Giải bài toán ngược cho phương trình dây nhiễu loạn
Từ đề tài do Quỹ NAFOSTED tài trợ, giáo sư Phạm Lợi Vũ (Viện Cơ học, Viện Hàn lâm KH&CN Việt Nam) mới có thêm công bố “The Inverse Scattering Problem for the Perturbed String Equation and Its Application to Integration of the Two-dimensional Generalization from Korteweg-de Vries Equation” (Bài toán tán xạ ngược cho phương trình dây nhiễu loạn và ứng dụng của nó để tích hợp cho tổng quát hóa hai chiều từ phương trình Korteweg-de Vries) trên Acta Mathematica Vietnamica, tạp chí của Viện Toán học (Viện Hàn lâm KH&CN Việt Nam) hợp tác với nhà xuất bản Springer.
Giáo sư Phạm Lợi Vũ giới thiệu về các nội dung của cuốn sách “Inverse Scattering Problems and Their Application to Nonlinear Integrable Equations”. Nguồn: NVCC
Trước đây, bài toán tán xạ ngược cho phương trình dây nhiễu loạn trong các biến đặc trưng của toàn trục đã được nghiên cứu. Nét đặc trưng của bài toán tán xạ ngược tích hợp bài toán Cauchy cho các phương trình tiến hóa phi tuyến trong một biến không gian. Tuy nhiên, khó khăn lớn nhất mà người ta thường gặp phải chính là việc ứng dụng bài toán tán xạ ngược để tích hợp với các phương trình tiến hóa phi tuyến đa chiều. Thách thức này phát sinh do giới hạn nghiêm ngặt về các hệ số của những toán tử đa chiều, vốn được dùng để xác định cặp Lax.
Do đó, trong công trình nghiên cứu này, giáo sư Phạm Lợi Vũ đã sử dụng phương trình Lax tổng quát tạo ra bằng phương trình dây nhiễu loạn để suy ra sự tiến hóa về thời gian của toán tử tán xạ và khái quát hóa hai chiều từ phương trình Korteweg-de Vries một chiều. Các hàm đã biết trong hệ các phương trình cơ bản của bài toán ngược được cấu trúc từ hạt nhân ma trận phụ thuộc thời gian của toán tử tán xạ phụ thuộc thời gian. Nhờ vậy, ông đã có thể giải được hệ các phương trình cơ bản phụ thuộc thời gian trong bài toán ngược. Sau đó, thông qua kết quả của hệ này, ông đã tìm được ra nghiệm khái quát hóa hai chiều từ phương trình Korteweg-de Vries.
Đây là bài toán thứ ba giáo sư Phạm Lợi Vũ có được từ việc tham gia thực hiện “Nghiên cứu thủy động lực học trong dòng chảy”, đề tài được Quỹ NAFOSTED tài trợ và do phó giáo sư Trần Thu Hà (Viện Cơ học) làm chủ nhiệm. Hai bài báo trước xuất bản vào năm 2018 và 2019 đã được ông đưa vào cuốn sách chuyên khảo “Inverse Scattering Problems and Their Application to Nonlinear Integrable Equations” (Những bài toán ngược tán xạ và những ứng dụng cho các phương trình khả tích phi tuyến), một tập hợp những công trình mà ông thực hiện trong suốt sự nghiệp nghiên cứu về bài toán ngược. Nhận xét về giá trị cuốn sách do ông hợp tác với nhà xuất bản CRC Press Taylor Francis Groups ấn hành vào tháng 11/2019, giáo sư Phạm Đức Chính, đồng nghiệp của ông tại Viện Cơ học, đánh giá “không nhiều nhà khoa học Việt Nam có được công trình như thế này”.
