model) với GUT (Grand Unified Theory-Lý thuyết Thống nhất Lớn).

Về mặt toán học các lý thuyết này sử dụng các nhóm Lie và một công cụ toán học hữu hiệu là không gian phân thớ (fiber bundles).

Từ những năm 1960 các nhà vật lý xây dựng lý thuyết dây (string theory) nhằm thống nhất hấp dẫn và SM chọn dây (string) và màng (membrane) dao động trong không thời gian nhiều chiều làm các thực thể cơ bản.

Ngoài lý thuyết dây còn có lý thuyết Hấp dẫn Lượng tử Vòng (LQG-Loop Quantum Gravity).

Năm 2007 Antony Garrett Lisi xây dựng lý thuyết E8. Trong lý thuyết E8 mọi lực và vật chất được miêu tả như chuyển động xoắn (twisting) của một đối tượng hình học.

Mọi ý tưởng mới đều phải trải qua thử nghiệm, lý thuyết E8 cũng vậy. Nhiều nhà vật lý tỏ vẻ bi quan với E8. Song ngay từ những bước đầu lý thuyết E8 đã bộc lộ một cấu trúc tuyệt đẹp và đã tiên đoán được nhiều hạt mới mà LHC (Large Hadron Collider-Máy Va chạm Hadron lớn) có thể tìm ra trong tương lai. Có thể xem E8 như một bước phát triển quan trọng trên con đường tìm lý thuyết thống nhất.

Thế nào là không gian phân thớ?

Trước khi mô tả lý thuyết E8 chúng ta cần nói đến một nguyên lý hình học cơ bản điều khiển mọi lực và hạt trong thiên nhiên. Chúng ta không thể nhìn thấy hình dạng trực tiếp của đối tượng hình học song chúng ta có thể biết được những hệ quả do nguyên lý này đem lại.

Chúng ta có thể hình dung vũ trụ như một khối đất chung quanh mọc đầy các mầm cây. Bề mặt của khối đất chính là không thời gian còn các mầm chính là các thớ. Toàn hệ hình học đó  (không thời gian + các thớ) làm thành không gian phân thớ. Các thớ có thể xem như các không gian nội tại khác nhau gắn liền với mỗi điểm của không thời gian và có hình dạng ứng với các tính chất của hạt.

Khái niệm không gian phân thớ (fibre bundle) xuất hiện những năm 30 trong toán học. Đó là những không gian, trong đó mỗi điểm có một cấu trúc nội tại. Sau khi khái niệm đó xuất hiện thì các nhà vật lý lý thuyết hiểu ngay rằng không gian phân thớ có một ý nghĩa rất quan trọng đối với các lý thuyết vật lý. Ngày nay dùng không gian phân thớ các nhà vật lý có thể mô tả một cách thống nhất tất cả các lý thuyết tương tác của vật chất. Tại mỗi điểm của một không thời gian, gọi là không gian cơ sở, người ta xét một biến đổi định xứ (nghĩa là phụ thuộc vào tọa độ của điểm đang xét), nhóm biến đổi này có tên là nhóm cấu trúc. Muốn so sánh vectơ ở hai điểm khác nhau của không gian cơ sở, người ta phải đưa vào một đại lượng gọi là liên thông. Các nhà vật lý phát hiện ra rằng, tùy theo nhóm cấu trúc mà ta có thể thu được được nhiều liên thông khác nhau mô tả những trường ứng với các lượng tử mang tương tác khác nhau (như photon, gluon, graviton ,…).

Hình 4. Mỗi điểm của không gian phân thớ có một cấu trúc nội tại với nhóm đối xứng G

Ý tưởng này thực ra do Hermann Weyl đưa ra từ năm 1918 và giờ đây trở thành một nguyên lý được kiểm nghiệm của vật lý học. Về định nghĩa toán học của không gian phân thớ (xem tài liệu)^[3].

Các trường điện và từ có mặt ở mọi nơi và là những thớ với hình dáng đơn giản nhất – vòng tròn. Một vòng tròn được các nhà vật lý gọi là U(1), một nhóm Lie đơn giản nhất. Vòng tròn có một đối xứng dễ nhận ra: nếu quay vòng tròn ta lại được lại vòng tròn.

Không gian phân thớ của điện từ gồm nhiều vòng tròn gắn với các điểm của không thời gian. Một điều quan trọng là vòng tròn có thể quay một ít so với những vòng tròn khác ở vùng lân cận không thời gian. Trường liên thông của không gian phân thớ sẽ mô tả các thớ lân cận đã liên hệ với nhau như thế nào bởi những phép quay như vậy. Các trường lực (force fields) của điện và từ sẽ ứng với độ cong (curvature) của không gian phân thớ – nói một cách hình học các điện trường và từ trường biểu hiện cung cách các thớ đã xoắn như thế nào trong không gian và thời gian.

Mỗi loại hạt cơ bản ứng với các thớ khác nhau trong không thời gian, nghĩa là ứng với các mầm khác nhau trong hình tượng nói trên đây về không gian phân thớ. Các thớ của các hạt mang điện tích (như electron) sẽ quấn quanh các thớ hình tròn của điện từ trường giống như các sợi chỉ quấn quanh một đinh ốc. Số lần xoắn quanh các thớ vòng tròn sẽ bằng điện tích của hạt và xác định hạt phản ứng mạnh hay nhẹ với các lực của từ trường.

Các phản hạt xoắn quanh theo chiều ngược lại so với các hạt. Khi các hạt va chạm nhau thì số vòng xoắn quanh sẽ cộng với nhau do đó trong va chạm các hạt điện tích là bảo toàn.

Những điều vừa nói trên đối với điện từ được các nhà vật lý ứng dụng vào tương tác yếu và mạnh. Các lực yếu và điện từ được mô tả bởi những thớ phức tạp hơn không còn là những vòng tròn mà là nhiều vòng tròn giao nhau tương tác với nhau và với vật chất tùy theo cung cách xoắn của chúng.

Lực tương tác yếu liên quan đến phân thớ với nhóm cấu trúc là nhóm Lie 3 chiều gọi là SU(2). Thớ này có 3 toán tử đối xứng ứng với 3 hạt boson lực yếu là W+, W- và W3. Các hạt W+, W- xoắn ngược nhau quanh W3 vậy có tích yếu (weak charge) W là  -1 và +1.

Các hạt fermion chia làm hai loại tùy theo spin hướng theo hoặc ngược với chiều xung lượng: fermion phải và fermion trái. Chỉ có các fermion trái là có tích yếu (quark up trái và neutrino với W=+1/2 và quark down trái và electron với W= – 1/2). Với các phản hạt thì chỉ có các phản hạt phải có tích yếu. Nói cách khác vũ trụ của chúng ta không có đối xứng phải-trái. Tính bất đối xứng này là một trong nhiều bí ẩn của vật lý học.

Khi các nhà vật lý thống nhất lực yếu và điện từ họ đã tích hợp các thớ SU (2) với vòng tròn U (1) song vòng tròn này không là vòng tròn trong lý thuyết điện từ mà là vòng tròn ứng với lực siêu tích (hypercharge force), siêu tích được ký hiệu là Y. Trong phép tích hợp đó các vòng tròn W3 kết hợp với các vòng tròn siêu tích làm nên một hình xuyến 2 chiều.

Những thớ của các hạt gọi là Higgs boson xoắn quanh nhóm Lie của điện yếu gây nên một tập các vòng tròn đặc biệt phá vỡ đối xứng, song không xoắn quanh các vòng tròn mà sau này ứng với các photon không khối lượng.

Trực giao với các vòng tròn đó là một tập khác ứng với một hạt gọi là Z boson. Các thớ của các Higgs boson xoắn quanh các vòng tròn ứng với Z boson và W+, W- gây nên khối lượng cho những hạt này. Hạt Z được tìm ra năm 1973, điều này càng chứng tỏ thêm hiệu lực của công cụ cơ sở là không gian phân thớ.

Vật lý màu

Trong SM lực mạnh hạt nhân nối liền các quark trong hạt nhân nguyên tử về mặt hình học ứng với một nhóm Lie rộng hơn là SU (3).Thớ SU (3) trong không gian nội tại 8 chiều gồm 8 tập vòng tròn xoắn với nhau tạo nên tương tác giữa 8 loại hạt (tương tự như photon) gọi là gluon. Có 2 tập vòng tròn không xoắn nhau ứng với 2 toán tử g3 và g8 tạo thành một hình xuyến. Những vòng tròn ứng với 6 toán tử gluon còn lại xoắn quanh hình xuyến này và kết quả là ta có một giản đồ trọng số (weight diagram) hình lục giác với tọa độ g3 và g8. 

Hình 5. Các vector trọng số (weight)  SU(3) và tọa độ trọng số (g3 và g8 ) của gluon, quark & phản quark

Các thớ quark xoắn quanh nhóm Lie SU (3) và tích mạnh (strong charge) của chúng làm thành một tam giác trên giản đồ trọng số. Các quark có 3 màu: đỏ, xanh lá cây và xanh da trời. Cách mô tả tương tác mạnh bằng màu gọi là sắc động học lượng tử (quantum chromodynamics-QCD).

Thống nhất QCD với mô hình điện yếu người ta có nhóm Lie tích hợp gồm SU (3), SU(2) và U (1). Điều này dẫn đến những giản đồ trọng số với 4 trục ứng với 4 tích. Quark, electron và neutrino gọi là thế hệ thứ nhất của các fermion, chúng còn có thế hệ 2 và 3 nữa với các tích như nhau song khối lượng lớn hơn. Tại sao như vậy?

Còn vật chất tối và năng lượng tối nữa, chúng nằm ở đâu?

Một lý thuyết thống nhất phải làm sáng tỏ các vấn đề này.

Thống nhất lớn

Tuy rằng lực điện yếu và tương tác mạnh có thể mô tả bằng cách sử dụng không gian phân thớ song những thớ của chúng là những thớ riêng biệt. Các nhà vật lý đặt ra câu hỏi liệu có tồn tại một thớ chung mô tả cả hai lực đó? Như vậy thay vì có nhiều nhóm Lie khác nhau cho các lực khác nhau người ta phải nghĩ đến một nhóm Lie rộng hơn.

Theo hướng này năm 1973 Howard Georgi và Sheldom Glashow đưa ra lý thuyết GUT (Grand Unification Theory) với nhóm Lie SU(5) chứa tích hợp nói ở phần trên như là nhóm con. Trong sơ đồ này các fermion có đúng các siêu tích của chúng ngoài ra cộng vào 12 boson của SM còn có thêm 12 hạt mới có tên là X boson. Ở đây xuất hiện một khó khăn là boson X cho phép proton phân rã thành những hạt nhẹ hơn, điều mà thực nghiệm chưa phát hiện được.

Một GUT khác với nhóm Spin(10) được đưa ra. Lý thuyết này tiên đoán một lực mới tương tự với lực yếu song yếu hơn ứng với các boson W’+, W’- và W’3. Lý thuyết này cũng dẫn đến phân rã của proton song với một tốc độ chậm hơn nhiều so với lý thuyết SU(5) cho nên Spin(10) có cơ đứng vững được.

Giản đồ trọng số (weight diagram) của Spin(10) cho thấy tích của các hạt nằm trên 4 vòng tròn đồng tâm. Điều sâu xa của hình dáng giản đồ trọng số này là: Spin(10) nằm trong nhóm đặc biệt E6.

Những nhóm đặc biệt đóng một vai trò quan trọng trong toán học. Trong số đó ta có các nhóm G2, F4, E6, E7 và E8. Các nhóm này có những cấu trúc phức tạp và có những mối liên quan sâu xa với nhiều lĩnh vực toán học.

Một điều đặc biệt là các boson và fermion của Spin (10) và SM lại phù hợp với cấu trúc của E6 (có 78 toán tử), điều này làm ngạc nhiên các nhà vật lý vốn xưa nay vẫn cho rằng boson và fermion là hoàn toàn khác nhau về bản chất. Chúng thuộc các thớ khác nhau xoắn quanh các nhóm Lie. Song điều gì xảy ra nếu cả boson lẫn fermion đều thuộc về một thớ?

Người ta sẽ nhúng Spin (10) GUT vào E6. Cấu trúc E6 chứa được cả hai loại hạt boson và fermion! Trong việc thống nhất các lực và vật chất boson và fermion được kết hợp như những thành phần của một trường siêu liên thông.

Mặc dầu nhiều người phản đối điều này cho rằng kết hợp boson và fermion theo con đường này là không ổn song điều này đã được chứng minh trên cơ sở chắc chắn của toán học. Và độ cong của siêu liên thông này mô tả sự xoắn của E6 trên không thời gian mô tả được động học và tương tác của boson và fermion trong SM.

Song E6 chưa hàm chứa các boson Higgs và hấp dẫn.

Hấp dẫn và spin

Lúc ban đầu Albert Einstein mô tả hấp dẫn như là độ cong của không thời gian. Song hiện nay các nhà vật lý muốn tìm ra một cách mô tả khác tương đương với lý thuyết Einsstein bằng không gian phân thớ.

Tại mỗi điểm của không thời gian chúng ta hãy tưởng tượng tồn tại bộ 3 thước đo thẳng góc với nhau và một đồng hồ, mà ta gọi là khung quy chiếu (frame of reference). Khi ta chuyển động đến những điểm khác nhau của không thời gian thì chúng ta lại có những tập khác của bộ 3 thước đo và đồng hồ nối liền với khung quy chiếu đầu tiên bởi một phép quay. Cách thức khung quy chiếu đã quay như thế nào được xác định bởi liên thông spin (spin connection) hay nói đơn giản hơn bởi trường hấp dẫn. Nhóm Lie ứng với các phép quay khả dĩ trong 3 chiều không gian và 1 chiều thời gian là nhóm Spin (1,3), đấy là nhóm của hấp dẫn. Chúng ta cảm thấy lực hấp dẫn bởi vì trường spin liên thông hấp dẫn đã quay khung quy chiếu của chúng ta.
Hoàn toàn như hạt có các loại tích khác nhau mô tả tương tác của chúng với các lực của SM, hạt cũng còn có một loại tích mô tả cách hoạt động của chúng trong không thời gian. Hãy xem điều gì xảy ra nếu ta quay một cái thước một góc 360 độ trong không gian: cái thước trở về trạng thái cũ. Cái thước – và khung hấp dẫn – có tích spin (spin charge) bằng -1 hoặc +1, song nếu ta quay một fermion, như electron, trong không gian một góc bằng 360 độ thì nó không trở về trạng thái cũ, muốn nó trở về trạng thái ban đầu phải quay nó một góc bằng 720 độ. Như vậy fermion có tích spin bằng +1/2 hoặc -1/2.

Tích spin đóng vai trò quan trọng trong hấp dẫn vì hấp dẫn thông qua khung quy chiếu và liên thông spin gắn liền với hình học của không thời gian. Cũng như đối với những lực khác chúng ta có thể xây dựng giản đồ trọng số cho hấp dẫn dựa trên cơ sở spin. Tích spin không gian của một hạt là moment góc nội tại của nó còn tích spin thời gian của nó lại gắn liền với chuyển động của hạt trong thời gian. Người ta phân biệt fermion phải và trái tùy theo chuyển động của nó hướng theo hoặc hướng ngược lại chiều spin. Một điều rất bất ngờ là tích spin có một mối liên quan đặc biệt với lực hạt nhân yếu: chỉ có các hạt trái và phản hạt phải mới có tích yếu và tương tác với lực yếu. Điều này cho thấy rằng lực yếu nhạy cảm với tích spin và như thế hấp dẫn cùng với các lực khác, trông bề ngoài thì khác xa nhau song lại có một mối liên quan rất sâu.
 
Từ nhiều lý thuyết chỉ còn lại một: lý thuyết E8

Bây giờ mới chính là lúc chúng ta đặt mọi thứ vào  vị trí của chúng. Với hấp dẫn mô tả bởi Spin (1,3) và GUT mô tả bởi Spin (10), một điều tự nhiên là tích hợp hai nhóm đó để có nhóm Spin (11,3) mô tả Lý thuyết thống nhất hấp dẫn lớn (Roberto Percacci & Fabrizio Nesti , Italy). Và điều này sẽ dẫn chúng ta đến một Lý thuyết Đầy đủ của Tất cả – Full Theory of Everything.

Nhóm Lie Spin (11,3) tiên đoán được các tích spin, điện yếu và mạnh. Ngoài ra nhóm này còn bao gồm cả một tập các boson Higgs và khung quy chiếu (frame) hấp dẫn, hai đối tượng này được thống nhất thành toán tử khung – Higgs (frame-Higgs) trong Spin (11,3). Độ cong của không gian phân thớ Spin (11,3) mô tả đúng động học hấp dẫn, các lực khác và Higgs, ngoài ra còn chứa một hằng số vũ trụ cho phép giải thích năng lượng tối. Mọi vật đều nằm vào đúng chỗ của nó.

Những người bi quan cho rằng đây là điều khó tin được.

Giản đồ trọng số của Spin (11,3) lại gợi ý cho một nhóm rộng hơn tương tự (như Spin (10) của GUT đã gợi ý cho những nhóm lớn hơn) đấy là nhóm E8, nhóm đặc biệt lớn nhất trong các nhóm đặc biệt.

Và cuối cùng không gian phân thớ E8 hàm chứa cả hấp dẫn với tất cả các lực đã biết khác, các hạt Higgs và một thế hệ fermion của SM.

Nhóm Lie E8 với 248 toán tử có một cấu trúc kỳ diệu. Ngoài hấp dẫn và các hạt của SM E8 còn chứa các hạt W’, Z’ và X boson, một tập phong phú các hạt Higgs, những hạt mới gọi là fermion gương (mirror fermion) và các hạt axion, ứng viên cho vật chất tối. Hơn nữa E8 còn chứa một đối xứng gọi là đối xứng tam ngẫu (triality). Sử dụng tam ngẫu 64 toán tử của một thế hệ của SM có thể nối với 2 nhóm 64 toán tử khác. Ba blốc này có thể trộn với nhau để cho ta 3 thế hệ fermion đã biết.

Hình 6. Giản đồ  căn số (root)E8, mỗi căn số được gán cho một hạt cơ bản

Kết luận: đối chiếu với thực tại

Theo đó vũ trụ vật lý đã đột sinh từ một cấu trúc toán học không có đối thủ là E8. Lý thuyết đó nói rằng các hạt Higgs là gì, hấp dẫn và các lực khác đã đột sinh như thế nào từ phá vỡ đối xứng, vì sao fermion tồn tại với các tích và spin của chúng và các hạt đã tương tác như thế nào.

Lý thuyết E8 đã hình thành song có lẽ các nhà vật lý cần phải hoàn thiện nó, nhất là vấn đề lý thuyết E8 sẽ làm việc như thế nào trong ngữ cảnh lượng tử.

Nếu E8 là đúng thì máy gia tốc siêu đại LHC (Large Hadron Collider)  phải ghi đo được những hạt mới tiên đoán bởi E8. Lisi đã sơ bộ sắp xếp được 224 hạt đã biết vào sơ đồ của mình còn chỗ trống cho 24 hạt mới.

Nếu E8 là sai thì LHC sẽ ghi đo được những hạt không nằm trong khuôn khổ dự đoán của E8 và đây sẽ là một đòn định mệnh cho lý thuyết này. Dẫu E8 sai người ta cũng không thể không hết bàng hoàng vì vẻ đẹp của lý thuyết này.

Cái đẹp và sự thực thường đi đôi với nhau, nên E8 có nhiều hy vọng là một lý thuyết đúng đắn của thực tại.                                                                                                
 ——————–                                                                                               
Tài liệu tham khảo
^[1] Antony Garrett Lisi & James Owen Weatherall, A Geometric theory of Everything, Scientific American số tháng 11/2010
^[2] Jacques Distler and Skip Garibaldi, There is no “Theory of Everything” inside E8, arXiv: 0905.2658v3[math.RT] 
^[3] Cao Chi, Lý thuyết trường chuẩn, đối ngẫu điện-từ trong vật lý và chương trình hình học Langlands, Tia Sáng số 02+03-20.1.2011